初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）22.2 函数的表示集体备课课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）22.2 函数的表示集体备课课件ppt，共101页。PPT课件主要包含了逐点导讲练，课堂小结，作业提升，课时讲解，课时流程，知识点，函数的图象，知1－讲，知1－练，解列表等内容，欢迎下载使用。
函数的图象从函数图象中获取信息函数的表示方法
1. 函数的图象一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
通过图象可以数形结合地研究函数
拓展：函数图象上的任意一点的坐标(x，y)中的x，y均满足函数解析式；满足函数解析式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在这个函数的图象上.
特别解读函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是散点、曲线等.
2. 描点法画函数图象的一般步骤
特别提醒1. 画函数图象时注意自变量的取值范围，能取到时画实心圆点，不能取到时画空心圆圈.2. 列表时，注意自变量的取值不应使函数值太大或太小.
解题秘方：要判断点P(x，y)是否在某一函数的图象上，只需把x 的值代入该函数的解析式，如果所求得的函数值与y 的值相等，那么这个点就在该函数的图象上，否则就不在该函数的图象上.
1－1.下列各点在函数y＝3x－3图象上的是(　　)A. (－1，3)B. (0，1)C. (1，－1)D. (2，3)
1－2.[中考·广西]函数y＝kx＋3的图象经过点(2，5)，则k＝________.
画出函数y＝－2x＋1的图象，通过图象观察函数与自变量的关系.
解题秘方：(1)列表时，要根据自变量的取值范围，从小到大或从中间向两边取值；(2)取值要有代表性，既要易于描点，又要便于全面地反映函数所刻画的变化规律.
“…”表示自变量有比－3 更小的值，也有比3 更大的值
描点、连线，如图22.2－1 为函数y＝－2x＋1的图象.从函数图象可以看出，直线从左向右下降，即当x 由小变大时，y随之减小.
2－1.在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x和y2＝x2的 图象，通过图象观察函数与自变量的关系.
解：由函数解析式可知自变量x的取值范围是全体实数．列表：
描点、连线，如图所示的直线和曲线分别为函数y1＝x和y2＝x2的图象．从函数y1＝x的图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y1随之增大；从函数y2＝x2的图象可以看出，曲线从左向右先下降再上升，即当x由小变大时，y2先减小再增大．
审图题注意四“清”：一清楚横、纵坐标的含义；二清楚图象与不同对象的关系；三清楚不同图象的起点和终点的含义；四清楚不同图象的“折点”含义.
特别解读观察图象的小技巧：观察图象时，与横轴平行的图象的实际意义取决于纵轴表示的量，若纵轴表示路程，则与横轴平行的图象表示停止运动；若纵轴表示速度，则与横轴平行的图象表示匀速运动.
[中考·天津]已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6 km，文化广场离家1.5 km．张华从家出发，先匀速骑行了4 min到画社，在画社停留了15 min，之后匀速骑行了6 min到文化广场，在文化广场停留6 min后，再匀速步行了20 min返回家．
如图22.2－2中x表示时间，y表示离家的距离，图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系.请根据相关信息，回答下列问题：
解题秘方：弄清横、纵轴的意义，根据图象还原出整个行程即可.
②张华从文化广场返回家的速度为_______km/min；
③当0≤ x ≤25时，求张华离家的距离y 关于时间x的函数解析式；
(2)当张华离开家8 min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20 min直接到达文化广场，那么从画社到文化广场的途中，两人相遇时离家的距离是多少？
3－1. 小明同学骑自行车去郊外春游， 骑行1 h 后，自行车出现故障，维修好后继续骑行，他离家的距离y(单位：km) 与所用的时间x(单位：h)之间关系的图象如图所示. 根据图象回答下列问题：
(1)小明到达离家最远的地方用了多长时间？此时离家多远？
解：由题图可知，小明到达离家最远的地方用了3 h，此时离家30 km.
(2)小明出发2.5 h后离家多远？
(3)小明出发多长时间后离家12 km ？
函数是从数量关系的角度反映变化规律的数学模型，函数的三种主要表示方法及其特点如下表：
特别提醒1. 根据实际问题列函数解析式的方法类似于列方程解应用题, 只要找出自变量与函数之间存在的等量关系，列出等式即可.但要整理成用含自变量的代数式表示函数的形式.2. 函数的三种表示方法有时可以相互转化，应用时要结合具体情况灵活选用.3. 并不是所有的函数都能同时用函数的三种表示方法表示.
一水箱中有水500 L，现在往外放水，每分钟放水50 L，请用三种不同的方法表示水箱中剩余水量y(单 位：L)与放水时间t(单位：min)之间的函数关系.
解题秘方：紧扣“剩余水量＝原水量－放出水量”，用三种方法表示函数关系.
解：(1)解析法：解析式为y＝500－50t(0 ≤ t ≤ 10).(2)列表法：表格如下.
