2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第04讲简单的三角恒等变换(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第04讲简单的三角恒等变换(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共16页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题，单选题等内容，欢迎下载使用。

二、多选题
9．（2023高三·全国·专题练习）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的
B．存在实数，使
C．
D．
10．（22-23高一下·江苏南京·期中）给出下列四个关系式，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
11．（23-24高一下·上海·阶段练习）若对满足的任何都有，则数组 ．
12．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知：，，则 .
四、解答题
13．（23-24高一下·河北保定·开学考试）已知，.
(1)求的值；
(2)求的值．
14．（23-24高三·全国·专题练习）已知，，求的值．
B能力提升
1．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）求值：（ ）
A．B．C．1D．
2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·四川遂宁·期末）设等差数列满足：，公差.若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）对于三个实数，，，若成立，则称，具有“性质”.
（1）试问：
①，0是否具有“性质2”？
②，0是否具有“性质4”？
（2）若存在及，使得成立，且，1具有“性质2”，求实数的取值范围；
（3）设，，，为2021个互不相同的实数，点均不在函数的图象上，是否存在，（），且，，使得，，具有“性质2020”，请说明理由.
第04讲 简单的三角恒等变换 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一·全国·课时练习）已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据角的范围判定符号，然后直接由半角公式求解.
【详解】∵，∴，∵，
∴由半角公式可得.
故选：B
2．（23-24高一上·全国·课后作业）设3π<α<4π，cs＝m，那么cs等于（ ）
A．B．－C．－D．
【答案】B
【分析】先分析的范围，确定象限，利用cs2＝求解即可.
【详解】由于cs＝2cs2－1，可得cs2＝.又3π<α<4π，所以<<π.所以
cs<0.所以cs＝－.
故选：B
3．（23-24高一·全国·课堂例题）已知，，则（ ）（是的半角）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用半角公式求解即可
【详解】∵，∴，
∴．
故选：A
4．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则满足条件的的个数为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】解法一：利用正弦和差公式化简得到，从而得到或，结合，求出满足条件的的个数；
解法二：利用和差化积公式得到，从而得到，从而得到或，结合，求出满足条件的的个数.
【详解】解法一：
，
故或．
当时，，即，
因为，所以，，，，；
当时，因为，所以，．
所以符合题意的共有7个；
解法二：由和差化积公式得到，
所以，
因为，所以或，
当时，，即，
因为，所以，，，，；
当时，因为，所以，．
所以符合题意的共有7个；
故选：C
5．（23-24高一下·全国·课后作业）若，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意利用和差化积公式分析运算.
【详解】因为，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：C.
6．（2023·全国·模拟预测）已知是锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据倍角公式的变形求出，，再由两角和的余弦公式求解.
【详解】因为是锐角，所以，
因为，，
所以，，
所以．
故选：D．
7．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】
由万能公式可得，根据已知得方程求即可.
【详解】由，
所以，则，
由，则.
故选：A
8．（23-24高二下·安徽宿州·期中）对集合和常数，把定义为集合相对于的“正弦方差"，则集合相对于的“正弦方差”为（ ）
A．B．C．D．与有关的值
【答案】C
【分析】先确定集合相对于的“正弦方差”的表达式，再利用半角公式，两角和与差的余弦公式化简可得结果.
【详解】由题知，集合相对于的“正弦方差”为
把，，
，代入上式整理得，.
故选：C.
二、多选题
9．（2023高三·全国·专题练习）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的
B．存在实数，使
C．
D．
【答案】ABCD
【分析】利用二倍角的余弦可判断A选项；取，可判断B选项；利用二倍角的余弦公式可判断C选项；利用二倍角的正弦和余弦公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的，A对；
对于B选项，取，则，B对；
对于C选项，因为，所以，，C对；
对于D选项，因为，
则，，
则，
另一方面，，
所以，，D对.
故选：ABCD.
10．（22-23高一下·江苏南京·期中）给出下列四个关系式，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据两角和与差的正弦以及余弦公式，展开化简即可得出答案.
【详解】对于A项，因为，，
所以，
所以，故A项错误；
对于B项，因为，，
所以，
所以，故B项正确；
对于C项，因为，，
所以，
所以，故C项错误；
对于D项，因为，，
所以，
所以，故D项正确.
