答题模板01 函数的4大基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）-2026年高考数学二轮复习培优讲义（含答案）

这是一份答题模板01 函数的4大基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）-2026年高考数学二轮复习培优讲义（含答案），共19页。学案主要包含了基础公式/基础结论，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

模块说明：
洞察命题意图，明确攻坚方向
1. 考向聚焦：精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值。
2. 思维瓶颈：精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板。
1. 考向聚焦（精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值）
近年来高考对函数性质的考查呈现出综合化、情景化、深层化的特点。试题常将单调性、奇偶性、周期性、对称性中的两个或多个有机结合，并融入函数图象、方程与不等式、导数、数列等知识体系，强调在动态问题或抽象函数背景下进行逻辑推理与代数转化。
核心考查三大方向：
性质的综合嵌套：如“奇函数+周期性”“对称性+单调性”等复合情境下的函数行为分析；
图象与性质的相互转化：通过性质推断图象特征，或由图象推断函数性质，实现形与数的统一；
代数建模与推理：利用性质简化表达式、解方程、求最值、证明不等式，体现函数作为工具的核心价值。
2. 思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板）
学生在处理函数性质综合题时，常见以下误区：
性质割裂使用：仅孤立考虑某一性质，缺乏多性质联动意识，例如在含参函数中忽略奇偶性对单调区间对称性的影响；
图象意识薄弱：不善于将抽象性质转化为直观图象特征，导致代数推导冗长且易错；
定义域忽视症结：讨论奇偶性、单调性时忽略定义域对称性或取值范围，造成逻辑漏洞；
周期与对称关系混淆：对“若函数有两条对称轴则具有周期性”等结论记忆模糊，推导链条断裂；
动态问题逃避分类：面对含参性质判断时，缺乏分类讨论的勇气与条理性。
能力短板体现：
几何直观与代数推理的整合能力、多性质交叉时的系统化归能力、抽象函数中的符号操作与逻辑表达能力。
模块说明：
构建思维框架，提炼通用解法
1.模模块化知识体系：熟记函数的4大基本性质的相关知识内容，形成清晰的解题思维基础逻辑，便于快速定位解题切入点。
2.通用解法模板化：针对高频题型，总结“审题-建模-推导-验证”法，规范解题流程，减少思维漏洞，提升答题效率。
3.易错点专项突破：整理常见误区，设计针对性训练题，通过对比正确与错误解法，强化对知识边界的理解，避免重复犯错。
结论背记
一、基础公式/基础结论
单调性的运算
（1）同一定义域内
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
（2）复合函数的单调性
奇偶性的运算
与指数函数相关的奇函数和偶函数
，（，且）为偶函数，
，（，且）为奇函数
和，（，且）为其定义域上的奇函数
和，（，且）为其定义域上的奇函数
为偶函数
与对数函数相关的奇函数和偶函数
，（且）为奇函数，
，（且）为奇函数
函数的周期性
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
⑤，周期为，，周期为
⑥，周期为，周期为；，周期为；，周期为
⑦复合函数：的周期为，则的周期也为
⑧若的周期为，则、的周期均为
函数的对称性
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
函数的性质综合
（1）周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
（2）奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
技法归纳
方法一 函数单调性的运算
此方法适用于由若干已知单调性的基本初等函数（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等）通过加、减、乘常数等四则运算组合而成的函数。其核心是利用单调函数的运算性质，在公共定义域区间内直接推断新函数的单调性。此方法简便快捷，但需注意运算规则的适用条件；对于乘除运算（非常数因子）或复杂复合结构，仍需使用定义法或导数法。
例题1 设函数，则函数为（ ）
A．奇函数，且在单调递增
B．奇函数，且在单调递减
C．偶函数，且在单调递增
D．偶函数，且在单调递减
例题2 已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在上是增函数B．是偶函数，且在上是增函数
C．是奇函数，且在上是减函数D．是偶函数，且在上是减函数
例题3 设函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
方法二 利用函数的奇偶性求参数值
纵观历年考题，函数的奇偶性一直是函数及其高考中的重要考点。掌握奇偶性的定义至关重要，若能熟练掌握奇偶性的相关运算，便能有效提升解题速度，实现快速求解。
此方法是函数性质中最基础的直接应用。当题目中明确或隐含给出函数的奇偶性（如“奇函数”、“图象关于原点对称”）并含有参数时，我们利用奇偶性的代数定义建立方程，是求解参数最直接、可靠的途径。
例题4 （2025·陕西汉中·一模）若函数为奇函数，则实数（ ）
A．B．1C．2D．4
例题5 （2025·浙江·一模）已知函数是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．1
例题6 （2025·湖北·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为（ ）
A．0B．1C．D．2
方法三 函数周期性的应用及解题技巧