(3)图象法：图象如图22.2－3所示.
在实际问题中要注意自变量的取值范围，本题中y不能为负，所以图象是一条线段
4－1. 一辆汽车以60 km/h的速度匀速行驶，试用不同的方法表示汽车行驶距离s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)之间的函数关系.
解：(1)解析法：解析式为s＝60t(t≥0)．(2)列表法：表格 如下．
(3)图象法：如图所示．
根据图象判断是不是函数
下列图象(如图22.2－4)中，表示y是x的函数的有(　　)A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4
解题秘方：根据“给定一个x 的值，y 是否有唯一确定的值与其对应”进行判断.
解：在前两幅图中，每取一个x, 都有固定的一个y 值与之对应，故y 是x 的函数；在后两幅图中，存在x 取一个值的时候，有两个y 值与之对应，故y 不是x 的函数．
技巧点拨根据图象判断是不是函数时，先过x轴上任意一点作x轴的垂线，再将该垂线进行左右平移，然后观察该垂线与图象是不只有一个交点，只有当该垂线与图象只有一个交点时，该图象才表示函数.
根据实际情境确定函数图象
小李一家开车去观看电影，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速 度，且仍保持匀速行驶.
在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y(单位：km)与行驶时间t(单位：h)的函数关系的大致图象是图22.2－5中的(　　)
解题秘方：弄清题意，确定汽车离剧场的距离越来越近，即y的值越来越小，这是确定函数图象的关键.
技巧点拨根据实际情境确定函数图象的技巧：1. 自变量变化而函数值不变的图象用水平线段表示；2.自变量的变化量相同，而函数值变化越大的函数图象与x 轴所成的锐角就越大；3. 注意确定函数图象的最低点和最高点.
根据函数图象描述实际情境
[模拟·郑州登封市]下列四幅图(如图22.2－6)分别表示变量之间的关系，与图象的顺序相对应的情境分别是( )
①固定月租手机卡(按通话时间计费)，手机话费余额y与通话时间x的关系；②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间x与行驶速度y之间的关系；③一名学生推出实心球，实心球的行进高度y与水平距离x之间的关系；
④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，于是加速返回学校，在此过程中离学校的距离y与所用时间x之间的关系.A.②③①④ B.①④③② C.②③④① D.②①③④
解题秘方：解此题的关键是准确把握每个函数图象的变化趋势，再结合具体的情境进行判断.
解：第一个图象中，y随x 的增加而减小，且x 与y 的乘积是定值，与情境②对应；第二个图象中，x 增加时，y 先增加再减小，且y 的值不是均匀变化，与情境③对应；
第三个图象中，y 随x 的增加而减小，且y 的值均匀变化，与情境①对应；第四个图象中，x 增加时，y 先增加再减小，且y 的值均匀变化，与情境④对应.
技巧点拨可以逆向思考，即根据具体情境描述图象的变化趋势，再结合给出的图象作出判断.
几何动点问题中的函数图象
如图22.2－7，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D→ A做匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是图22.2－8中的 (　　)
方法点拨关于几何动点问题中的函数图象问题，一般从函数图象的段数和各段函数图象的变化趋势上判断. 这里要注意转折点和平行线.转折点：判断函数图象的倾斜程度或增减性变化的关键点.平行线：函数值随自变量的增大(减小)而保持不变.
根据解析式和自变量的取值范围画图象
已知甲、乙两人同时从相距18 km的A，B 两地相向而行，甲以4 km/h的平均速度步行，乙以5 km/h的平均速度步行，相遇为止.
解题秘方：根据“甲、乙两人之间的距离＝总距离－ 两人所走的路程和”列出函数解析式是解本题的关键.
(1)求甲、乙两人之间的距离y(单位：km)和所用的时间x(单位：h)之间的函数解析式；
解：y＝18－(5x＋4x)，即y＝－9x＋18 .
(2)画出函数的图象，并求出自变量的取值范围；
描点、连线，所画图象如图22.2－9所示.因为他们相遇时所用的时间为18÷(4＋5)＝2(h)，所以自变量x 的取值范围为0 ≤ x ≤ 2 .
也可根据x和y均大于或等于0，通过列不等式(组) 得出
(3)求当甲、乙两人相距6 km时所用的时间.
方法点拨1. 一次函数的图象是一条直线，所以画图象时通常采用“两点法”(下一节学).2. 画有自变量取值范围的函数图象时，只需画出自变量取值范围内的图象，不在范围内的不画.
画函数图象时，忽略自变量的取值范围导致画出的图象错误
已知矩形的一组对边长是x cm，另一组对边长是(x＋1)cm. 设矩形的周长是y cm，画出y关于x的函数图象.
错解： 易得函数解析式为y＝4x＋2 . 描点、连线，所画函数图象如图22.2－10所示.
