2025-2026学年下学期辽宁名校联盟高三数学4月模拟信息卷一试卷含答案

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注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1. 已知集合 A=x x+31−x≥0,B={−3,−2,0,1,2} ,则 A∩B=
A. {−2,0} B. {−3,−2,0} C. {−2,0,1} D. {−3,−2,0,1}
2. 若复数 z 满足 z+21+i=2+i ，则在复平面内 z 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 如图，向量 a ， b ， c 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则 c 用 a ， b 可表示为

B. c=5a−2b
D. c=−5a−2b
A. c=−5a+2b
C. c=5a+2b
4. 碗的起源可追溯到新石器时代泥质陶制的碗, 其形状与当今无多大区别. 如图, 该碗碗口直径为 12 cm，碗底直径为 4 cm，它的形状可以近似看作是上部分为圆台，下部分底座为圆柱的组合体(碗的厚度忽略不计),若圆台部分与圆柱部分的体积之比为 26 :1,则圆台部分与圆柱部分的高之比为

C. 6:1
A. 4:1
B. 5:1
D. 8:1
5. 在数列 an 中, a1=1,an+1=an+8n2n−122n+12 ,则 a13=
A. 12 B. 151576 C. 1247625 D. 1249625
6. 已知实数 x,y 满足 x29+y25=1y≥0 ,则 x2+y−12+x−22+y2 的最小值为
A. 4−5 B. 6−5 C. 3 D. 4
7. 对于函数 fx ，若在其定义域内存在 x ，满足 fx=−fkx ，则称 fx 为“ k 倍局部倒函数”. 若函数 fx=x2−4ax+a2−2 是定义在区间 0,+∞ 内的“ 4 倍局部倒函数”,则 a 的取值范围为
A. 4−14,2 B. [4,+∞) C. 4−14,4 D. [4−14,+∞)
8. 在三棱锥 A−BCD 中,平面 ABD⊥ 平面 BCD,AB=AD=2,CD=4,BC=27,AC=25 ,则三棱锥 A−BCD 外接球的表面积为
A. 32π B. 36π
C. 642π3 D. 362π
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 某人形机器人公司近 5 年的年利润情况如下表所示，若 y 与 x 线性相关，且经验回归方程是 y= 4. 3x+4.1 ,则
A. t=10
B. 该公司的年利润与年份代码呈正相关
C. 样本点 (4,21) 的残差 (实际值与预测值之差) 为-3 百万元
D. 利用该经验回归方程可估计第 8 年该公司的年利润为 3.85 亿元
10. 已知函数 fx=3csωx+φω>0;φ0 ，若 gx=ftx 在区间 16,13 . 内单调递增，则 t 的取值范围为 (0,1]
11. 已知函数 fx 的导函数为 f′x ,且对任意 x,y∈R ,均有 f−x−y=fy−x−2f1+xfy , 且 f1=1 ,则
A. fx 为奇函数 B. f′−1=1 C. f′0+f′2=0 D. i=12026fi=0
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1=1 ， S2=2a1+1 ，则 S10= _____.
13. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ，右焦点为 F ，若 C 上存在点 M ，使得 y 轴上的某点 Q 满足 OM//OF+OQ,OM⋅OF−OQ=0 (O为坐标原点)，则 C 的离心率的取值范围为_____.
14. 将数字1,2,3,4,5,6,7,8全部填入下面的表格中，每个方格填写 1 个数字. 若要求恰有 2 列数字之和均为 9，且这 2 列不相邻，则不同的填法共有_____种.

四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
某文化公司为研究“微短剧”喜好与观众性别是否有关联进行了一次调查，并将收集的数据整理后填入如下列联表.
(1)依据小概率值 α=0.01 的独立性检验，能否认为 “微短剧” 喜好与观众性别有关？
(2)现从喜欢“微短剧”的观众样本中用分层(按性别分层)随机抽样的方法抽取 5 人进行观察，再 —— 从这 5 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中女观众的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ，其中 n=a+b+c+d .
16.(15分)
在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 02 时，只需 Δ= 16a2−8a2−6≥0 ,整理得 a2+6≥0 ,显然成立. 综上, a 的取值范围为 [4−14 , +∞) . 故选 D 项.
8. A 如图,取 BD 的中点 E ,连接 AE,CE ,

