数学2 等腰三角形同步达标检测题

这是一份数学2 等腰三角形同步达标检测题，共14页。
1、理解并掌握等腰三角形的判断定理，能用文字语言、数学符号描述判定定理。
2、能够区分等腰三角形的性质定理（等边对等角）和判定定理（等角对等边），明确它们是互为逆命题的关系。
3、了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力。
4、运用性质定理和判定定理进行简单的计算，解决相关的几何问题。
学习重点：
理解“等角对等边”的判定定理，区分性质定理和判定定理.
学习难点：
反证法的推理过程.
一、等腰三角形有哪些特征：
1、 等腰三角形的两腰 ；
2、 等腰三角形的两个底角 ,（简称“ ”）；
3、 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相 。（简称“ ”）
4、 等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角的平分线所在的 .
二、把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果------那么-----”的形式。
1、如果 ,那么 。（性质定理）
2、如果 ，那么 。（判断定理）
命题1、2的关系式 的。
探究1：等腰三角形的判断定理的证明
1、已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。求证ΔABC是等腰三角形
证明：作∠BAC的平分线AD
则∠1=∠2
在△BAD和△CAD中
∠1=∠2
∠B=∠C
AD=AD （ )
∴ △BAD ≌ △CAD （ )
∴ AB= AC （ )
∴ ΔABC是等腰三角形 （ )
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简述为： ）
几何语言：
∵∠B =∠C （已知)
∴ AB=AC（等角对等边)
知识运用
如图，AB=CD,BD=AC,AC,BD相交于E,求证△ADE是等腰三角形
证明：在△ABD和△DCA中
AB=CD BD=AC AD=AD
∴△ABD≌△DCA（ )
∴∠CAD=∠BDA（ ）
∴AE=DE（ ）
所以△ADE是等腰三角形
探究2：数学思想之：正难则反—反证法
1、一个三角形中不可能有两个直角。
证明：假设直角三角形有两个直角
即：∠A=∠B=90°
∵∠A+∠B+∠C=180°（ ）
∴∠C=0°（ ）
∴假设不成立
所以一个三角形不可能有两个直角。
2、在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
证明：假设a2+b2 ＝c2，由勾股定理逆定理可知三角形ABC是（ ），且∠C=90°，
这与已知条件∠C≠90°矛盾。
假设不成立，
从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。
1、 已知：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C。
证明：假设∠B=∠C
则AB=AC（ ）
与已知条件AB≠AC相矛盾
所以假设不成立
所以∠B ≠ ∠ C。
4、已知：在△ABC中，∠B ≠ ∠ C,求证：AB≠AC。
证明：
假设AB=AC
则∠B=∠C（ ）
与已知条件∠B≠∠C相矛盾
所以假设不成立
所以AB ≠ A C。
反证法的定义：
假设命题结论的反面成立，从这个假设出发，经过推理得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果，证明结论否定不成立，间接肯定原命题的结论成立的证明方法叫做反证法。
反证法的步骤：
① 反 设： 假设命题的结论不成立，即假设结论反面成立。
② 找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。
③ 结 论： 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
例1
1．已知：在△ABC中，若∠C是直角，
求证：∠B一定是锐角.
例题2
2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°
已知：△ABC
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
例3
3．若a1、a2、a3、a4、a5都是实数，且 a1+a2+a3+a4+a5＝1，试说明这五个数中至少有一个大于或等于15
一、基础达标1：
4．说出下列命题的反面：
（1）a是实数。
（2）a不大于2。
（3）至少有2个。
（4） 最多有一个。
5．用反证法证明“若a2≠ b2，则a ≠ b”的第一步是 。
6． 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝ .
7． 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为50°，则该三角形的顶角为 .
8． 如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 （添加一个条件即可）
9．如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°. 求证：AB=AC.
10．nbsp；.如图，AB∥CD， ∠1=∠2，求证：AB=AC.
二、能力提升1：
11．华罗庚爷爷的有趣的数学游戏。
有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明。他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。
3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。
试分析为什么异口同声地说出自己戴的是白帽子
三、拓展迁移1：
12． 如图
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E在边AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数；
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D、E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝ ；
（3）图3、4，在△ABC中，∠ACB＝n°（0＜n＜180)，点D、E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数（直接写出答案，用含n的式子表示）
1、等腰三角形的判断
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简述为等角对等边）
反证法基本步骤
① 反 设： 假设命题的结论不成立，即假设结论反面成立。
② 找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。
③ 结 论： 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
四、基础达标2：
13．用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是： 。
14．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ）
A．有一个解B．有两个解
C．至少有三个解D．至少有两个解
15．如图，已知∠A=36°， ∠B=72°， CD平分∠ACB.
（1）∠1= ，∠2= ，图中的等腰三角形有 ，
（2）如果AD=4cm，则BC= .
