北师大版（2024）八年级下册（2024）3 直角三角形巩固练习

这是一份北师大版（2024）八年级下册（2024）3 直角三角形巩固练习，共33页。
1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。
2、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。
3、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。
学习重点：
掌握“HL”定理的推导过程；运用直角三角形全等解决一些简单的实际问题。
学习难点：
“HL”定理的获得与证明以及如何用几何语言有条理的，清晰的阐述自己的观点。
1、判定三角形全等的方法有： 。
2、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，根据下列条件△ABC与△DEF全等吗？理由是什么？
（1） AB=DE，BC=EF （ ）
（2）∠ A=∠D，AC=DF ( )
（3）AB=DE ，AC=DF ( ）

探究1：直角三角形全等的特有判断定理“HL”
活动一：
1、画一个Rt△ABC,使∠C=90°, CA=3cm, AB=5cm。
2、画一个Rt△ABC,使∠C=90°, CA=3cm, CB=4cm。
把画好的三角形剪下来，同组之间比较一下，它们全等吗?
活动二
如图，已知线段a和c（a＜c），求作：Rt△ABC，使∠C=90°，AC=a，AB=c.
作法：
1、作射线CN,
2、过C点作射线CN的垂线CM.
3、在射线CM上截取CB=a
4、以B为圆心，以线段c的长度为半径作弧，交射线CN与点A.
5、连接AB，△ABC就是所要作的直角三角形。
把画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系？
猜想：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 。
探究2：验证猜想
已知：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′.
证明：在Rt△ABC中，∠C=90°
AC2=AB2一BC2( )．
在Rt△ A′B′C′中， ∠C′=90°
A′C′2=A′B′2—B′C′22( )．
∴AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′．
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′( )
小结：直角三角形全等的判定定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
【强调】在使用“HL”时,同学们应注意什么?
（1）“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
（2）注意对应相等.
书写格式:
∵在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中
AB=A'B'BC=B'C'
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL)
想一想
1、到现在为止，你能够用几种方法判断两个直角三角形全等？
答： 。
2、 一般三角形（非直角三角形）有几种判断三角形全等的方法？
答： 。
例题1
1．如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子的高度AC与右边梯子的水平长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系？
例题2
2．已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．
一、基础达标1：
3．在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE＝DFB．∠A＝∠DC．∠B＝∠CD．AB＝DC
5．如图，一根长为a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP的长度（ ）
A．减小B．增大
C．不变D．先减小再增大
6．已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（ ）
A．75°或15°B．30°或60°C．75°D．30°
7．已知：如图，AC⊥BC，BD⊥AD， AC=BD， 求证：AD=BC.
8．已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC.
二、能力提升1：
9．如图，已知△BAC中∠ABC=90°，CD为高，且CD、CE平分∠ACB，
（1）求∠B的度数
（2）求证CE是AB的中线。且AB=2CE
三、拓展迁移1：
10．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
三角形全等的判断
SSS：如果两个三角形的三条边长度分别相等，那么这两个三角形全等。
SAS：如果两个三角形的一条边和它相邻的两个角，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等。
ASA：如果两个三角形的两个角和夹在它们中间的一条边，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等。
AAS：如果两个三角形的任意两个角和不夹着它们的一条边，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等1。
HL：在直角三角形中，如果两个三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个三角形全等。
四、基础达标2：
11．下列语句中不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
12．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（ ）
A．100度B．120度C．135度D．140度
13．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5B．5C．322D．2
14．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．20B．12C．14D．13
15．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC. 求证：AD∥BC．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，DE⊥AC于点D，交BC于E，连接BD．求证：∠ABD＝∠CED．
五、能力提升2：
17．如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2 ，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
六、拓展迁移2：
18．如图1，已知∠ABC＝90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．
（1）求证：BE＝BF；
（2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．
答案解析部分
1．【答案】解：根据题意可知：∠EAB=∠EDF=90°.
在Rt△CAB和Rt△FDE中，
BC=EFAC=DF
∴ Rt△CAB≌Rt△FDE (HL).
