专题02 函数图像及性质的综合应用（考点专练）-2026年高考数学二轮复习讲义（含答案）

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考点一 函数图像及性质的综合应用
命题点01 函数图像的判定
【典例01】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，
又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又，
故可排除D.
故选：B.
【典例02】（2023年天津高考数学真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
命题点02 函数奇偶性
【典例01】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【解析】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
【典例02】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【解析】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
命题点03 比大小
【典例01】（2025年高考全国一卷数学真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，
故选：B．
【典例02】（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
命题点04 函数性质综合应用
【典例01】（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【典例02】（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值点，故D错误.
故选：.
高考预测题
1．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，，定义域为，
又，所以为偶函数，故A错误；
对于B，当时，
易知，，所以，不满足，故B错误；
对于D，当时，，
由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；
检验选项C，满足图中性质。
故选：C
2．已知是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【解析】由函数为偶函数，则轴为该函数图象的一条对称轴；
由函数为奇函数，则原点为该函数图象的一个对称中心.
由函数的图象先向右平移一个单位，再向上平移一个单位，可得到函数的图象，
则是函数的一个对称中心.
所以直线是函数图象的对称轴，是函数图象的对称中心，
由，则，所以.
故选：D.
3．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，化简得，
即，换底后得到；
令，则，化简得，
即，换底后得到；
令，则；化简得，
即，换底后得到；
分别画出它们的图象为：
由图可以看出.
故选：A.
4．（多选题）函数是定义在上的奇函数，满足在区间上单调递减，且，则（ ）
A．
B．
C．关于直线对称
D．在上单调递增
【答案】AD
【解析】因为，所以，
所以，
故，
所以，所以，
所以，6是函数的一个周期.
对于A，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，正确；
对于C，因为，所以，
又，所以，
所以的图象不关于直线对称，错误；
对于B，因为，，
所以，错误.
对于D，因为，
因为6是的周期，所以，故
所以函数的图象关于对称，又在区间上单调递减，
所以在区间上单调递增，正确；
故选：AD
好题速递
1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．B．10C．2D．
【答案】C
【解析】函数，
则，
由函数的图象关于点对称，得恒成立，
即恒成立，
因此，解得，所以.
故选：C
2．（2025·陕西汉中·一模）若函数为奇函数，则实数（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【解析】函数为奇函数，故必有成立，
即，解得，
则此时，定义域为，
而，即函数为奇函数，符合题意，
故，
故选：C
3．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为的定义域为，
且，
所以是奇函数，排除 D．
又因为，
所以，排除A．
当时，，排除B.
故选：C
4．（2025·河北保定·模拟预测）已知函数，则下列比较大小正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由可得函数的定义域为，
由题意知，
令函数，且，
则，即在单调递增，所以，
故在区间上恒成立，则在上单调递减，
所以，由函数的单调性可知.
故选：B
5．（2025·浙江·一模）已知函数是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】的定义域，由，
若，由不等式可解得函数定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数，
若，解得函数定义域为，
若为奇函数，必有，解得；
又，
解得，
故选：C.
6．（2025·安徽合肥·一模）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ）
A．B．1C．3D．7
【答案】B
【解析】因为是定义在上的偶函数，所以.又因为，
所以，所以，所以的周期为.
因为时，，所以.
故选：B.
7．（多选题）（2025·广东江门·模拟预测）已知函数的定义域为，，，且，则的值可能为（ ）
A．101B．102
C．103D．104
【答案】BCD
【解析】因，则，
因，则，
则，即，
令，则，
因，则，
则的值可能为.
故选：BCD
8．已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则 ．
【答案】12
【解析】由知的图像关于直线对称，
又的图像也关于直线对称，
所以函数与的图像有6个交点，
分3对交点分别关于直线对称，每对交点的横坐标之和为4，所以．
故答案为：12.
9．（2025·上海奉贤·一模）若函数是偶函数，则实数 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
由题意可知，即，
所以，
因该等式对定义域内的任意都成立，故，
解得
故答案为：
10．（2025·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，若，，则 .
【答案】3
【解析】，则，故，
所以的一个周期为4，所以，
又中，令得，
故，则.
