2025-2026学年下学期湖南衡阳高三数学4月二模试卷含答案

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1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的。
1. 已知集合 A={x∣−20,b>0 的右焦点为 F ，过 F 作双曲线 C 的渐近线的垂线，垂足为 P ，若 PF=2a ，则 C 的离心率为_____.
13. 已知样本数据 x1 ， x2 ， ⋯ ， x2026 的平均数为 a ，设 k=λa ，当函数 fk=i=12026xi−k2 取最小值时, λ= _____.
14. 某大学数学系举办学科素养大赛，参赛选手在 2 小时内进行学科素养答题挑战赛，比赛规则如下:参赛选手的赛程按轮次进行，只有完成上一轮的答题才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道素养题或技能题，系统派出素养题的概率为 23 ， 派出技能题的概率为 13 . 若某选手答对素养题的概率为 25 ，答对技能题的概率为 15 ，且各轮答题正确与否相互独立. 记该选手在第 nn≥3 轮答题结束时挑战依然未终止的概率为 pn ,记 fn=3pn+1−2pn ,则 fn= _____.
四、解答题(本大题共 5 个小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 S9=81,a3+a5=14 ,数列 bn 的前 n 项和为 Tn ,满足 2Tn+1=3bn .
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)已知数列 cn 满足: cn=2bnan−1an⋅an+1 ，求数列 cn 的前 n 项和 Rn .
16.(本小题满分 15 分)
每年春季万象更新, 也是病毒变异和流行的高发期, 现代流行病学调查表明: 某种流行病毒变异所形成的疾病 S 是由致病菌。和致病菌 β 共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈.
(1)现有一种对疾病 S 的试剂检验方法，该检验方法对患疾病 S 的人进行化验，检测结果有 96%呈阳性，对未患疾病 S 的人进行化验，检测结果有 98% 呈阴性. 检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率. 若某地区疾病 S 的患病率为 0.4% ，求这种检验方法在该地区的误诊率(结果精确到 0.001)；
(2)对疾病 S 有效治疗的药物有 A ， B 两款，且这两种药物的疗程均为 3 天(药物使用时，按疗程服用 3 天)，超过 3 天无效时需换药进行治疗(无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率). 若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过 3 天也能痊愈。已知药物 A 杀灭致病菌 α 和致病菌 β 的概率分别为 12,34 ，药物B 杀灭致病菌。和致病菌 β 的概率均为 23 . 且对于同一种药物,杀灭两种致病菌的事件相互独立. 请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短?
17. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 P−ABCD 中， PA⊥ 底面 ABCD ，底面 ABCD 是矩形， PA=AB=2AD=6 ， E 是 CD 的中点， AC 与 BE 相交于点 H ，点 F 在侧棱 PD 上， PF=λPD .

(1)证明: BE⊥ 平面 PAC ；
( 2 )当 λ=23 时，求点 P 到平面 EFH 的距离；
(3)若 λ∈14,12 ，当直线 PC 与平面 AFC 的所成角最大时，求实数 λ 的值.
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 63 ，椭圆 C 经过点 3,0 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若椭圆 C 的左、右顶点分别为 A,B ，直线 l 交椭圆 C 于 M ， N 两点(与 A,B 不重合). 设直线 AM 的斜率为 k1 ,直线 BN 的斜率为 k2 ,且 k2=3k1 .
(1)求证: BM⊥BN ；
(II)设弦 MN 的中点为 H ， O 为坐标原点，直线 OH 与椭圆交于 P ， Q 两点，求四边形 MPNQ 面积 S 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 fx=ax+1lnx−x+1 .
(1)若曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线与直线 x−3y+1=0 垂直，求实数 a 的值；
(2)若函数 fx 有三个零点 x1,x2,x3 ，且 x1