答题模板02 “奇函数+常函数”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)-2026年高考数学二轮复习培优讲义（含答案）

这是一份答题模板02 “奇函数+常函数”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)-2026年高考数学二轮复习培优讲义（含答案），共19页。

模块说明：
洞察命题意图，明确攻坚方向
1. 考向聚焦：精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值。
2. 思维瓶颈：精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板。
1. 考向聚焦（精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值）
高考对“奇函数+常数”模型的考查，核心在于对称中心的平移与最值的配对关系。试题通常围绕以下几点展开：
最值之和定值：若h(x)=f(x)+c，其中f(x) 为奇函数，则h(x) 在对称区间上的最大值 M 与最小值m 满足 M+m=2c（若最值存在）。
和值定常数：已知 h(a)+h(−a)=k，可推出常数 c=k/2，进而求解参数或函数值。
图像对称应用：函数h(x) 的图像关于点(0,c) 中心对称，利用对称性简化作图、解方程或不等式问题。
与其他性质综合：结合单调性、周期性，在动态区间中讨论最值或求参数范围。
考查价值：强化函数代数结构与几何特征的统一，提升学生通过性质迁移解决复杂问题的能力。
2. 思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板）
常见误区与短板如下：
误区1：最值对称错觉
误认为奇函数加常数后，最大值与最小值仍互为相反数，忽略常数平移导致的M+m=2c。
误区2：结构识别障碍
面对复杂表达式，不能主动分离出奇函数部分与常数项，导致盲目计算。
误区3：定义域忽视
讨论最值或f(a)+f(−a) 时，忽略定义域是否对称，或忽略区间端点对最值的影响。
误区4：对称中心混淆
将关于点(0,c) 的对称与关于 y 轴的对称混淆，导致图像或性质推理错误。
能力短板
代数变形中的结构识别能力、数形结合的快速转化能力、含参讨论中的整体思维。
模块说明：
构建思维框架，提炼通用解法
1.模模块化知识体系：熟记“奇函数+常函数”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)的相关知识内容，形成清晰的解题思维基础逻辑，便于快速定位解题切入点。
2.通用解法模板化：针对高频题型，总结“审题-建模-推导-验证”法，规范解题流程，减少思维漏洞，提升答题效率。
3.易错点专项突破：整理常见误区，设计针对性训练题，通过对比正确与错误解法，强化对知识边界的理解，避免重复犯错。
结论背记
二级结论
1. 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有，即倍常数
在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有
即倍常数
与指数函数相关的奇函数和偶函数
，（，且）为偶函数，
，（，且）为奇函数
和，（，且）为其定义域上的奇函数
和，（，且）为其定义域上的奇函数
为偶函数
与对数函数相关的奇函数和偶函数
，（且）为奇函数，
，（且）为奇函数
技法归纳
方法一 求“奇函数+常函数”的最大值+最小值
此方法专用于处理一类特定结构的函数（一个奇函数加上一个常数）。其核心在于利用奇函数的中心对称性，推导出复合函数最值之间的定量关系（和为一个定值），从而将两个最值问题转化为一个最值问题，是简化计算的经典技巧。
详细分析：已知奇函数加常数的最值，求相关值
问题模式：设hx=fx+c,fx为奇函数，已知hx在区间-a,a上的最大值为M, 最小值为m, 求M+m、c、或另一最值等。
解题步骤：
1.写出关系式：由hx=fx+c和fx奇函数，得
hx+h-x=2c.
2.代入最值点：设hx在x0处取得最大值M, 则h-x0为函数在-x0处的值。若最值在端点或唯一极值点，常利用对称性得h-x0=m(或类似关系)。
关键推论：若最大值点x0∈-a,a, 则-x0∈-a,a, 且h-x0常为最小值（当fx单调或对称时)，故有
M+m=hx0+h-x0=2c.
3.利用已知条件：
。若已知M和c, 则m=2c-M。
。若已知M和m, 则c=M+m2。
4.验证定义域与最值存在：确保区间对称，最值存在且取得点对称。
例题1 设函数的最大值为，最小值为，则 .
