2025-2026学年下学期甘肃金昌高一数学4月第一次月考试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期甘肃金昌高一数学4月第一次月考试卷含答案，文件包含解三角形周长与周长最值问题面积与面积最值问题专项训练原卷版docx、解三角形周长与周长最值问题面积与面积最值问题专项训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3. 本卷命题范围:湘教版必修第一册第 6 章统计学初步，必修第二册第 1 章平面向量及其应用、第 2 章三角恒等变换。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 下列调查中最适合采用全面调查(普查)的是
A. 了解兰州白兰瓜的甜度情况
B. 了解某品牌新能源汽车电池的续航能力
C. 了解甘肃省中学生收看 9 月 3 日阅兵直播情况
D. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查
2. 已知 sinα=−35 ,则 cs2α=
A. 725 B. −725 C. −2425 D. 2425
3. 已知 x1,x2,⋯,xn 的平均数为 3 则 5x1+2,5x2+2,⋯,5xn+2 的平均数为
A. 5 B. 7 C. 17 D. 25
4. 已知 A,B 两地相距 5 km,B,C 两地相距 10 km ,若测得 ∠ABC=120∘ ,则 A,C 两地间的距离为
A. 5 km
B. 32 km C. 55 km D. 57 km
5. 已知两个单位向量 a 和 b 夹角为 60∘ ,则向量 a−b 在向量 a 方向上的投影为
A. -1 B. 1
C. −12 D. 12
6. 在 △ABC 中,点 M,N 满足 AM=2MC,BN=NC . 若 MN=xAB+yAC ,则 x+y=
A. −16 B. 13 C. 12 D. 23
7. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c . 已知 bcsC+ccsB=2acsB,△ABC 的面积为 334 ,则 a2+c2 的最小值为
A. 3 B. 33 C. 6 D. 63
ZH260413A
8. 已知 O 为 △ABC 的外接圆圆心, OA=2,∠BAC=45∘ ,则 AB⋅OC 的最大值为
A. 2 B. 4 C. 2 D. 22
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分,在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要 求的, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 现有一组样本数据4,2,6,11,6,7,10,4,6,11,则这组数据的
A. 众数为 6 B. 平均数为 7.6
C. 中位数为 6.5 D. 第 72 百分位数为 10
10. 下列各式的值为 12 的是
A. 1−cs60∘2 B. tan22.5∘1−tan222.5∘
C. 33sin25π12−33cs25π12 D. tan15∘cs215∘
11. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子 (如图 1)，打开后形成以 O 为圆心的两个扇形 (如图 2),若 ∠AOB=150∘,OA=2OC=2 ，点 F 在 AB 上， ∠BOF= 120∘ ,点 E 在 CD⏜ 上, OE=xOC+yODx,y∈R ,则

图 1

图 2
A. OE⋅EF 的取值范围为 −2,1 B. OE⋅EF 的取值范围为 −3,1
C. 当 OE⊥EF 时, x+y=1+3 D. 当 OE⊥EF 时, x+y=2+3
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 设向量 a 与 b 的夹角为 θ,a=3,3,b=1,2 ，则 csθ= _____.
13. 已知某社区共有居民 480 人，其中老年人 200 人，中年人 200 人，青少年 80 人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取 36 人作为代表，则中年人比青少年多_____人.
14. 已知四边形 ABCD 中, AB=BC=CD=1,DA=3 ,设 △ABD 与 △BCD 面积分别为 S1,S2 . 则 S12+S22 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.
15. (13 分)
已知向量 a=−1,m,b=−2,1 .
(1)若 2a+b 与 b 共线，求实数 m 的值；
(2)若 a+b=a−b ，求实数 m 的值.
16. (15 分)
已知 α∈0,π ，且 sinα−csα=15 ，
(1)求 sin2α−π4 的值；
(2)若 tanβ=2 ，求 csα+βsinα−β 的值.
17. (15 分)
已知锐角 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,满足 a2+b2−c2sinC=3abcsC .
(1)求角 C ；
(2)若 CA⋅CB=3,c=7 ，求 △ABC 的周长.
18. (17分)
某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本, 将样本的成绩 (满分 100 分, 成绩均为不低于 40 分的整数) 分成六段: [40,50),[50,60),⋯,90,100 ,得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中 a 的值；
(2)求样本成绩的第 75 百分位数和平均数；
(3)已知落在 [50,60) 的平均成绩是 56，方差是 7，落在 [60,70) 的平均成绩为 65，方差是 4，求两组成绩的总平均数 z 和总方差 s2 .
19. (17 分)
如图，设 Ox ， Oy 是平面内相交成 60∘ 角的两条数轴， e1 ， e2 分别是与 x 轴、 y 轴正方向同向的单位向量. 若向量 OM=xe1+ye2 ,则把有序实数对 x,y 叫做向量 OM 在坐标系 Oxy 中的坐标,记作 OM=x,y . 在此坐标系 Oxy 中,若 OA=3,0,OB=0,2,OP=3,2,F 是 BP 的中点, AF 与 OP 交于 T 点.

(1)求 OP ；
(2)求 OT 的坐标；
(3)若过点 P 的直线 l 分别与 x 轴、 y 轴正方向交于 M ， N 两点，求 △OMN 面积的最小值.
2025-2026-1 第一次月考试卷・高一数学 参考答案
1.D 切开白兰瓜具有破坏性，故 A 不符合题意；测试续航能力通常需要将电池完全放电，具有破坏性，故 B 不符合题意；甘肃省中学生人数众多，全面调查工作量巨大，故 C 不符合题意；航空母舰中的每个零件的质量都至关重要，因此需要对其进行全面检查，故 D 符合题意.
2. A 由 sinα=−35 ，得 cs2α=1−2sin2α=1−2×−352=1−1825=725 . 故选 A.
3. C x=x1+x2+x3+⋯+xnn=3 ,所以 5x1+2,5x2+2,⋯,5xn+2 的平均数为 5x1+2+5x2+2+5x3+2+⋯+5xn+2n=5x1+x2+⋯+xn+2nn=5−x+2=15+2=17 . 故选 C.
4. D 由余弦定理得, AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs∠ABC ,即 AC2=52+102−2×5×10 ×−12=175 ,则 AC=57 . 故选 D.
5.D 由题意可知: a⋅b=1×1×cs60∘=12,a⋅a−b=a2−a⋅b=1−12=12 ,据此可得向量 a−b 在向量 a 方向上的投影为 a⋅a−ba=121=12 . 故选 D.
6.B 如图:

因为 AM=2MC,BN=NC ,所以 AM=23AC,BN=12BC.MN=AN−AM=AB+BN−AM=AB+12BC− 23AC=AB+12AC−AB−23AC=12AB−16AC ,所以 x=12,y=−16 ,所以 x+y=13 . 故选 B.
7. C 由 bcsC+ccsB=2acsB ,根据正弦定理得, sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsB ,则 sinB+C= sinA=2sinAcsB ,在 △ABC 中, sinA>0 ,则 1=2csB ,即 csB=12 ,又 00 ，
则 OM=xe1,ON=ye2 , 11 分
因为 M,P,N 三点共线,则设 MP=λMN0