∴∠CBA=∠DEF.(全等三角形的对应角相等）
∵∠DEF+∠EFD=90°（直角三角形的两个锐角互余）
∴∠CBA+∠EFD=90°
【解析】【分析】根据HL得到Rt△CAB≌Rt△FDE，根据对应边相等得到∠CBA=∠DEF，然后根据直角三角形的两锐角互余证明即可.
2．【答案】证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，
∴∠EAD=∠ABC=90°.
在Rt△EAD和Rt△ABC中，
ED=ACEA=AB
∴ Rt△EAD≌Rt△ABC ( ).
∴∠AED=∠BAC.
∵∠EAF+∠BAC=90°，
∴∠EAF+∠AED=90°，
∴∠EFA=90°，
∴ED⊥AC.
3．【答案】A
4．【答案】D
【解析】【解答】解：条件是AB=CD，
理由是： ∵AE⟂BC,DF⟂BC，
∴∠CFD=∠AEB=90∘，
在 Rt△ABE和 Rt△DCF中
AB=CDBE=CF，
∴Rt△ABE≅Rt△DCF(HL)，
故答案为：D.
【分析】根据垂直定义求出 ∠CFD=∠AEB= 90∘，再根据全等三角形的判定定理推出即可.
5．【答案】C
6．【答案】A
【解析】【解答】解：如图①，
∵AB = AC， BD是高， BD=12AB，
∵BD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∵BD=12AB,
∴∠A =30°，
∵AB = AC，
∴∠ABC=∠C=12×180∘−30∘=75∘;
如图②，
AB = AC， BH是高， BH=12AB,
∵BH是△ABC的高，
∴∠AHB =90°，
∵BH=12AB,
∴∠BAH =30°，
∵AB = AC，
∴∠ABC =∠C，
∵∠ABC+∠C =∠BAH，
∴∠ABC=12∠BAH=15∘,
∴这个等腰三角形底角度数为15°或75°.
故答案为：D.
【分析】分两种情况：等腰三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形外部，由此即可求解：
7．【答案】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠D=∠C=90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BAAC=BD
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD.
【解析】【分析】根据垂直可得∠D=∠C=90°，然后根据HL得到Rt△ABC≌Rt△BAD，利用对应边相等得到结论即可.
8．【答案】证明：连接DC.
∵ AD⊥AC，BC⊥BD，
∴∠A=∠B=90°.
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
DC=CDAC=BD
∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL).
∴AD=BC.
9．【答案】（1）解：∵△BAC中，∠ABC=90°，CD、CE平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCE=∠ECB=30°，
∠DCB=60°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠B=90°-60°=30°
（2）证明：由（1）得∠ACD=∠DCE=∠ECB=30°，
∠A=60° ∠ACE=60°，
∴三角形ACE是等边三角形，AC=AE=CE，
∠B=30°，∠BCE=30°，
∴EB=CE，
∴AE=CE=EB，
∴CE是AB的中线。且AB=2CE
【解析】【分析】(1)利用直角 △BCD的两个锐角互余的性质进行解答；
(2)利用已知条件和(1)中的结论可以得到 △ACE是等边三角形和 △BCE为等腰三角形，利用等腰三角形的性质证得结论.
10．【答案】（1）证明：如图1，连接DM、DE，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM=12BC,EM=12BC，
∴DM=EM，
又∵N是DE的中点，
△DEM是等腰三角形，
∴MN⊥DE
（2）解：猜想∴∠DME＝180°﹣2∠A；
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣2（180°﹣∠A）
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A
（3）解：结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连接DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∠BME＝∠ACB+∠CEM=2∠ACB，
∠CMD＝∠ABC+∠MDB=2∠ABC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC＝2（180°﹣∠BAC）＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）＝2∠BAC﹣180°．
∴∠DME＝2∠BAC﹣180°
【解析】【分析】(1)连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到 DM=12BC,ME=12BC,得到DM=ME，根据等腰直角三角形的性质证明；
(2)根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，根据等边对等角和三角形的内角和定理计算即可；
(3)仿照 (2)的计算过程解答.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，故本选项正确；
B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．故本选项正确；
C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，故本选项错误；
D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，故本选项正确．
故选C．
【分析】根据直角三角形全等的判定定理进行解答即可．
12．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠ABC=180°﹣90°=90°，
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA=12×90°=45°，
∴∠AOB=180°﹣（∠OAB+∠OBA）=180°﹣45°=135°．
故选C．
【分析】作出图形，根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC+∠ABC=90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=45°，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
13．【答案】B
14．【答案】C
15．【答案】证明： ∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CDB=90°.