例题2 已知函数，，其最大值与最小值分别为和，则 ．
例题3 函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则 ．
方法二 求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值
这是对“奇函数+常函数”结构的直接代数应用，比求最值更为基础。关键在于识别结构后，利用奇函数的性质直接消去变化部分（奇函数），得到恒定结果。此方法常用于快速求值或验证。
例题4 已知函数，则 .
例题5 已知函数，若，则 .
模块说明：
聚焦前沿题型，靶向提升解题能力
1.精选各省市最新模拟题，确保训练内容紧密贴合当前考查方向与命题动态，帮助学生把握前沿考点。
2.按题型进行系统分类与专项训练，使学生能够集中突破特定题型，深度掌握其核心解题思路与技巧。
题型01求“奇函数+常函数”的最大值+最小值（共10题）
1．设函数的最大值为，最小值为，则= .
2．函数在上的最大值和最小值分别为，则 ．
3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）设函数，，当曲线和恒有交点时，记实数的最大值为，最小值为，则 .
4．已知函数的最大值为M，最小值为m，则 .
5．已知函数，的最大值为M，最小值为m，则 .
6．已知函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝ ．
7．设函数，若函数在上的最大值为M，最小值为m，则 ．
8．已知函数，若在区间上的最大值和最小值分别为M，N，则函数的图象的对称中心为 ．
9．函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是 .
10．已知函数，，若的最大值为，最小值为，则 .
题型02求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值（共4题）
11．已知函数，若，则 ．
12．已知函数，，则 .
13．已知函数，若，则 ．
14．已知，为导函数，若，则 ．
模块说明：
答题强化训练，实现能力跃迁。模块题量适中，全部选用最新高质量模拟题，侧重对方法模型的直接应用与巩固。题量15题
一、单选题
1．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．4
2．若奇函数在上是增函数，且最小值是1，则它在上是（ ）
A．增函数，最小值-1B．增函数，最大值-1
C．减函数，最小值-1D．减函数，最大值-1
3．已知函数在上的最大值为，最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
4．若和都是奇函数，且在上有最大值5，则在上
A．有最小值-5B．有最大值-5C．有最小值-1D．有最大值-1
5．已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
6．若对，，有，则函数在上的最大值与最小值的和为（ ）
A．4B．6C．9D．12
7．若定义上的函数满足：对任意有若的最大值和最小值分别为，则的值为（ ）
A．2022B．2018C．4036D．4044
8．已知函数的定义域为，对任何实数、，都有，且函数的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4B．8C．12D．16
二、填空题
10．已知函数，，则 ．
11．若定义在R上的函数为奇函数，设，且，则的值为 ．
12．若定义在上的函数和均为奇函数，设，且，则 .
13．已知函数且，则 ．
14．若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和 .
15．已知函数的定义域为，对任何实数、，都有，且函数的最大值为，最小值为，则的值为 .目录
第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向
第二部分 方法建模 构建方法体系，提供通用工具
【结论背记清单】
方法一 求“奇函数+常函数”的最大值+最小值
方法二 求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值
第三部分 题型专攻 实施靶向训练，提升应试效率。
【题型01】求“奇函数+常函数”的最大值+最小值
【题型02】求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值
第四部分 答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力
第一步：设函数形式
设 g(x)=f(x)+k，其中 f(x) 为奇函数，k 为常数
第二步：利用奇函数性质
f(−x)=−f(x)
第三步：求g(x) 的对称性
g(x)+g(−x)=2k，说明 g(x) 关于点(0,k) 对称
第四步：求最值关系
若 g(x) 在区间上可导或有界，则最大值 M 和最小值 m 满足：
M+m=2k
第一步：设 g(x)=f(x)+k
其中f(x) 为奇函数
第二步：写出 g(a) 与g(−a)
g(a)=f(a)+k，g(−a)=f(−a)+k
第三步：利用奇函数性质
f(−a)=−f(a)
第四步：求和化简
g(a)+g(−a)=2k ⇒ f(a)+f(−a)=0