2025-2026学年下学期浙江余姚中学高一数学4月质检试卷含答案

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1. 若复数 z 满足 1+2iz=4+3i ，则 z=
A. 2−i B. 2+i C. −2−i D. −2+i
2. 已知向量 a=1,2,b=−2,m ，且 a//b ，则 2a+3b 等于
A. −2,−4 B. −3,−6 C. −4,−8 D. −5,−10
3. 已知 m,n 表示两条不同直线， α 表示平面，下列说法正确的是
A. 若 m//α,n//α ,则 m//n B. 若 m⊥α,n⊂α ,则 m⊥n
C. 若 m⊥α,m⊥n ,则 n//α D. 若 m//α,m⊥n ,则 n⊥α
4. 在 △ABC 中， a、b、c 分别是内角 A、B、C 所对的边,若 a=2,b=6,C=30∘ ,则边 c=
A. 2 B. 22 C. 6 D. 8−23
5. 如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 O′A′B′C′ ,且 O′A′//B′C′,O′A′=2B′C′=4,A′B′=2 , 则该平面图形的面积为
A. 12 B. 122 C. 6 D. 62

第 5 题图
为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型. 若 MA⊥ 平面 ABC ，NB⊥ 平面 ABC,AC=60m,BC=703m,tan∠MCA=34,cs∠NCB=1415,∠MCN=150∘ ,则塔尖 MN 之间的距离为

第 6 题图
A. 7510m B. 752m C. 150m D. 757m
7. 在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖膈. 已知四面体 A−BCD 是鳖臑, BC=CD=4 , AB⊥ 平面 BCD ,当该鳖臑的外接球表面积为 48π 时,它的内切球半径为
A. 22 B. 3 C. 22−2 D. 3−1
8. 如图，在矩形 ABCD 中， AB=2 ， AD=1 ， M 为 AB 的中点，将 △ADM 沿 DM 翻折. 在翻折过程中，当二面角 A−BC−D 的平面角最大时,其正切值为


A. 33 B. 12 C. 23 D. 14
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 z 满足 z+4−i=8+i ,则下列命题是真命题的是
A. z 的虚部为 -2
B. z2=z2
C. z 在复平面内对应的点位于第一象限
D. 若 z 与复数 a2+3a+a2+5a+6ia∈R 相等,则 a=1
10. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c ,下列说法中正确的是
A. 若 sinA>sinB ,则 A>B
B. 若 a2+b2−c2>0 ,则 △ABC 是锐角三角形
C. 若 acsB+bcsA=a ,则 △ABC 是等腰三角形
D. 若 asinA=bcsB=ccsC ,则 △ABC 是等腰直角三角形
11. 如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 P 在线段 B1C 上运动，则下列结论正确的是

A. 直线 BD1⊥ 平面 A1C1D
B. 三棱锥 P−A1C1D 的体积为定值
C. 异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范围是 π4,π2
D. 直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为 63
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 1748 年,数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,得到公式 eix=csx+isinx ,这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为 “数学中的天桥”. 根据此公式，可以得到 “最美的数学公式”: eiπ+1= _____▲_____.
13. 已知圆台甲、乙的上底面半径均为 r1 ，下底面半径均为 r2 ，圆台的母线长分别为 2r2−r1 ， 3r2−r1 ， 3r2−r1 ， 与乙的体积之比为_____▲_____.
14. 如图,直三棱柱 ABC−A1B1C1,∠ABC=60∘,AC=2 ，侧棱长为 3 ，点 P 是侧面 ACC1A1 内一点. 当 AB+BC 最大时，过 B 、 B1 、 P 三点的截面面积的最小值为_____▲_____.

四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
已知复数 z1=3+4i,z2=1−ai ( a∈R ， i 是虚数单位).
(1)若 z1⋅z2 是纯虚数，求 z2 ；
(2)若 z2 是实系数一元二次方程 x2−px+3=0p∈R 的根，求实数 a 和 p 的值.
16.(15 分)
如图,已知 A1,1,B5,4,C2,5 ,设向量 a=x,yy>0 是与向量 AB 垂直的单位向量.

(1)求单位向量 a 的坐标；
(2)求向量 AC 在单位向量 a 上的投影向量的模；
(3)求 △ABC 的面积.
17.(15分)
已知 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且满足 a+bsinA−sinB=csinA−sinC .
(1)求角 B 的大小；
(2)若 △ABC 为锐角三角形,且 b=5 ,求 △ABC 周长的取值范围.
18.(17分)(本题用向量法(坐标法)一律不给分)
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1， E ， F 分别为 AD1 ， CD1 的中点.

(1)证明: EF// 平面 ABCD .
(2)求异面直线 EF 与 BC1 所成角的大小.
(3)求直线 BD 与平面 D1AC 所成角的正切值.
19.(17 分) (本题用向量法(坐标法) 一律不给分)
如图，已知三棱台 ABC−A1B1C1 的体积为 7312 ，平面 ABB1A1⊥ 平面 BCC1B1 ， △ABC 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形,且 AB=2AA1=2A1B1=2BB1 .
(1)证明: BC⊥ 平面 ABB1A1 ；
(2)求点 B 到面 ACC1A1 的距离；
(3)在线段 CC1 上是否存在点 F ，使得二面角 F−AB−C 的大小为 π6 ，若存在，求出 CF 的长，若不存在，请说明理由.

余姚中学 2025 学年第二学期 4 月质量检测 高一数学参考答案及评分标准
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 0
13. 64 14. 3
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
(1)因为 z1=3+4i,z2=1−ai ,所以 z1⋅z2=3+4a+4−3ai , -2 分因为 z1⋅z2 是纯虚数,所以 3+4a=04−3a≠0 ,解得 a=−34 , -4 分所以 z2=1+34i ,故 z2=12+342=54 . -6 分
(2) 依题意, 1−ai2−p1−ai+3=0 ,即 4−a2−p+ap−2i=0 , -8 分则 4−a2−p=0 且 ap−2=0 , -10 分解得 a=0p=4 或 a=2p=2 或 a=−2p=2 . -13 分
16.(15分)
(1)设 a=x,y ,依题意有 AB=4,3 , -1 分由 a=1 ，且 a⊥AB ，即 a⋅AB=0 ，得: 4x+3y=0,x2+y2=1, -3 分解得 x=−35,y=45 或 x=35,y=−45. (舍去) 所以 a=−35,45 . -5 分
(2)设向量 AC 与单位向量 a 的夹角为 θ,AC 在单位向量 a 上的投影向量为 h ，则
h=ACcsθ=ACaa=AC⋅a. -7 分
又因为 AC=1,4 ,所以 h=1×−35+4×45=135 ,
所以向量 AC 在单位向量 a 上的投影向量的模为 135 . -11 分
(3) S△ABC=12ABh=12×5×135=132 . -15 分
17.(15分)
(1)由题意知 a+bsinA−sinB=csinA−sinC ,
由正弦定理可得, a+ba−b=ca−c ,即 a2+c2−b2=ac , -2 分 ∴csB=a2+c2−b22ac=12 , -4 分
又 B∈0,π ,所以 B=π3 . -6 分
( 2 )由正弦定理得 asinA=csinC=bsinB=1033 ，所以 a+c=1033sinA+sinC -8 分
∵A+C=2π3 ,
∴a+c=1033sinA+sinA+π3=1033×32sinA+32csA=10sinA+π6 -10 分
又 △ABC 为锐角三角形,则 0