数学八年级下册（2024）第一章 三角形的证明3 直角三角形习题

这是一份数学八年级下册（2024）第一章 三角形的证明3 直角三角形习题，共33页。
1、掌握直角三角形的性质定理和判定定理，了解勾股定理的证明，理解勾股逆定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．从而理解和掌握直角三角形性质定理和直角三角形的判断定理的互逆关系
3、经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．
学习重点：
①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．
②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．
学习难点：
勾股定理及其逆定理的证明方法．
复习提问，温故孕新三角形按角分类
（1）锐角三角形（三个角都是锐角）
（2）直角三角形（只有一个是直角），有两个直角吗？为什么？
（3）钝角三角形（只有一个是钝角），有两个钝角吗？为什么？
直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形
表示方法：Rt△ABC
面积公式：S=12aℎ
边角关系：在Rt△ABC，∠C=90° ∠A+∠B= ,AC2+BC2=AB2
探究1：直角三角形的性质定理
1, 直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余
已知：Rt△ABC,∠C=90°
求证：∠A+∠B=90°
证明：∵Rt△ABC,∠C=90°
∠A+∠B+∠C=180°（ ）
∴∠A+∠B=180°-90°=90°
2, 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
已知:△ABC是直角三角形.∠C=90°
求证: BC2+AC2=AB2.
证明：分别以直角三角形AB、AC、BC边向外作正方形
ABHT,ACDE,BCGF,连接BE、HC,过C作AB的垂线交AB于M交HT于N,如图
∵AB=AH,AE=AE,∠EAB=∠CAH
∴△EAB≌△CAH
∴S△EAB=S△CAH
S△EAB=S△CAH
S△EAB=12AE×ED=12AC2
S△CAH=12AH×AM=12SAHNM
∴AC2=SAHNM
同理BC2=SMNTB
AC2+BC2=SAHMN+SMNTB=SABTH=AB2
∴AC2+BC2=AB2
探究2：直角三角形的判断定理：
1, 有两个角互余的三角形是直角三角形
已知：∠A+∠B=90°
求证：△ABC是直角三角形
证明：
∵ ∠A+∠B=90°
∠A+∠B+∠C=180°（ ）
∴∠C=180°-90°=90°
所以三角形ABC是直角三角形
2, 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方
那么这个三角形是直角三角形
已知:在△ABC中,BC2+AC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形.∠C=90°
证明:作Rt △A′B′C′使∠C′=900,
A′C′=AC,B′C′=BC(如图2),
则A′C′2+B′C′2=A′B′2( ).
∵AC2 + BC2 = AB2( ),
A′C′=AC,B′C′=BC( ),
∴ AB2=A′B′2( ).
∴ AB=A′B′( ).
∴ △ABC≌ △A′B′C′( ).
∴ ∠C=∠C′＝90°( ).
∴ △ABC是直角三角形( ).
探究小结
探究三：
一、判断下面三组互逆命题真假
1、如果两个角是对顶角,那么它们相等,【真命题】
2、如果两个角相等,那么它们是对顶角;【假命题】
3、如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,【真命题】
4、如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;【假命题】
5、三角形中相等的边所对的角相等,【真命题】
6、三角形中相等的角所对的边相等.【真命题】
【强调】互逆命题
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．
原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题!!
二、定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理与勾股定理逆定理,
两直线平行,内错角相等与内错角相等,两直线平行.
直角三角形的两个锐角互余与有两个角互余的三角形是直角三角形。
1．说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）如果ab=0，那么a=0 b=0
一、基础达标1：
2． 适合条件 ∠A=∠B= 12∠C 的三角形是 ( )
A．锐角三形B．直角三形C．钝角三形D．都有可能
3． 下列命题的逆命题正确的是( )
A．两条直线平行，内错角相等
B．若两个实数相等，则它们的绝对值相等
C．全等三角形的对应角相等
D．若两个实数相等，则它们的平方也相等
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，BD 平分∠ABC ，AB=5cm，BC=3cm，则AD 的长等于 ( )
A．2.5cmB．2cmC．1.5cmD．3cm
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，点D到AB的距离DE＝38cm，那么BC＝（ ）
A．38cmB．76cmC．112cmD．114cm
6．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．若BE＝4，DE＝2，则△ACD的面积为（ ）
A．12B．13C．16D．24
7．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的高，点O是两条高线的交点，则∠A与∠1+∠2的关系是（ ）
A．∠A＞∠1+∠2B．∠A＝∠1+∠2
C．∠A＜∠1+∠2D．无法确定
二、能力提升1：
8．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是 ．
9．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为 ．
三、拓展迁移1：
10．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
直角三角形的性质定理
1、直角三角形的两个锐角互余
2、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形的判断定理
1、有两个角互余的三角形是直角三角形
2、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
命题与逆命题；定理与逆定理
四、基础达标2：
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，则BC＝（ ）
A．1B．2C．3D．5
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，则∠A=（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
13．一个直角三角形的两条直角边分别为5、12，则斜边上的中线为（ ）
A．6013B．1360C．132D．213
14．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（ ）
A．9°B．18°C．27°D．36°
15．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 ．
16．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，BC＝3，则AD＝ ．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为 ．
五、能力提升2：
18．如图，边长为2的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，求动点C到原点O的距离的最大值。
六、拓展迁移2：
19．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．
（1）求∠B的度数；
（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE＝12 AB．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：“四边形是多边形”的逆命题“多边形是四边形”．原命题是真命题，而逆命题是假命题．
（2）解：“两直线平行，同旁内角互补。”的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行．”原命题与逆命题同为真命题。
（3）解：“如果ab=0，那么a=0，b=0”的逆命题是“如果a=0，b=0，那么ab=0．”原命题是假命题，而逆命题是真命题．
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】5
9．【答案】14
10．【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B
（2）解：在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE．
11．【答案】A
12．【答案】B
13．【答案】C
14．【答案】B
【解析】【解答】设较小的锐角是x度，则另一角是4x度.
则x+4x=90，
解得：x=18°.
故选B.
【分析】根据直角三角形的两个角互余即可求解.​
15．【答案】4m
16．【答案】23
17．【答案】9
18．【答案】解：当OA=OB，连接OC， 可得OC的最大值，如图
三角形ABO是等腰直角三角形
三角形ABC是边长为2的等边三角形。
OD=BD=AD=1
AC=2，AD=1，CD=3
CO=OD+CD=3+1
19．【答案】（1）解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
CD，CE三等分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，则∠BCD＝60°，
又∵CD为高，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°
（2）证明：由（1）知，∠B＝∠BCE＝30°，则CE＝BE，AC＝12AB．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
又∵由（1）知，∠ACD＝∠DCE＝30°，
∴∠ACE＝∠A＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE＝EC＝12AB，
∴AE＝BE，即点E是AB的中点．
∴CE是AB边上的中线，且CE＝12AB．直角三角形性质定理
直角三角形判断定理
直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形