在 △ABD 中, AE⊥BD ,因为平面 ABD⊥ 平面 BCD ,平面 ABD∩ 平面 BCD=BD , AE⊂ 平面 ABD ,所以 AE⊥ 平面 BCD . 设 BE=x ,则 AE2=4−x2 ,在 △BCD 中, cs∠CBD=BC2+BD2−CD22BC⋅BD=12+4x287x ， CE2=BE2+BC2−2BE⋅BCcs∠CBD= x2+28−47x⋅12+4x287x=22−x2 . 因为 AC2=AE2+CE2 ,所以 4−x2+22−x2= 20,解得 x=3 ,则 AE=1 ,所以 BD=2x= 23 ,因为 BD2+CD2=BC2 ,所以 BD⊥ CD . 取 BC 的中点 H ,则 H 为 △BCD 外接圆的圆心,过点 H 作直线 l1⊥ 平面 BCD ,设 △ABD 外接圆的圆心为 F ,过 F 作直线 l2⊥ 平面 ABD ,记 l1∩l2=G ,则 G 为三棱锥 A−BCD 外接球的球心,连接 BG ,在 △ABD 中,由正弦定理得 2AF=ADsin∠ABD=2AEAB= 4,解得 AF=2 ,则 HG=EF=AF−AE= 2−1=1 ,则三棱锥 A−BCD 外接球的半径为 BG=BH2+HG2=22 ，所以三棱锥 A−BCD 外接球的表面积为 4π⋅BG2=32π . 故选 A 项.
二、选择题
9. BCD 对于 A 项,由题意得 x= 1+2+3+4+55=3 ,因为 y 关于 x 的经验回归方程为 y=4.3x+4.1 ,所以 y=4.3x+ 4. 1=17 ,则 9+t+t+5+21+265=17 ,解得 t=12, A 项错误; 对于 B 项,因为经验回归直线 y=4.3x+4.1 的斜率为正数 4.3,所以年利润与年份代码呈正相关，B 项正确；对于 C 项，当 x=4 时， y=4.3×4+4.1=21.3 ，则残差为 21−21.3=−0.3 千万元 =−3 百万元, C 项正确; 对于 D 项,当 x=8 时, y= 4.3×8+4.1=38.5 千万元 =3.85 亿元,所以估计第 8 年该公司的年利润为 3.85 亿元， D 项正确. 故选 BCD 项.
10. ACD 对于 A,B 项，由题意得 △BCD 的高为 3 ,则 BC=BD=3sin60∘= 2,所以 2BC=2πω=4 ,解得 ω=π2 ,因为 fx 的图象与 y 轴交于点 A0,32 ,所以 3csφ=32 ,即 csφ=32 ,又 φa2 ，所以 c2−a2> a2 ,所以 e2=c2a2>2 ,即 e>2 .
14.2304 易得 1+8=2+7=3+6= 4+5=9 ,则数字之和为 9 的有 4 种情况,又不相邻的 2 列有第 1,3 列,第 1,4 列,第 2, 4 列, 3 种情况, 先选不相邻的 2 列有 3 种选法,再在列中数字之和为 9 的 4 种情况中选择 2 种并填入这 2 列,有 A42A22A22=48 种填法，最后在剩下 2 列中填入剩下 4 个数字， 总情况有 A44=24 种，其中满足列中数字之和为 9 的有 A22 A22 A22=8 种,则剩下的 2 列符合要求的填法有 24−8=16 种. 综上，所求填法有 3×48×16=2304 种.
四、解答题
15. 解:(1)零假设为 H0 ；“微短剧”喜好与观众性别无关,
由表 中 的 数 据 计 算 得 χ2= 100×30×35−20×15250×50×45×55≈9.091>6.635= x0.01, (4 分)
高考模拟信息卷
依据小概率值 α=0.01 的独立性检验,我们推断 H0 不成立，即认为 “微短剧” 喜好与观众性别有关, 该推断犯错误的概率不超过 0.01 . (6 分)
(2)抽取的 5 人中，女观众有 3050×5=3 人， 男观众有 2050×5=2 人， (7 分)
故 X 的可能取值为1,2,3, (8 分)
PX=1=C22C31C53=310,PX=2=C21C32C53= 35,PX=3=C33C33=110, (11 分)
所以 X 的分布列为
(12 分)
EX=1×310+2×35+3×110=95.
(13 分)
16.(1)证明:由 acsC−b=3c−asinC ，
得 acsC+3asinC=b+3c ,
由正弦定理得 sinAcsC+3sinAsinC= sinB+3sinC, (2 分)
即 sinAcsC+3sinAsinC=sinA+C+ 3sinC ,
所以 sinAcsC+3sinAsinC=sinAcsC+ csAsinC+3sinC, (4 分)
在 △ABC 中, sinC≠0 ,
所以 3sinA−csA=3 , (5 分)
即 32sinA−12csA=32 ,
所以 sinA−π6=32 , (6 分)
又 0