初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 等腰三角形精练

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 等腰三角形精练，共14页。
1、理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.
2、经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力.
3、积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
学习重点：
①等边三角形判定定理的发现与证明；
②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
学习难点：
含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.
一、创设情境、导入新课
1.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
2.一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
二、合作交流、新知探究
探究1：等边三角形的判定定理
例题1.求证：三个角都相等的三角形是等边三角形。
已知：如图：△ABC中，
∠A=∠B=∠C.
求证：△ABC是等边三角形
证明： ∵∠A=∠B ∴BC=AC（ ）
∵∠B=∠C ∴AB=AC（ ）
∴AB=BC=AC （ ）
∴△ABC是等边三角形。
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。
例题2 求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
∠A=60°（∠B=60°或∠C=60°）
求证：△ABC是等边三角形。
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C （ ）
∵∠A+∠B+∠C=180° ∠A=60°
∴∠A=∠B=∠C
∴△ABC是等边三角形。
定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
【强调】：等边三角形的判定定理
由定义来判断：三条边都相等的三角形是等边三角形。
由角来判断：三个角都相等的三角形是等边三角形。
由三角形来判断：①等腰三角形；②有一个角是60°
探究2：含有30°的直角三角形
活动;
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.
结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
例题3：如图 ， △ABC是直角三角形，
∠C ＝90°， ∠A＝ 30°.
求证： BC＝12AB.
证法一
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD
∵ ∠ACB=90°, ∠BAC=30°
∴∠ACD=90° ,∠B=60°
在△ABC与△ADC中
∵ BC=DC ∠ACB=∠ACD AC=AC
∴△ABC≌△ADC（ ）
∴ AD=AB
∵∠ACB=90°,
∴△ABD是等边三角形 （ )
∴BC=CD=12AB（ ).
证法二
证明: 在AB上截取BD=BC,连接CD
∵ ∠ACB=90°,∠BAC= 30°
∴∠B=60°∵BD=BC
∴△BCD是等边三角形（ ）
∴ BD=CD, ∠BDC=60°
∴∠BAC= ∠DCA= 30°
∴ CD= AD
∴ BD=AD=12AB ∴ BC=12AB
证法三
证明: 作∠BCD=60 °,交AB于D
∵ ∠ACB=90°,∠BAC= 30°
∴∠B=60° ∴∠BDC=60°
∴△BCD是等边三角形（ ）
∴ BD=CD, ∠BDC=60°
∴∠BAC= ∠DCA= 30°
∴ CD=AD
∴ BD=AD=12AB
∴ BC=12AB
课堂小结：定理：在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
数学语言：在△ABC 中，
∵∠C =90 °，∠A =30 °
∴ BC =12AB
例：
1．求证： 如果等腰三角形的底角为15°， 那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，ABC中，AB=AC，∠B= 15°， CD是腰AB上的高
求证： CD=12AC
一、基础达标1：
2．已知△ABC 的三个外角都相等，且 AB=3cm，则△ABC的周长为（ ）.
A．6cmB．8cmC．9cmD．10cm
3．已知△ABC的三边长 a、b、c 满足∣a -b∣+（ b -c) 2 = 0，则该三角形是 三角形.
4．如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON = 60°，当OP = 时， △AOP为等边三角形.
5．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长为（ ）
A．1B．3/2C．2D．3
6．已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定
7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD∥CB，求证：AD平分∠CAE．
二、能力提升1：
8． 如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 ．
三、拓展迁移1：
9． 如图，四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．
（1）等边三角形的判定方法：
定义： 。
定理1： 。
定理2： 。
（2）含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 。
四、基础达标2：
10．如图，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，若AD=2cm，则△ABC的周长为 .
11．如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD⊥BC，垂直为D，若CD=1，则AB= .
12．如图，在R t △ ABC中，∠ACB=90°， ∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=1，则AD= .