故选：BD.
三、填空题
11．（23-24高一下·上海·阶段练习）若对满足的任何都有，则数组 ．
【答案】
【分析】
根据题意利用和差化积公式分析求解.
【详解】因为，可知，即，
则，
可知，即.
故答案为：.
12．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知：，，则 .
【答案】
【分析】由，两边平方得到，进而求得，两式联立得到，再利用三角恒等变换求解.
【详解】解：由，两边平方得：，
即，
因为，
所以，
所以，
两式联立得，
所以，
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高一下·河北保定·开学考试）已知，.
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可得出的值，利用二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式可求得的值；
（2）方法一：求出的取值范围，利用二倍角的降幂公式求出的正弦值和余弦值，即可得出的正切值；
方法二：由代值计算即可得解；
方法三：计算出的值，利用二倍角的正切公式可得出的方程，求出的取值范围，即可得出的值.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，
，
，
所以．
（2）解：方法一：因为，所以，则，，
所以，，
则．
方法二：．
方法三：，解得或，
因为，所以，则，故．
14．（23-24高三·全国·专题练习）已知，，求的值．
【答案】
【分析】先用万能公式求出的值，再根据得出，最后联立可求得答案.
【详解】，则有①，
又已知，从而有②．
联立①②可得，．
∴．
B能力提升
1．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）求值：（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】利用积化和差和和差化积公式，结合半角公式，诱导公式化简得到结果.
【详解】由积化和差公式可得
，
故
，
由和差化积公式可得
，
故
所以.
故选：A
【点睛】和差化积公式：，
，
，
积化和差公式：，
，
，
.
2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用导数可求最大值，也可以利用万能公式统一三角函数名，再利用换元法结合四元基本不等式求解即可.
【详解】
法一：不妨设，则，
整理得到: ,
当时，；当时，，
故在上为增函数，在为减函数，
而，，故的最大值为.
法二：由万能公式得，，
则.所以
，
设，其图像的对称轴方程为.
由题意，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，
所以，解得.
则首项的取值范围是.故B，C，D错误.
故选：A.
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）对于三个实数，，，若成立，则称，具有“性质”.
（1）试问：
①，0是否具有“性质2”？
②，0是否具有“性质4”？
（2）若存在及，使得成立，且，1具有“性质2”，求实数的取值范围；
（3）设，，，为2021个互不相同的实数，点均不在函数的图象上，是否存在，（），且，，使得，，具有“性质2020”，请说明理由.
【答案】（1）①具有；②不具有；（2）；（3）存在，理由见解析.
【分析】（1）①就是证明不等式是否成立；
②令，则，问题转化为，，由一元二次不等式知识可得；
（2）不等式成立，转化为，
由，1具有“性质2”，结合已知的范围，缩小的取值范围，求得的最小值，再求得）的最大值，从而可得的取值范围；
（3）假设具有“性质2020”，转化为证明：在任意2021个互不相同的实数中，一定存在两个实数，，满足，此不等式变形为，而令，由万能公式可得，这样将等分成2020段，2021个数中必有两个在同一段上，使得成立．进而完成证明．
【详解】（1）①，0具有“性质2”，
由基本不等式知后者成立，所以，0具有“性质2”；
②令，则，，0具有“性质4”，，所以，0不具有“性质4”；
（2）依题意，成立，
∵，1具有“性质2”，
∴，即，
∴，则，
令，
∴在上单调递增，则在处取得最小值，
∴，
又∵，∴；
（3）假设具有“性质2020”，则，
即证明：在任意2021个互不相同的实数中，一定存在两个实数，，
满足；
证明如下：由，
令，由万能公式知，，将其分成2020个小区间，
则，，……，，这2021个数，必有两个数落在同一个区间，
令其为，，即，
也就是说，在，，…，这2021个数中，
一定有两个数满足，
即一定存在两个实数，满足，从而得证.
【点睛】本题考查新定义，解题关键是理解新定义，对新定义进行转化，转化为解不等式或不等式恒成立，或证明不等式成立．特别是问题（3）中，经过利用换元，万能公式，得出，然后通过分割区间，利用抽屉原理得结论．本题难度大，属于困难题，对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高．