2026八年级数学下册第二十二章函数章末核心要点分类整合课件新人教版（2024）（含答案）

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章末核心要点分类整合第二十二章 函数1.常量和变量：一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量.2.函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.3.函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.4.函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法.专题常量和变量1链接中考>>在一个变化过程中，始终不变的量是常量，变化的量是变量. 常量与变量的考查一般常在章测试中单独出现，在中考中很少单独出现.例 1[期中·沧州河间市]水中涟漪(圆)不断扩大，记它的半径为R，周长为C，下列关于等式C＝2πR的说法正确的是( )A. C，π，R是变量，2 是常量B. C是变量，2，π，R是常量C. C，R是变量，2，π 是常量D. R 是变量，π，C是常量解题秘方：辨析变化的量和不变的量进行判断.解：随着半径R变化，周长C也随之变化，而2，π 不变，所以R，C是变量，2，π 是常量.答案：C专题函数的概念2链接中考>>理解函数概念一定要注意以下三个要素：(1)在一个变化过程中；(2)变量之间的对应关系；(3)当自变量取定一个数值时，对应的函数值是唯一确定的.[期中·北京西城区]下列图象(如图22－1)中，表示y是x的函数的是( )例 2解题秘方：对于一个自变量x，只有唯一一个因变量y值与之相对应，则y是x的函数，据此逐项分析判断即可解答.解：A. 存在自变量x取一个值的时候，有多个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故A选项不符合题意；B. 存在自变量x取一个值的时候，有两个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故B选项不符合题意；答案：DC. 存在自变量x取一个值的时候，有两个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故C选项不符合题意；D. 对于每一个自变量x的值，都只有一个y值与自变量x相对应，故y是x的函数，故D选项符合题意.专题函数自变量的取值范围3链接中考>>求函数自变量的取值范围表面上是考查函数知识，其实是考查自变量出现的形式——整式、分式等知识. 一般以选择题的形式呈现. 注意当几种形式组合时，要综合考虑几个方面. 例 3解题秘方：紧扣函数关系式中式子的结构特征，利用各部分式子有意义的条件确定自变量x的取值范围. 答案：C专题函数的图象4链接中考>>理解函数图象的意义是解决函数问题的根本，利用函数图象解决几何图形中的动点问题或者解决生活中的实际问题时，都离不开对关键点的意义的理解，中考中常考查从函数图象中获取信息，常见的考查形式是选择题.[中考·成都]小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家(小明 家、书店、体育馆依次在同一直线上)，如图22－2表示的是小明离家的距离(单位：km)与时间(单位：min)的关系.例 4下列说法正确的是( )A. 小明家到体育馆的距离为2 kmB. 小明在体育馆锻炼的时间为45 minC. 小明家到书店的距离为1 kmD. 小明从书店到家步行的时间为40 min解题秘方：本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中获取有效的信息，逐一进行判断即可．解：由图象，可知小明家到体育馆的距离为2.5 km，故A 错误；小明在体育馆锻炼的时间为45－15＝30(min)，故B 错误；小明家到书店的距离为1 km，故C 正确；小明从书店到家步行的时间为100－80＝20(min)，故D 错误.答案：C专题函数的应用5链接中考>>把实际问题中的有关数量通过建立函数模型用解析式、图象、数值表表示出来，再利用它们去分析、解决实际问题.一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油40 L，开始工作后，每小时耗油6 L.例 5解题秘方：紧扣问题情境中的等量关系“剩余油量＝原有油量－ 消耗的油量”列出函数解析式，利用函数解析式解决实际问题.(1)写出油箱中的剩余油量W(单位：L)与工作时间t(单位：h)之间的关系式； (2)这台拖拉机工作4 h后，油箱中剩余的油量是多少？解：当t＝4 时，W＝40－6×4＝40－24＝16.因此，这台拖拉机工作4 h 后，油箱中剩余的油量是16 L.(3)当油箱内剩余的油量为10 L时，这台拖拉机已工作了几小时？解：当W＝10 时，10＝40－6t，解得t＝5.因此，这台拖拉机已工作了5 h.专题数形结合思想6专题解读>>数形结合思想，就是在研究问题的过程 中，由数思形、见形思数、数形结合，从而使复杂问题简单化、抽象问题具体化的一种思想方法. 本章中从函数图象获取信息，通过计算解决问题是数形结合思想的完美体现.