（3）如果过点D作DE∥BC，交AB于点E，则图中有 个等腰三角形
16． 已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ )
A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或50°
17． 如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
18．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
五、能力提升2：
19．有两个三角形，它们的三个角分别为（1） 20°，60°，100° ；（2） 20°，40°，120°.
怎样把它们分成两个等腰三角形？画出图试试看.
六、拓展迁移2：
20．如图，在△ABC中，∠ACB-∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD的平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．
答案解析部分
1．【答案】证明：反设：假设结论不成立，则∠B是直角或钝角
找矛盾：当 ∠B是直角时，则∠B+∠C=90°
这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾
当∠B是钝角时，则∠B+ ∠C＞180°
这与三角形的三个内角和等于180°矛盾；
结论：综上所述，假设不成立.
∴∠B一定是锐角.
【解析】【分析】由反证法设∠B是直角或钝角，结合三角形内角和定理可得矛盾，即知结论成立.
2．【答案】证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°
则 ∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°
∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°
即∠A+∠B+∠C>180°。
这与三角形的内角和为180°矛盾．假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
【解析】【分析】利用反证法设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，结合三角形内角和定理可得矛盾，即知结论成立.
3．【答案】证明：假设5个数都小于15则
a1+a2+a3+a4+a5=15+15+15+15 +15< 1
这与a1+a2+a3+a4+a5＝1相矛盾
因此假设不成立
所以这五个数中至少有一个大于或等于
【解析】【分析】利用反证法设假设5个数都小于15，由此得这5个数字之和小于1，即与条件矛盾，即知结论成立.
4．【答案】（1）解：a不是实数
（2）解：a大于或等于2
（3）解：至多有1个
（4）解：最少有2个。
【解析】【分析】(1)直接将命题否定即可得其反面；
(2)直接将命题否定即可得其反面；
(3)直接将命题否定即可得其反面；
(4)直接将命题否定即可得其反面.
5．【答案】a2=b2
【解析】【解答】解：反证法的第一步为设a2=b2.
故答案为：a2=b2.
【分析】由反证法的步骤知第一步应设结论不成立.
6．【答案】6
【解析】【解答】解：∵AB||DE
∴∠ABC=∠DEF
∵BE=CF
∴BE+EC=CF+EC
∴BC=EF
在△ABC和△DEF中
AB=DE∠ABC=∠DEFBC=EF
∵△ABC≌△DEF(SAS)
∴DF=AC=6
故答案为：6.
【分析】由AB||DE得∠ABC=∠DEF，由BE=CF得BC=EF，即可证△ABC≌△DEF，即知DF=AC.
7．【答案】40°或140°
【解析】【解答】解：①如图，若等腰三角形ABC为锐角三角形时，AB=AC，BD⊥AC，
∵∠ABD=50°
∴∠BAC=90°-∠ABD=90°-50°=40°；
②若△ABC为钝角三角形，如图所示，BE⊥AC于点E，∠ABE=50°，
则∠BAE=90°-∠ABE=90°-50°=40°，∠BAC=180°-∠BAE=180°-40°=140°
综上所述，三角形的顶角为40°或140°.
故答案为：40°或140°.
【分析】分锐角和钝角两种情况，分别求出等腰三角形的顶角即可.
8．【答案】∠B＝∠C或AE＝AD
9．【答案】证明：∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和等于180°），
∠A=40°，∠B=70° （已知），
∴∠C=180°－∠A－∠B（等式的性质），
=180°－40°－70°=70°，
∴∠C=∠B（等量代换），
∴AB=AC
【解析】【分析】由三角形内角和定理得∠C的度数，得∠B=∠C，即得AB=AC.
10．【答案】证明：∵ AB∥CD（已知），
∴ ∠B=∠2 （两直线平行，同位角相等）.
又∵ ∠1=∠2，
∴ ∠B= ∠1（等量代换）.
∴ AB=AC（等角对等边）
【解析】【分析】由平行的性质知∠B=∠2，即得∠1=∠B，即得AB=AC.
11．【答案】解：假设A、B、C三个学生中，A看到B和C都戴着白帽子。 A会想：如果我戴的是黑帽子，那么B和C都会看到一个黑帽子和一个白帽子。在这种情况下，B和C中的任何一个都应该能迅速推断出自己戴的是白帽子（因为如果他们戴的是黑帽子，另一个就会看到两个黑帽子，这与已知的只有两顶黑帽子矛盾）。 但是，B和C都没有立即说出自己戴的是白帽子，这意味着他们也在犹豫，说明他们看到的并不是一个黑帽子和一个白帽子，而是两个白帽子。
因为B和C都在犹豫，A可以推断出自己戴的帽子不是黑帽子，而是白帽子。
同样的道理，B和C也会进行类似的推理，得出同样的结论。
12．【答案】（1）解：∵AD＝AC，BC＝BE，
∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC.
