专题6 函数的图像（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

第6讲  函数的图像

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一、知识梳理

1.利用描点法作函数的图像

步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.

2.利用图像变换法作函数的图像

(1)平移变换

(2)对称变换

y＝f(x)的图像y＝－f(x)的图像；

y＝f(x)的图像y＝f(－x)的图像；

y＝f(x)的图像y＝－f(－x)的图像；

y＝ax(a>0，且a≠1)的图像y＝logax(a>0，且a≠1)的图像.

(3)伸缩变换

y＝f(x)y＝f(ax).

y＝f(x)y＝Af(x).

(4)翻折变换

y＝f(x)的图像y＝|f(x)|的图像；

y＝f(x)的图像y＝f(|x|)的图像.

二、考点和典型例题

1、函数的图像

【典例1-1】（2021·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（       ）

A．  B． 和

C．和 D． 和

【答案】B

【详解】

如图所示：

函数的单调递增区间是和．

故选：B.

【典例1-2】（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）已知函数若(互不相等)，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

作出函数的图象，如图所示:

设，则.

因为，所以，

所以，所以，即.

当时，解得或，所以.

设，

因为函数在上单调递增，所以，即，

所以.

故选：D.

【典例1-3】（2021·全国·高三专题练习）如图，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则（ ）

A．函数是圆O：的一个太极函数

B．函数不是圆O：的太极函数

C．函数不是圆O：的太极函数

D．函数不是圆O：的太极函数

【答案】A

【详解】

解：两曲线的对称中心均为点，且两曲线交于两点，所以能把圆一分为二，如图：

故A正确；同理易知B，C不正确；

函数为奇函数，且，，如图：

所以函数是圆O：的一个太极函数，故D不正确，

故选：A．

【典例1-4】（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数的图象如下图1，则如下图2对应的函数有可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

图1：当时，，当时，

当时，于图2不符合，故排除C、D．

∵恒成立，于图2不符合，故排除B．

故选：A．

【典例1-5】（2022·安徽淮南·二模（文））函数的部分图象可能是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

记,则,故,是奇函数,故图像关于原点对称.此时可排除A,C ,取 ,排除D.

故选:B

2、图像的平移和变换

【典例2-1】（2022·四川绵阳·三模（理））已知函数，则（       ）

A．在上单调递增 B．的图象关于点对称

C．为奇函数 D．的图象关于直线对称

【答案】D

【详解】

化简得，

的可以看作是函数先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，

先画出的图象，再进行平移画出的图象，

明显可见，对于原函数，为奇函数，关于点对称，且在和上为单调减函数，

所以，经过平移后变成的在上单调递减，关于对称，非奇函数也非偶函数，图象关于直线对称，所以，D正确；A、B、C错误.

故选：D

【典例2-2】（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

解：因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，

所以函数的图象恒过定点，故选项A、B错误；

当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，

又在和上单调递减，故选项D错误，选项C正确.

故选：C.

【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，得到曲线，则上到直线距离最短的点坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

将化为，

则将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，

得到曲线，即，

要使曲线上的点到直线的距离最短，

只需曲线上在该点处的切线和直线平行，

设曲线上该点为，

因为，且的斜率为，

所以，解得或（舍），

即该点坐标为.

故选：B.

【典例2-4】（2021·北京四中高三期中）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（       ）

A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】C

【详解】

要得到函数的图象，则只需要把函数的图象向左平移个单位长度，即可.

故选：C．

【典例2-5】（2021·甘肃·静宁县第一中学高三阶段练习（文））已知函数，则下列图象错误的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

当时，，表示一条线段，且线段经过和两点．

当时，，表示一段曲线．函数的图象如图所示．

的图象可由的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；的图象可由的图象关于轴对称后得到，故B正确；由于的值域为，故，故的图象与的图象完全相同，故C正确；很明显D中的图象不正确．

故选：D．

3、图像的综合应用

【典例3-1】（2022·福建宁德·模拟预测）函数的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

A函数为递减的，错误；C函数的值域大于等于0，错误；D函数为二次函数，错误，只有B符合.

故选：B.

【典例3-2】（2022·天津南开·一模）函数的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

由题意，函数，

因为，即函数的图象过点，可排除A、B项；

又因为，可排除D项，

故选：C.

【典例3-3】（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（       ）（是自然对数的底数）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

解：对于A，函数的定义域为，

由，

所以函数为奇函数，不符合题意；

对于B，函数的定义域为，

由，

所以函数为偶函数，符合题意；

对于C，函数，

则，得且，

故函数的定义域为且，

结合函数图像可知，不符题意；

对于D，函数的定义域为且，

结合函数图像可知，不符题意.

故选：B.

【典例3-4】（2022·安徽·安庆一中模拟预测（文））已知函数在上的图象如图所示，则函数的解析式可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

当时，，则，故排除AB.

当时，则，

令，得或，

当或时，，当时，，

所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故C错误；

当时，则，

令，得或，

当或时，，当时，，

所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，故D正确

故选：D.

【典例3-5】（2022·江西上饶·二模（理））函数的大致图像为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

当，，函数为奇函数，排除C；

，排除AD；

故选：B.

【典例3-6】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数，和双曲余弦函数.下列结论错误的是（       ）

A．双曲正弦函数图象关于原点中心对称，双曲余弦函数图象关于y轴对称

B．若直线与双曲余弦函数图象和双曲正弦函数图象共有三个交点，则

C．双曲余弦函数图象总在双曲正弦函数图象上方

D．双曲正弦函数导函数的图象与双曲余弦函数图象重合

【答案】B

【详解】

对于A，由于，故为奇函数，其图象关于原点中心对称，

而，故为偶函数，图象关于y轴对称，

故A正确；

对于B，当时 ，，故在时为增函数，

当时 ，，故在时为减函数，

因此的最小值在 时取到，最小值为1；

又，故在R上为增函数，

又因为，

由此作出，的大致图象，如图示，

由图象可知，当时，直线与双曲余弦函数图象和双曲正弦函数图象共有2个交点，故B错误；

对于C，由对B的分析可知，双曲余弦函数图象总在双曲正弦函数图象上方，C正确；

对于D，由于，故双曲正弦函数导函数的图象与双曲余弦函数图象重合，D正确，

故选：B