周期性是函数“周而复始”规律的体现。应用的关键在于准确识别题目中隐含的周期条件（不一定是标准 f(x+T)=f(x) 形式），并熟练推导出最小正周期。掌握此法可以将定义域内任意点的函数值转化到我们熟悉的某个周期区间内处理，极大地简化问题。
例题7 （2025·安徽合肥·一模）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ）
A．B．1C．3D．7
例题8 （2025·山东青岛·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．2B．1C．0D．
例题9 （2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．0C．1D．2
方法四 函数对称性的应用及解题技巧
函数的对称性包括轴对称和中心对称，是奇偶性的推广。此方法用于处理更一般的对称关系（对称轴不是y轴，对称中心不是原点）。解题核心是将抽象或具体的对称条件转化为代数等式，从而确定对称要素（轴或中心），并利用“对称点函数值的关系”来简化和解决问题。
例题10 （2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．B．10C．2D．
例题11 （2025·辽宁沈阳·二模）已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（ ）
A．B．C．0D．1
例题12 （2025·广东珠海·模拟预测）已知函数定义域为，且满足，，若的图象与的图象的交点分别为，，……，，则（ ）
A．0B．C．D．
方法五 函数4大性质的综合应用及解题技巧
这是函数性质部分最高阶的解题策略。面对复杂问题时，单一性质往往不足以解决，需要系统性地分析并综合利用奇偶性、周期性、对称性及单调性。这些性质常相互关联（如奇偶性可视为特殊对称性，周期性常隐含对称性）。综合应用的核心思路是“转化”，即通过性质梳理将陌生、复杂的问题化归为熟悉、简单的模型。
例题13 （2025·重庆·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则下列式子中一定是定值的为 （ ）
A．B．C．D．
例题14 （2025·山东聊城·三模）已知是定义域为的可导函数，设其导函数为．若为偶函数，且，则（ ）
A．60B．40C．20D．8
例题15 （2025·河北·模拟预测）（多选）若函数满足下列条件：
①；
②；
③在区间上，；
则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为偶函数D．的周期为4
例题16 （2025·甘肃白银·模拟预测）（多选）已知函数对任意实数a，b都有，且，则（ ）
A．B．
C．D．若x为正整数，则
模块说明：
聚焦前沿题型，靶向提升解题能力
1.精选各省市最新模拟题，确保训练内容紧密贴合当前考查方向与命题动态，帮助学生把握前沿考点。
2.按题型进行系统分类与专项训练，使学生能够集中突破特定题型，深度掌握其核心解题思路与技巧。
题型01 函数单调性的运算（共7题）
1．设函数，则（ ）
A．是奇函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是偶函数，且在单调递减
2．设函数，则（ ）
A．是奇函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是偶函数，且在单调递减
3．已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递增
C．是偶函数，且在上单调递减
D．是奇函数，且在上单调递减
4．已知函数（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递减D．是奇函数，且在单调递增
5．已知函数,则（ ）
A．是偶函数,且在是单调递增
B．是奇函数,且在是单调递增
C．是偶函数,且在是单调递减
D．是奇函数,且在是单调递减
6．函数，则对任意实数，下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递增
C．是奇函数，且在上单调递减
D．是偶函数，且在上单调递减
7．设函数，，则函数（ ）
A．是偶函数且在上单调递增B．是偶函数且在上单调递减
C．是奇函数且在上单调递增D．是奇函数且在上单调递减
题型02 利用函数的奇偶性求参数值（共7题）
1．（2025·广东广州·模拟预测）已知定义域为的函数满足，则（ ）
A．3B．2C．1D．0
2．（2025·天津南开·一模）已知是奇函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
3．（2025·山东聊城·模拟预测）若是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．或
4．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A．B．1C．2D．3
5．（2025·河北衡水·模拟预测）已知是偶函数，则的取值为 ．
6．（2025·江西新余·模拟预测）若函数为偶函数，则 .
7．（2025·江苏盐城·三模）（多选）已知函数是奇函数，且，则（ ）
A．
B．
C．在R上单调递增
D．若对任意实数，不等式恒成立，则
题型03函数周期性的应用及解题技巧（共7题）
1．（2025·广西·模拟预测）已知定义在上的函数满足，，当时，，则等于（ ）．
A．0B．1C．2D．
2．（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1B．C．D．
3．（2025·湖北武汉·二模）函数满足：，若，，则（ ）
A．1B．C．5D．
4．（2025·甘肃白银·三模）已知对于，，，，且，则（ ）
A．B．C．1D．0
5．（24-25高三上·河南驻马店·月考）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A．0B．C．253D．506
6．（2025·四川德阳·模拟预测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 .
