专题01 集合与常用逻辑用语、复数（考点专练）-2026年高考数学二轮复习讲义（含答案）

这是一份专题01 集合与常用逻辑用语、复数（考点专练）-2026年高考数学二轮复习讲义（含答案）试卷主要包含了集合之间的关系与运算，常用逻辑用语，复数等内容，欢迎下载使用。


考点一 集合之间的关系与运算
命题点01 集合之间的关系
【典例01】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【解析】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
【典例02】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
命题点02 集合的交并补运算
【典例01】（2025年高考全国一卷数学真题）已知集合，，则中元素个数为（ ）
A．0B．3C．5D．8
【答案】C
【解析】因为，所以， 中的元素个数为，
故选：C．
【典例02】（2025年高考全国二卷数学真题）已知集合则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，故，
故选：D.
【典例03】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为整数集，，所以，．
故选：A．
高考预测题
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】集合，由，得，
所以.
故选：C.
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，因为，所以，
则，所以集合表示在复平面上以原点为圆心，1为半径的单位圆上的所有复数，
又集合中的元素都满足集合中元素的条件，
且单位圆上有无数个复数，所以.
故选：A.
3．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】依题意，，，故.
故选：A.
考点二 常用逻辑用语
命题点01 结合其他知识的充要关系的判断
【典例01】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【解析】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
【典例02】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
命题点02 含量词的命题的相关问题
【典例01】（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
高考预测题
1．已知命题，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，所以，其中，
函数在上单调递减，
故当时，，
所以，又集合是集合的真子集，
所以是的一个必要不充分条件，
故选：B.
2．已知、为实数，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．非充分又非必要
【答案】B
【解析】因为，则，又，则，
命题“若，则”为真命题，即，
命题“若，则”为假命题，即
所以“”是“”的必要非充分条件.
故选：B.
3．已知命题，则是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】命题，则是.
故选：B.
考点三 复数
命题点01 复数的基本概念与计算
【典例01】（2025年高考全国二卷数学真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】因为，所以.
故选：A.
【典例02】（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
命题点02 复数的几何意义
【典例01】（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【解析】若，则.
故选：C.
【典例02】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
高考预测题
1．已知复数满足，其中是虚数单位，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【解析】,
.
故选：A.
2．设复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】因为，
对应的点位于第四象限.
故选：D.
3．设，复平面内表示复数的点在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】复数对应的点的坐标为，
因为该点在直线上，所以，
解得，则.
故选：B.
好题速递
1．（2025·四川绵阳·一模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，
，.
故选：C.
2．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】将代入，得，解得或0，
所以.则中元素的个数为3个.
故选：C
3．（2025·高三·河北沧州·期末）已知集合，集合，若，则实数（ ）
A．2B．C．D．0
【答案】C
【解析】由得到，由子集的性质可知．
对于任意的实数，,不能等于，由集合元素的互异性，不成立，
故只能是；求出.
故选：C
4．（2025·全国·模拟预测）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
故选：C．
5．设复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，则.
故选：B
6．（2025·吉林松原·模拟预测）已知为原点，复数在复平面内对应的点分别为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设，则，
若，则，
即，
所以，，充分性成立；
若0，则，又，
所以，
即，必要性成立．
综上所述，“”是“”的充要条件．
故选：C．
7．（2025·高三·河南·月考）设为虚数单位，若，则（ ）
A．-1B．C．D．1
【答案】C
【解析】由题得解得所以.
故选：.
8．（2025·陕西西安·二模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【解析】因为，所以或，
又，则或.
故选：D.
9．（2025·陕西西安·模拟预测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，解不等式，即，
解得或，即不等式的解集为或．
若“”是“”的必要不充分条件，
则集合是集合或的真子集，所以．
故选：C
10．（2025·四川泸州·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】因为等价于，等价于，
又因为可以推出，即充分性成立；
不能推出，例如，即必要性不成立；
综上所述：“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
高考闯关
1．（2025·高三·河北保定·月考）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】法一：先判断充分性，若，因为，则，即，
则，即，即，
设，则，而，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又时，，时，，且，
则或，
设，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
即，则，
即，则，故充分性不成立；
再判断必要性，若，因为，则，即，
则，即，即，则，
由于函数在上单调递减，在上单调递增，
且时，，时，，
则，此时，故必要性成立.