∴∠ACD＝(180°－∠A)÷2，
∠BCE＝(180°－∠B)÷2，
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°，
∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝135°－90°＝45°；
（2）110°
（3）解：图3.∠DCE＝ 12n°；图4，∠DCE＝ 12n°.
【解析】【解答】解：(2)∵∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°，∠ACB=40°
∴∠CAB+∠ABC=180°-40°=140°
∵AC=AD，BC=BE
∴∠ADC=∠ACD，∠BCE=∠BEC
∵∠CAB=∠ADC+∠ACD，∠ABC=∠DBC+∠DCB
∴∠CAB=2∠D，∠ABC=2∠E
∴2∠D+2∠E=∠CAB+∠ABC=140°
∴∠D+∠E=70°
∵∠DCE=180°-∠D-∠E
∴∠DCE=180°-70°=110°
(3)如图3，设∠ACD=α，∠BCE=β
∵AC=AD，BC=BE
∴∠ACD=∠ADC=α，∠BCE=∠BEC=β
∴∠ACB+∠BCE+∠E+∠A=180°
∴n+β+β+180°-2α=180°
∴α-β=12n
∵∠ADC=∠DCE+∠E
∴∠DCE=∠ADC-∠E=α-β
∴∠DCE=12n
如图4，设∠D=α，∠BCE=β，
∵AD=AC，BC=BE
∴∠ADC=∠ACD，∠BCE=∠BEC
∵∠CAD=∠ACB+∠B
∴180°-2α=n+180°-2β
∴β-α=12n
∵∠BEC=∠D+∠DCE
∴∠DCE=∠BEC-∠D=β-α
∴∠DCE=12n
【分析】(1)由等腰三角形的性质可得∠ACD＝(180°－∠A)÷2，∠BCE＝(180°－∠B)÷2，再由∠A+∠B=90°可得∠DEC的度数；
(2)结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理、外角的性质可得∠DCE的度数；
(3)分别根据等腰三角形的性质、三角形内角定理、外角的性质可得∠DCE的度数.
13．【答案】设这个三角形是等腰三角形
【解析】【解答】解：由反证法第一步直接设这个三角形是等腰三角形.
故答案为：设这个三角形是等腰三角形.
【分析】根据反证法的步骤设否命题即可.
14．【答案】C
【解析】【解答】在逻辑中“至多有 n 个”的否定是“至少有 n+1 个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故选C．
【分析】使学生能够明确逻辑当中至多的否定形式是什么，从逻辑和集合的方面说明否定的对立面，是运用反证法的前提条件．
15．【答案】（1）36°；72°；△ABC、△DBA、△BCD
（2）4cm
（3）5
【解析】【解答】解：(1)∵∠ACB+∠A+∠B=180°
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠A
∴∠ACB=180°-36°-72°=72°
∵CD平分∠ACB
∴∠1=∠BCD=12∠ACB=36°
∵∠2=180°-∠B-∠BCD
∴∠2=180°-72°-36°
∴∠2=72°
∴∠2=∠B=72°，∠A=1=36°，∠ABC=∠ACB=72°
故等腰三角形有3个.
(2)∵∠A=∠1
∴CD=AD=4cm
∵∠2=∠B=72°
∴BC=CD=4cm
(3)∵DE||BC
∴∠CDE=∠BCD=36°，∠ADE=∠B=72°，∠AED=∠ACB=72°
∴△ADE、△CDE为等腰三角形
故图中共有5个等腰三角形
【分析】(1)由三角形内角和定理、角平分线的概念可得角的度数和等腰三角形的个数；
(2)由(1)中等腰三角形的性质知BC的长；
(3)由平行线的性质可得所有的等腰三角形，即知其个数.
16．【答案】C
【解析】【解答】解：若50°为底角，则顶角为180°-50°-50°=80°；
50°度角亦可为顶角；
综上所述，这个等腰三角形的顶角为 50°或80° .
故答案为：C.
【分析】分类讨论50°角为底角和顶角时，结合三角形内角和定理可得顶角的度数.
17．【答案】C
18．【答案】A
【解析】【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；
若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；
故选A．
【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
19．【答案】解：
或
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质分别作图即可.
20．【答案】解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2
∵AF平分∠CAD，
∴∠3=∠4
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∴∠2+∠3=90°
∴∠EAF=90°
∵∠ACB-∠B=90°，
∴∠ACB=∠B+90°，
∵∠ACB=180°-∠B-∠1-∠2(内角和定理）
即180°-∠B-∠1-∠2=∠B+90
∴2(∠B+∠1）=90°
∴∠B+∠1=45°
∴∠AEF=45°
∴△AEF是等腰直角三角形
【解析】【分析】由角平分线概念知∠EAF=90°，结合三角形内角和定理得∠AEF=45°，即知△AEF为等腰直角三角形.