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
AD=CBBD=DB
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC
【解析】【分析】根据垂直可得∠ABD=∠CDB=90°，然后根据HL得到Rt△ABD≌Rt△CDB，再根据对应角相等得到∠ADB=∠CBD，再根据内错角相等，两直线平行得到结论即可.
16．【答案】证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，
∴BD=AD=DC，
∴∠A＝∠ABD，
∵DE⊥AC，
∴∠CED+∠C＝90°．
∵∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠CED，
∴∠ABD＝∠CED
【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线性质得到BD=AD=DC，即可得到∠A＝∠ABD，然后根据等角的余角相等得到∠A＝∠CED，即可证明结论.
17．【答案】（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2
∴∠B＝30° OA＝ 12OB＝3 ，
由勾股定理得：AB＝3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，
∴OC＝BC，
在△AOC中，AO +AC ＝CO ，
∴32+(3−OC)2=OC2
求出OC=BC=2
（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，
则CP＝2﹣t，CQ＝t，
过P作PH⊥OC于H，
∠HCP＝60°，∠HPC＝30°
CH＝12 CP＝ 12（2﹣t），HP＝32（2﹣t），
S△CPQ=12CQ×HP=12t×32(2−t)=32t−34t2
②当t＝2时，P和C重合，Q和O重合，此时△CPQ不存在；
③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，
过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，
∵CO＝2，∠NOC＝60°，CZ=3
CP＝t﹣2，OQ＝t﹣2，
∠NOC＝60°，
∴∠GPO＝30°，
OG＝12 OP＝12（4﹣t） PG＝32（4﹣t），
S△CPQ=S△COQ−S△OPQ=12×OQ×CZ−12×OQ×PC=12(t−2)×3−12(t−2)×32(4−t)∴S△CPQ=34t2−3t+3
④当t＝4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）
过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，
∵∠B＝30°，由（1）知BC＝2，
CM＝12BC＝1，BM=3
OM=OB-BM= 3PQ=BC=2
S△CPQ=12PQ×CK=12×2×3=3
综合上述：S与t的函数关系式是：S＝−34t2+32t(0＜t＜2）34t2−3t+3(2＜t＜4)3(t=4)
（3）解：如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB＝90°，
∵∠B＝30°，∠A＝90°，∴∠AOB＝60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°，∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，
①OM＝PM时，
∠MOP＝∠MPO＝30°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，
∴OP＝2OQ，
∴2（t﹣2）＝4﹣t，
解得：t＝83
②PM＝OP时，
此时∠PMO＝∠MOP＝30°，
∴∠MPO＝120°，
∵∠QOP＝60°，
∴此时不存在；
③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，
OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，
∴∠OPG＝30°，
OG=12OP=2−12t，PG=32(4−t)
∵∠AOC＝30°，OM＝OP，
∴∠OPM＝∠OMP＝75°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45° ∴PG＝QG
OG+QG＝OQ，
即2−12t+32(4−t)=t−2t=6+233
综合上述：当t 为 83 或6+233时，△OPM是等腰三角形
【解析】【分析】(1)求出 ∠B,根据直角三角形性质求出OA，求出AB，在 △AOC中，根据勾股定理得出关于OC的方程，求出OC即可；
(2)有四种情况： ①当P在BC上， Q在OC上时，t