正解：依题意，得函数的解析式为y＝2x＋2(x＋1) ＝4x＋ 2，其中自变量的取值范围是x>0. 列表如下：
描点、连线，得函数y＝4x＋2(x>0) 的图象，如图22.2－11 所示.
诊误区：画几何问题的函数图象时，要准确判断自变量的取值范围.此题中由于x是矩形的一组对边长，因此x是正数，所以函数图象只是x轴正半轴上方的部分.
[中考·武汉]如图22.2－12，一个透明圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水.
用函数图象描述变化过程
下列图象(如图22.2－13)能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是(　　)
试题评析：本题主要考查函数的图象，根据题意分三段分析，注意圆柱底面直径的变化．
解：下层圆柱底面半径大，水面上升快，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．
[中考·广东]在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y(W·h)与骑行里程x( km)之间的关系如图22.2－14所示. 当电池剩余能量小于100 W·h时，摩托车将自动报警.
从函数图象获取信息作出判断
根据图象，下列结论正确的是( )A. 电池能量最多可充400 W·hB. 摩托车每行驶10 km 消耗能量300 W·hC. 一次性充满电后，摩托车最多行驶25 kmD. 摩托车充满电后，行驶18 km将自动报警
试题评析：本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可．
解：由图象可得，当x＝0 时，y＝500，所以电池能量最多可充500 W·h，故A错误；500÷25＝20( W·h)， 20×10＝200(W·h)所以摩托车每行驶10 km 消耗能量200 W·h，故B 错误；
由图象可得，当x＝25 时，y＝0，所以一次性充满电后，摩托车最多行驶25 km，故C 正确；(500－100) ÷20＝20(km)，所以摩托车充满电后，行驶20 km 将自动报警，故D 错误.
[中考· 遂宁]如图22.2－15①，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点，以每秒1 个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．
利用函数图象解决几何动点问题
试题评析：本题考查动点问题的函数图象，矩形的判定与性质等. 解答此类问题的关键是确定“拐点”的意义，根据函数图象中给出的数据，结合几何图形的性质解决问题.
解：如图22.2－15 ①，连接CP.∵ AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴ AC2＋BC2＝82＋62＝102＝AB2.∴ △ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.
1. 小亮因感冒发烧住院治疗，护士为了较直观地了解小亮这天24小时的体温和时间的关系，应该选择的比较好的表示方法是( )A. 列表法 B. 图象法C. 解析式法 D. 以上三种方法均可
2. 下列各图中，y不是x的函数的是( )
3. 如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的透明水槽 中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块被提起的时间x(单位：s)之间的函数关系的大致图象是(　　)
4. 下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x.
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(　　)A. ①② B. ①③C. ②③ D. ①②③
5. 已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离． 结合图象给出下列结论：
①体育场离该同学家2.5 km；②该同学在体育场锻炼了15 min；③该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2 倍；④若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5 倍，则a 的值是3.75.其中正确结论的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. [中考·湖南]甲、乙两人在一次100 米赛跑中，路程s(单位：米)与时间t(单位：秒)的函数关系如图所示，_____ (填“甲”或“乙”)先到终点.
8. [中考·资阳]小王前往距家2 000 m的公司参会，先以v0 (m/min)的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14 min，小王距家的路程s(单位：m)与距家的时间t(单位：min)之间的函数图象如图所示． 若小王全程以v0(m/min)的速度步行，则他到达时距会议开始还有______min.
(2)已知点(－a，a－1)在此函数图象上，求a的值.
10. 在烧水时，水温达到100℃ 就会沸腾(在标准大气压下)，下表是某同学做“观察水的沸腾”试验时记录的数据：
(1)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？
解：水的温度每2 min增加14 ℃，当水的温度到100 ℃时不再变化．
(2)用解析式和图象表示水温T与时间t的对应关系.
(3)为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？
解：为了节约能源，应在10 min后停止烧水．
11.[期中·邯郸永年区] “龟兔赛跑：乌龟和兔子比赛到底谁跑得快，它们确定了赛跑的路线后同时从起点出发，兔子一个健步冲到了前面，还嘲笑乌龟跑得慢，当兔子看到乌龟被远远抛在了后面，就在旁边睡了一觉，它认为睡醒了乌龟也不一定能追上自己，但是乌龟坚持不懈的爬啊爬，乌龟慢慢地超过了它，当兔子醒了的时候发现乌龟已经距离终点不远了，它拼命追赶，最终还是乌龟先到达了终点.”
图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的函数关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题.(1)折线OABC表示赛跑过程中______的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中_____的路程与时间的关系，赛跑的全程是______m.
(2)兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？(3)乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？
解：由题图可知，兔子在起初每分钟跑700÷1＝700(m)；乌龟每分钟爬1 500÷30＝50(m)．
700÷50＝14(min)，因此，乌龟从出发到追上兔子用了14 min.