[期末·宁波慈溪市]甲、乙两人沿同一跑道匀速从A地跑到B地，乙比甲先出发2 min，甲的速度为每分钟150 m，若两人之间的路程y(单位：m)与甲出发的时间x(单位：min)的关系如图22－3所示，则A，B两地的路程为( )A.1 800 mB.2 000 mC.2 400 mD.2 500 m例 6解题秘方：先求出乙的速度，再求出当甲出发4 min 时追上乙，设甲出发m min 后，到达B地，根据此时两者距离为600 m，列出方程，解方程求出m，即可得到A，B两地的路程.解：由题意，可得乙的速度为200÷2＝100(m/min)，由图象，可知当甲出发的时间为a min 时，追上乙，则150a－100a＝200，解得a＝4.因此，当甲出发4 min 时追上乙.设甲出发m min 后，到达B地，则(150－100)×(m－4)＝ 600，解得m＝16. 则A，B两地的路程为150×16＝2 400(m).答案：C题型1 函数图象的判断1. 学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动. 师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈士陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校.类型函数图象问题1设师生队伍离学校的距离为y 米，离校的时间为x 分钟，则下列图象能大致反映y 与x 关系的是(　　)A题型2 从函数图象获取信息2. [中考·河南] 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化. 研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v(单位：km/h)间的函数关系如图. 下列说法错误的是( )A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9B. 当0 ≤ v ≤ 60 时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/hD. 若车速从25 km/h 增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04C题型3 函数图象与几何动点问题3. [中考·浙江] 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方. 如图①，点P是一个固定观测点，动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动. 设AQ为x(单位：km)(0 ≤ x ≤ n)PQ2为y(单位：km2)．如图②，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D(m，81)，且经过E(1，225)和F(n，225)两点. 下列选项正确的是( )A. m＝12B. n＝24C. 点C 的纵坐标为240D. 点(15，85)在该函数图象上D4. 2025 年4 月16日上午，教育部举行新闻发布会，发布和解读《关于加快推进教育数字化的意见》，该意见提出要将人工智能技术融入教育教学的全要素过程，某市为了积极响应国家政策，计划为该市各初级中学购买某种数字化教学设备，经过询问得知，这种数字化教学设备的原价为0.5万元/套，若一次性购买数量不超过100套，按原价付款；类型函数的应用2若一次性购买数量超过100 套，则不超过100套的部分仍按原价付款，超过100套的部分按原价的八折付款，设该市计划购买这种数字化教学设备x(x>100)套，购买所需的总费用为y万元.(1)求y 与x 之间的函数关系式；解：根据题意，可得y＝0.5×100＋0.5×0.8(x－100)＝0.4x＋10，即y与x之间的函数关系式为y＝0.4x＋10.(2)若该市对本次购买这种数字化教学设备的总预算不超过150万元，请你计算最多可购买这种数字化教学设备多少套？解：根据题意，得y≤150，即0.4x＋10≤150，解得x≤350.因此，最多可购买这种数字化教学设备350套．5. [模拟·潍坊安丘市]某地举行龙舟比赛，赛程为900 米，甲、乙两队比赛时，路程y(单位：米)与时间x(单位：分钟)的函数关系如图所示.(1)最先到达终点的是______队，比另一队领先_______分钟到达；乙1(2)求出图中点C的坐标，并解释它的实际意义；解：由题中函数图象，得甲的速度为900÷6＝150(米/分钟)，乙队在第2分钟后第一次加速，其速度为(500－200)÷ (4－2)＝150(米/分钟)，乙队在第4分钟后第二次加速，其速度为(900－500)÷ (5－4)＝400(米/分钟)．设在x分钟时乙追上甲，根据题意，得150x＝500＋400(x－4)，解得x＝4.4.150×4.4＝660.即点C的坐标为(4.4，660)，它的实际意义为当时间为4.4分钟时，乙追上甲，此时路程为660米．(3)假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前 进，那么甲、乙两队谁早到达终点?早几分钟？ 类型探究新函数的图象与性质364321.5②描点：根据表中的数值描点，图中描出了一部分点，请补充描出其他点；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象；解：补充描出其他点如图所示．函数图象如图所示． 06－1