13．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
A．3B．23C．33D．43
14．如图，在中，AB=AC=4，∠B=∠C=15°．则△ABC的面积为（ ）
A．16B．4C．6D．8
15．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
五、能力提升2：
16． 如图，已知等边△ABC和等边△ADE，其中点A、D、B在同一条直线上，连接BE交AC于点M，连接DC交AE于点N，BE和DC交于点P，则下列结论中：（1）MN∥BD；（2）∠BPC=60°；（3）DN=DE；（4）△BAM≌△CAN．（5）△AMN是正三角形，正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
六、拓展迁移2：
17． 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，D为BC边的中点，点E、F分别在AB、AC边上运动，且始终保持BE=AF，连接DE、DF、EF.
（1）求证：△ADE≌△CDF
（2）判断△CEF的形状，并说明理由；
（3）求四边形AEDF的面积；
（4）若BE=2，求EF的长．
答案解析部分
1．【答案】证明： 在△ABC中，∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠B=∠ACB=15° （等边对等角)，
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+ 15°= 30° （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ).
∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC=90°
∴CD=12AC （30°角所对的直角边等于斜边的一半).
【解析】【分析】根据等边对等角得到∠B=∠ACB=15°，然后根据三角形的外角性质求出∠DAC=30°，再根据30°的直角三角形的性质证明即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ △ABC的三个外角都相等，
∴△ABC的三个内角都相等，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA=3cm，
∴ △ABC的周长为3×3=9cm，
故答案为：C.
【分析】先得到△ABC是等边三角形，即可得到AB=BC=CA=3cm，进而求出△ABC的周长解答即可.
3．【答案】等边
【解析】【解答】解：∵ ∣a -b∣+( b -c)2 =0，
∴a-b=0，b-c=0，
解得a=b=c，
∴△ABC是等边三角形，
故答案为：等边.
【分析】解题的关键在于利用绝对值和平方数的非负性求出三角形三边的关系，再根据等边三角形的判定条件判断三角形的形状解答.
4．【答案】a
【解析】【解答】解：当OP =a时，∵OA=a，
∴OA=OP =a，
又∵∠AON = 60°
∴△AOP为等边三角形。
故答案为：a.
【分析】解题的关键在于根据等边三角形的判定条件判断三角形的形状解答.
5．【答案】C
【解析】【解答】解： ∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60∘,BC=AB=4.
∵∠BAD=30∘,
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=60∘−30∘= 30∘=∠BAD,
∴AD为∠BAC的平分线，
∴AD为BC边的中线，
∴CD=12BC=12×4=2.
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质得到∠BAC=60∘,BC=AB=4，然后推理得到AD为∠BAC的平分线，根据三线合一即可解答.
6．【答案】A
7．【答案】解：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD∥CB，
∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠CAD，
∴AD平分∠CAE．
【解析】【分析】利用等腰三角形两底角相等的性质可得∠B＝∠C，然后根据平行线的性质可得∠B＝∠EAD，∠C＝∠CAD，即可得到∠EAD＝∠CAD证明结论即可.
8．【答案】30°或75°或120°
9．【答案】解：延长AD、BC交于E，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠E=60°，
∵∠ADC=120°
∴∠ECD=60°
∴△EDC是等边三角形，
设CD=x
AE=4+x
BE=1+x
则2（1+x）=4+x
解得x=2
∴CD=2
10．【答案】12cm
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB = AC = BC， ∠ACB=60°.
∵AD∥BC， CD⊥AD，
∴∠D+∠DCB=180°， ∠D =90°.
∴∠DCB=90°.
∴∠ACD=∠DCB-∠ACB=30°.在Rt△ACD中，
∵AD=2cm，∠ACD=30°，
∴AC=2AD=4(cm).
C△ABC=AB+AC+BC=12(cm).
故答案为：12.
【分析】利用平行线的性质和CD⊥AD，先得到∠DCB的度数，再求出∠ACD的度数，再直角三角形中，利用30°角所对的边与斜边的关系求出AC，最后求出等边三角形的周长.
11．【答案】2
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴△ADC与△ADB均为直角三角形.
∵Rt△ADC中∠ACB=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形.
∵△ADC是等腰直角三角形， CD=1，
∴AD=CD=1.
∵Rt△ABD中AD=1、∠CBA=30°，
∴AB=2AD=2.