综上所述，“”是“”的必要不充分条件.
法二：若，则，即．
令函数，则.
当时，;当时，.
在上单调递增，在上单调递减．
．
令函数，则．
当时，，所以在上单调递增，，即．
因为，，所以在和上各有一个零点，所以有2个解，即有2个解，显然其中1个解为．
若，则，即．
因为函数与函数的图象只有一个交点，所以方程只有一个解，
即只有一个解，易得．故＂＂是＂＂的必要不充分条件．
故选：B.
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
∵，∴表示所有奇数，也表示所有奇数，
∴，
故选：D．
3．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）定义集合运算：.若集合， ，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题设可得，，
因为，，，，
故，
故选：D.
4．（2025·云南·模拟预测）在中，角所对的边分别为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】在三角形中，由，根据正弦定理得，
所以，
因为，，所以或，
即或；
由，因为，所以，
则，所以，
由，可得或，
解得或，
故“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
5．（2025·贵州六盘水·模拟预测）“函数在上单调递增”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】求导得到；
因为函数在上单调递增，所以在恒成立，所以在恒成立，所以，所以充分性不成立；
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，必要性成立.
故选：B
6．（2025·贵州毕节·模拟预测）给出下列四个命题：
①；
②；
③；
④函数的图象向左平移个单位得到的图象．
其中真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】对于，因为，所以.
根据对数函数的性质，对数函数在上单调递增，所以，故命题①为真命题.
若，则，和都是无理数，不存在有理数使得，所以命题②为假命题.
令，，对求导，可得.
令，即，解得.
当时，，，所以，单调递增；
当时，，，所以，单调递减.
则在处取得极大值，也是最大值，，所以，即，故命题③为真命题.
函数的图象向左平移个单位，根据“左加右减”的原则，得到.
根据诱导公式，可得.
而，所以命题④为假命题.
综上，真命题有①③，共个.
故选：B.
7．（2025·安徽·模拟预测）已知复数满足（其中i为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得，
所以，
所以，
故选：C.
8．（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】表示以为圆心，为半径的圆，
则圆心C到点的距离，
则的最大值为.
故选：A
9．（2025·河南新乡·模拟预测）已知，是虚数单位，方程有解，则正实数（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【解析】由复数相等的充要条件得，
解得或，
当时，解得，
当时，解得舍；
故选：C.
01命题探源·考向解密
02根基夯实·知识整合
03高频考点·妙法指津（6大命题点+9道高考预测题，高考必考·（10-15）分）
考点一 集合之间的关系与运算
命题点1 集合之间的关系
命题点2 集合的交并补运算
高考预测题3道
考点二 常用逻辑用语
命题点1 结合其他知识的充要关系的判断
命题点2 含量词的命题的相关问题
高考预测题3道
考点三 复数
命题点1 复数的基本概念与计算
命题点2 复数的几何意义
高考预测题3道
04好题速递·分层闯关（精选10道最新名校模拟试题+9道高考闯关题）
考点
考向
命题特征
集合
（3年3考）
元素与集合之间的关系；
集合的运算
常以选择题的形式出现，侧重集合的交、并、补运算，多结合一元二次不等式、分式不等式考查集合范围
常用逻辑用语
（3年2考）
充要条件的判定
含量词的命题的相关问题
常以选择题形式出现，侧重命题真假、充要条件判定，考查逻辑推理能力
复数
（3年3考）
复数的相关概念及复数的基本运算
常以选择题形式出现，侧重复数运算、概念辨析，考查数形结合与运算能力
《解题指南》
解题思维：辨清子集、真子集与相等的关系，化简集合（解不等式/根式/分式，转化为区间形式）；明确运算类型（交/并/补），用数轴/Venn图表示；紧扣元素互异性验证结果（注意端点值是否包含）.
《解题指南》
解题思维：常用逻辑用语解题，要明晰概念。命题真假判断需依据条件推理；充要条件要理清充分与必要的双向逻辑；量词命题关注全称与特称的转化，精准否定，步步严谨。
《解题指南》
解题思维：复数解题，先将其化为标准形式。运算时，实部与实部、虚部与虚部分别操作，注意。涉及模长，用公式计算。处理几何问题，借助复平面，将复数与点、向量对应，数形结合求解。