故答案为：3
高考闯关
1．（2025·四川成都·模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据图象可知，是奇函数，
对于A，由题意得，
则是奇函数，符合题意，故A正确，
对于B，，
则是奇函数，令，则，
当时，在上单调递减，
则，与图象不符，故B错误，
对于C，由题意得，，
则，
可得不是奇函数，故C错误，
对于D，由题意得，
，
则
可得不是奇函数，故D错误.
故选：A.
2．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，
令，
且的定义域为关于原点对称，所以是奇函数，
因为为上的减函数，为上的减函数，
所以函数在上单调递减，故函数在上单调递减，
又由，得，
所以，
所以任意恒成立，即对任意恒成立，
若，可得，此时恒成立，满足要求；
若，则需，解得，
综上所述，的取值范围是，
故选：B.
3．（多选题）（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，由，可得，
两式相减可得，故A正确；
对于B，由为偶函数，可得，
即，所以的图象关于直线对称，
由，两边求导得，即，
所以是以4为周期的周期函数，
则有，无法推出，故B错误；
对于C，由，两边求导得，
即，令，可得，
又，令，可得，
联立，解得，故C正确；
对于D，由，当时，，又，可得，
当时，可得，
由，即，
所以，令，可得，
所以，令，可得，，，
由B知的周期为4，则，所以，
，故D正确.
故选：ACD.
4．（多选题）（2025·云南昭通·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有个零点
【答案】BCD
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，
又因为，所以函数关于直线对称；
所以，
所以，
所以函数是周期为的周期函数，所以A选项错误；
由于函数是奇函数，关于点中心对称，且函数关于直线对称，
因此点是函数的一个对称中心，所以B选项正确；
由于函数是周期为的周期函数，且时，，
那么，因此，所以C选项正确；
作出函数与函数的图象如图所示，
根据图象可知，两个图象有个交点，因此函数有个零点，所以D选项正确，
故选：BCD．
5．（2025·上海嘉定·一模）已知，且，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】令，等价于，可得，解得，
可知函数的定义域为，
因为，即，
可知函数为奇函数，
且，
因为在内单调递增，则在内单调递减，
且在定义域内单调递增，可知函数在内单调递减，
若，则，
可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
6．（2025·上海奉贤·三模）已知、为常数，函数为奇函数，则 ．
【答案】3
【解析】由题意，函数为奇函数，
则，故，
可得，则，解得，
所以.
故答案为：3.
7．（2025·广西柳州·一模）已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以的对称中心为，
又因为，
所以，
所以
，
故答案为：.
8．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知函数，若，，，则，，三个数中最大的是 ，最小的是 .
【答案】
【解析】，
则，
又定义域为，故关于对称，
当时，由，
由、都在上单调递增，
且在上单调递增，故在上单调递增；
由，，则，故，故，
又，故；
令，则，故在上单调递增，
则，则，
又，故，
由，则，即；
故有，
则，
即，即，，三个数中最大的是，最小的是.
故答案为：，.
9．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知定义在上的函数与满足，其中为奇函数，的图象关于直线对称，且，则 ．
【答案】4
【解析】已知为奇函数，
则，即，
用代替，则，即．
因为的图象关于直线对称，所以．
已知，则，
用代替，可得，
由和，
可得，即，
因为，且，
将两式相加可得，
用代替，则．
由和，可得，
所以函数的周期为4．
因为，用代替，则．
由和，且，
可得，即，
所以函数的周期也为4．
由，令，得，即，
所以，
．
所以．
故答案为：4．
01命题探源·考向解密
02根基夯实·知识整合
03高频考点·妙法指津（4大命题点+4道高考预测题，高考必考·（5-10）分）
考点一 函数图象及性质的综合应用
命题点1 函数图象的判定
命题点2 函数奇偶性
命题点3 比大小
命题点4 函数性质综合应用
高考预测题3道
04好题速递·分层闯关（精选10道最新名校模拟试题+9道高考闯关题）
考点
考向
命题特征
函数图象及性质
函数图象的判定
函数奇偶性
比大小
函数性质综合应用
常以选择题的形式出现，常考函数图象变换，借图考单调、奇偶、对称、周期性质，重综合运用与数形结合思想 。
《解题指南》
解题思维：函数图像及性质综合应用需掌握：先识图（单调区间、对称中心/轴、周期），再结合代数验证；善用数形结合，通过图像特征推导函数性质，解决复合函数、方程根、不等式等问题，注重逻辑连贯与综合运用。