故答案为：2.
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AD=CD=1，然后根据30°的直角三角形的性质解答即可.
12．【答案】3
【解析】【解答】解： ∵∠ACB=90°， ∠B=60°，
∴∠A=90°-∠B=30°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC =∠ADC=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=30°，
∴BC=2BD=2，
∴AB=2BC =4，
∴AD=AB-BD=4-1=3，
故答案为：3.
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得∠A =30°，再根据垂直定义可得∠BDC =∠ADC =90°， 从而可得∠BCD=30°，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得BC=2BD=2， AB=2BC =4，进行计算即可解答.
13．【答案】D
14．【答案】B
【解析】【解答】解：过C作CD⟂AB交BA的延长线于D，
∵AB=AC=4,∴∠B=∠ACB=15∘,
∴∠CAD=∠B+∠ACB=15∘+15∘=30∘,
∵AC=4cm,CD是AB边上的高，
∴CD=12AC=12×4=2,
∴S△ABC=12×4×2=4,
故答案为：B.
【分析】据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD的度数，然后根据 30∘角所对的直角边等于斜边的一半求解即可.
15．【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°，
∵DE∥BC，
∴∠AED+∠C＝70°，
∴∠BDE＝∠A+∠AED＝105°．
16．【答案】D
【解析】【解答】解：
解： ∵△ABC， △ADE都是等边三角形，
∴AB=AC， AE=AD， ∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠BAE=∠CAD，在△BAE和△CAD中
AB=AC∠BAE=∠CAD,AE=AD
∴△BAE=△CAD(SAS)，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠AMB=∠CMP，
∴∠BPC =∠BAC = 60°， 故 (2) 正确，在△BAM和CAN中，
∠ABM=∠ACNAB=AC∠BAM=∠CAN=60,
∴△BAM=△CAN(ASA)，故 (4) 正确，
∴ AM = AN，
∵∠MAN =60°，
∴△AMN是等边三角形，故(5)正确；
∴∠NMA=∠BAC=60°，
∴MN∥BD，故 (1) 正确，
∵∠DNE>∠DEN，
∴DE > DN， 故 (3) 错误，
故答案为：D.
【分析】证明△BAE≌△CAD(SAS)，推出∠ABE=∠ACD， 可得∠BPC=∠BAC=60°， 再证明△BAM≌△CAN(ASA)， 推出AM = AN， 可得结论.
17．【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=3，D为BC边的中点，
∴∠B=∠C=45°，∠DAB=∠DAC=12∠BAC=45°AD=BD=DC，
∵AB=AC，BE=AF，
∴AE=FC，
在△ADE和△CDF中
∠DAB=∠C，AD=DC，AE=FC，
∴△ADE≌△CDF；
（2）解：△CEF是等腰直角三角形，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，∠FDC=∠ADE，
∵∠FDC+∠ADF=90°，
∴∠EDF=∠ADF+∠ADE=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形；
（3）解：∵△ADE≌△CDF，
∴S△ADE=S△CDF，
SAEDF=S△ADE+SADF=S△ADF+S△CDF=S△ADC，
∴SAEDF=12S△ABC=12×AB×AC=4.5；
（4）解：∵AB=AC=3，BE=AF=2，
∴AE=3-2=1，
在Rt△AEF中EF=AE2+AF2=5.
【解析】【分析】(1)易证 AD=DC,∠ADE=∠CDF,即可证明 △ADE≌△CDF,即可解题；
(2)由(1)知， △ADE≌△CDF,得出DE=DF， ∠ADE=∠CDF,即可得出结论；
(3)根据(1)中结论可得四边形AEDF的面积= S△ADC=12S△ABC,即可解题；
(4)根据BE的长即可求得AE，AF的长，即可求得EF的长，即可解题.区别
联系
图形
等腰三角形（腰≠底）
等边三角形
等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质.
定义
两边相等的三角形
三边都相等的三角形
性质
轴对称图形（1条对称轴）
轴对称图形（3条对称轴）
等边对等角
三个角都相等，各内角都是60°
三线合一
三线合一（3个）
判定
等角对等边