2025-2026学年下学期西南名校联考333名校联盟高三数学试卷含答案

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1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
一、单项选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求)
1. 在复平面内,复数 z 对应的点的坐标是 2,−3 ,则 z=
A. 2+3i
B. 2−3i
C. 3+2i
D. 3−2i
2. 小明每周末都会在骑行和跑步中选择一个项目进行锻炼且只选择一项. 如果选择跑步的概率为 25 ,则小明选择骑行的概率为
A. 15 B. 25
C. 35 D. 1
3. 已知 sinα=33 ,则 sinπ+α 的值为
A. −33 B. 33
C. −63 D. 63
4. 抛物线 y=3x2 的焦点坐标是
A. 0,34 B. 34,0
C. 0,112 D. 112,0
5. 设 a 为实数，则 “ a>3 ” 是 “ a2>3 ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 函数 y=2cs212x+π3 的振幅,初相分别是
A. 2,π3 B. 1,π3
C. 2,2π3 D. 1,2π3
7. 已知函数 fx=x−ax ,若函数 fx 在点 1,f1 处的切线过点 3,5 ,则 a=
A. -1 B. 1
C. 33 D. 55
8. 将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使点 D 不在平面 ABC 内,则在翻折过程中,当二面角 D−AC−B 为 2π3 时，则异面直线 AB 与 CD 的夹角余弦值为
A. 14 B. 13
C. 63 D. 34
二、多项选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知平面向量 a=1,2,b=−2,3 ,则
A. a+b=−1,5 B. a=5
C. 4a−5b//a D. 4a−5b⊥a
10. △ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 b=22a,sinB=sin2A ,则
A. csA=24 B. csB=±34
C. csB=34 D. A=C
11. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a,b>0 的左焦点为 F ,过坐标原点 O 作直线与双曲线的左、右两支分别交于 A,B 两点,且 2FB=7FA,∠AFB=2π3 ,则
A. FB=45a
B. 双曲线 C 的离心率为 395
C. y=x2 与双曲线 C 有两个交点
D. △ABF 的内心在 x 轴上
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 设集合 A={x∣csx≤0},B={x∣sinx≤0} ，则 A∩B= _____.
13. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S1=1,S3=2 ，则 S2+S5= _____.
14. 已知函数 fx=3lnx2+2ax 有 2 个极值，则 a 的取值范围是_____.
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
已知数列 an 的前 n 项和 Sn=kn2+n,a5=19 .
(1) 求 an ;
(2)若数列 1anan+1 的前 n 项和为 Tn ，求证 Tnksx2+sy2n 时，认为甲算法显著优于乙(其中 k 为判定系数). 若 n =100 ,
(i) 现取 k=1.5 ,判断甲是否显著优于乙;
(ii) 若要使 “甲算法显著优于乙” 成立,求 k 的最大整数值.
17. (本小题满分 15 分)
已知椭圆 C:x23m+y22=1m>1 的左、右顶点分别为 A、B,P 是 C 上异于 A、B 的一动点. k1、k2 分别为直线 PA、PB 的斜率,且 k1k2=−13 .
(1)求 m 的值；
(2)若直线 AP 与直线 x=36 交于点 Q ,且 BP⋅BQ=−4 ,求 △PQB 的面积.
18. (本小题满分 17 分)
如图,已知四棱台 ABCD−A1B1C1D1 ,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, AA1⊥ 平面 ABCD,AA1=3,A1B1=2,E 是 BC 的中点.
(1)证明: A1E// 平面 CDD1C1 ；
(2)求平面 A1AE 与平面 D1AE 夹角的正弦值；
(3)若球 O 与三棱锥 D1−A1AE 的所有面都相切，球 O 的半径为 r ，求 1r .

19. (本小题满分 17 分)
已知函数 fx=exsinx−ax ，其中 a∈R .
(1) x∈0,π2 ,
(i) 当 a=1 时,讨论 fx 的单调性;
(ii) 若存在 x∈0,π2 ,使得 fx≥0 成立,求 a 的取值范围;
(2)当 a=0 时,证明: 对任意的 x∈0,π,fx≥x−x36 .
数学参考答案
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求)
1. ∵在复平面内,复数 z 对应的点的坐标是 2,−3,∴z=2−3i ,故选 B.
2. 小明选择骑行的概率为 1−25=35 ,故选 C.
3. sinπ+α=−sinα=−33 ,故选 A.
4. 抛物线 y=3x2 的标准方程为: x2=13y ,故抛物线 y=3x2 的焦点坐标为 0,112 ,故选 C .
5. 由 a2>3 ,可得 a>3 或 a3 或 a3 ”,而 “ a>3 ” 能推出 “ a>3 或 a3 ” 是 “ a2>3 ” 的充分不必要条件,故选 A.
6. ∵ 函数 y=2cs212x+π3=csx+2π3+1,∴ 振幅是 1,初相是 2π3 ,故选 D.
7. 由题意得,函数 fx=x−ax ,定义域为 x∈[0,+∞),f1=1−a×1=1−a , f′x=12x−a ,则 f′1=12−a ,切线方程为 y−1−a=12−ax−1 ,因切线过点 3,5 , 代入得 5−1−a=12−a3−1 ,解得 a=−1 ,故选 A.
8. 取 AC 的中点 O ,连接 BO,DO,∵DO⊥AC,BO⊥AC,DO∩BO=O,∴∠DOB 为二面角 D−AC−B 的平面角, ∠DOB=2π3 ,取 BC,BD 的中点 M、N ,连接 OM,ON,MN , 则 OM//AB,MN//DC ,所以 ∠OMN 或其补角是异面直线 AB 与 CD 的夹角. 设 AB=a , 则 OM=MN=a2,OD=OB=2a2,∠DOB=2π3 ,可得 ON=2a4 ,由余弦定理可得, cs∠OMN=34 ,故选 D.
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 平面向量 a=1,2,b=−2,3 ,所以 a+b=1−2,2+3=−1,5,a=12+22=5 , 4a−5b=41,2−5−2,3=14,−7,4a−5b⋅a=14−2×7=0 ,所以 4a−5b⊥a , −7≠28 ,所以 C 不对,故选 ABD .
10. 因为 sinB=sin2A ,所以 sinB=2sinAcsA ,由正弦定理可得 b=2acsA ,又 b=22a , 所以 csA=24,sinA=1−cs2A=144,sinB=2sinAcsA=74 . 因为 b