7．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数的图象经过坐标原点，，，且为偶函数，则 ．
题型04函数对称性的应用及解题技巧（共5题）
1．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数的图象关于对称，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东·一模）若函数关于直线对称，则（ ）
A．1B．3C．5D．7
3．（2025·江苏苏州·三模）已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则（ ）
A．0B．4C．8D．12
4．（2025·陕西咸阳·二模）已知是定义在上的函数，且为奇函数，若函数的图象与函数的图象有个交点，…，，且，则的值为（ ）
A．1010B．1012C．1014D．1016
5．（24-25高三上·山东潍坊·月考）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，则（ ）
A．0B．C．2025D．
题型05 函数4大性质的综合应用及解题技巧（共14题）
1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数的定义域为，，为奇函数，为偶函数.若，则的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（2025·山东德州·三模）已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
多选题
4．（2025·湖北武汉·三模）已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称
C．在单调递增D．函数有两个零点
5．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（ ）
A．直线是的对称轴
B．在上单调递减
C．
D．设与图象的第i个交点为（），若与的图象有个交点，则
6．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，设，其中，分别为奇函数和偶函数，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．已知数列满足，，则
7．（24-25高二下·河北沧州·月考）已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的有（ ）
A．B．函数是奇函数
C．D．若当时，，则在上单调递增
8．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．B．方程无解
C．D．
9．（2025·河北·模拟预测）函数及其导函数的定义域均为，且满足，为奇函数，若2是的极值点，则（ ）
A．的周期为3B．是偶函数
C．是奇函数D．在上至少有7个零点
10．（2025·湖南·模拟预测）已知定义在上的连续不断的函数满足：①，，；②当时，；③.则（ ）
A．当时，B．
C．是的极小值点D．满足的的取值范围为
11．（2025·海南·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．点是函数图象的对称中心B．是函数的极小值点
C．当时，D．当时，
12．（2025·湖南邵阳·三模）已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．函数为奇函数
C．D．
13．（2025·甘肃白银·三模）已知函数是上的奇函数，，且当时，．函数是上的偶函数，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．是周期为4的周期函数
C．在上单调递增
D．
14．（2025·山东·模拟预测）设是定义域为R的奇函数，且的图象关于直线对称，若时，，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数B．在上单调递减
C．D．在区间上有3543个零点
模块说明：
答题强化训练，实现能力跃迁。模块题量适中，全部选用最新高质量模拟题，侧重对方法模型的直接应用与巩固。题量15题
一、单选题
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数为偶函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
2．设，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
3．（2025·湖南长沙·三模）已知函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，若，均有，则（ ）
A．575B．598C．621D．624
4．（2025·陕西延安·模拟预测）定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．6D．
5．（2025·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且在时恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数关于点对称
B．函数关于直线对称
C．函数的周期为4
D．
7．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知对任意，且，则（ ）
A．B．
C．的图象关于直线对称D．
8．（2025·四川成都·三模）已知函数，对任意，均有，且为的导函数，则（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
9．（2025·宁夏银川·三模）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．是周期为3的周期函数D．
10．（2025·江西·模拟预测）已知定义在R上的函数满足：，，且，则（ ）
A．
B．可能是偶函数
C．的图象不可能关于点对称
D．若，，则在上单调递增
三、填空题
11．（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ．
12．（2025·江西·三模）若函数的图象关于直线对称，则 ．
13．（2025·湖南·三模）已知是偶函数，则的最大值为 .
14．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ．
15．（2025·湖南长沙·三模）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为 ．目录
第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向
第二部分 方法建模 构建方法体系，提供通用工具
【结论背记清单】
方法一 函数单调性的运算
方法二 利用函数的奇偶性求参数值
方法三 函数周期性的应用
方法四 函数对称性的应用
方法五 函数4大性质的综合应用
第三部分 题型专攻 实施靶向训练，提升应试效率。
【题型01】函数单调性的运算
【题型02】利用函数的奇偶性求参数值
【题型03】函数周期性的应用及解题技巧
【题型04】函数对称性的应用及解题技巧
【题型05】函数4大性质的综合应用及解题技巧
第四部分 答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力
f(x)
g(x)
f(x)+g(x)
f(x)−g(x)
f(x)g(x)
f[g(x)]
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
第一步：分解函数
将目标函数拆解为若干个基本初等函数或已知单调性的函数的组合（如f(x)=g(x)+h(x)，(x)=g(x)−h(x)，f(x)=k⋅g(x) 等）。
第二步：确定各部分的单调性
分别确定每个组成部分在所讨论区间上的单调性（明确标注“增”或“减”）。注意定义域和区间的限制。
第三步：应用运算规则
根据运算类型，应用以下规则（均在公共区间上成立）：
1. 加法规则：
增函数 + 增函数 = 增函数
减函数 + 减函数 = 减函数
增函数 + 减函数 → 单调性不确定，需另判
2. 减法规则：
增函数 − 减函数 = 增函数
减函数 − 增函数 = 减函数
增函数 − 增函数 → 单调性不确定
减函数 − 减函数 → 单调性不确定
3. 乘法规则（常数倍）：
若 k>0，则k⋅f(x) 与 f(x) 单调性相同
若 k