专题03 函数图象及性质应用（讲义）-2025年高考数学二轮复习讲与练（北京专用）

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\l "_Tc181630023" 05 核心精讲·题型突破22
\l "_Tc181630026" 题型一：函数定义域、值域、解析式22
\l "_Tc181630028" 题型二：函数单调性、周期性、奇偶性、对称性26
\l "_Tc181630030" 题型三：函数零点所在区间及分段函数值域求参问题31
\l "_Tc181630032" 题型四：对数的实际应用37
\l "_Tc181630032" 题型五：指对幂比较大小42
\l "_Tc181630032" 题型六：指对幂运算及解不等式45
\l "_Tc181630034" 重难点突破：函数的新定义50

函数作为高中数学内容的一条主线,对整个高中数学有着重要的意义,题目分布在选择题和填空题居多,有关函数图像与性质的北京高考试题，考查重点是以基本初等函数、基本初等函数组成的复合函数为载体，以函数内容和性质为主导，考查函数的定义域、值域,函数的表示方法、图象及性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)。通常与不等式、方程等必备知识结合,考查数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想.考查学生运算求解能力、逻辑思维能力、空间想象能力和数学建模等关键能力,尤其加大了对数学建模的考查力度,根据实际问题,建立函数模型或用已知模型解决实际问题。
1.指数基本运算
技巧总结
1、有理数指数幂的分类
⑴正整数指数幂⑵零指数幂
⑶负整数指数幂⑷0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
2、有理数指数幂的性质
⑴
⑵
⑶
⑷
②全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.
2.对数基本运算
技巧总结
对数运算法则
①外和内乘：②外差内除：
③提公次方法：④特殊对数：
⑤指中有对，没心没肺，真数为几，直接取几：
2、对数的定义
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记,其中叫做对数的底数，叫做对数的真数
3、换底公式
①常用换底②倒数原理
③约分技巧④具体数字归一处理：
3.指数函数的图象及其性质
技巧总结
指数函数及其性质
Ⅰ概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
Ⅱ指数函数的图象与性质
注意：①当底数大小不确定时，必须进行两种形式讨论.
②当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快.
当时，的值越小，图象越靠近轴，递减速度越快.
4.对数函数的图象及其性质
技巧总结
对数函数及其性质
Ⅰ概念：函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
Ⅱ对数函数的图象与性质
由于对数图象是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只需由相应的指数函数图象关于对称即可，当然也分和两种情况讨论，讨论如下
注意：①当底数大小不确定时，必须进行两种形式讨论.
②当时，的值越大，图象越靠近轴.当时，的值越小，图象越靠近轴.
5.指对数大小比较问题
技巧总结
指对数大小比较问题已经成为高考的重难点问题，我们这里介绍五大核心思想.
核心思想一：同步《升降》次法
形如：
注意：一般情况下以为底的对数比较大小，底数真数次方一起同升同降.
口诀：为底眼睛亮，底真次方同升降.
核心思想二：先分离常数再比大小
当底数与真数出现倍数关系，必须先将对数分离常数后作比较.
①
②
口诀：底真出现倍数时，分离常数用起来
核心思想三：利用糖水变甜不等式比较大小
当对数比较大小形式中出现底数与真数成等差数列时，可以采用糖水不等式放缩处理.
形如：则存在，或
模型演练：①比较与的大小
根据糖水不等式，令，即
故
②比较与的大小
根据糖水不等式，令，即
故
口诀：底大真小底大者大，底小真大底小者大.
核心思想四：由引出的大小比较问题
如图所示：
①在在，在时，取得最大值且为
②极大值左偏，且
③若，则
若，则
口诀：大指小底永为大（大小指）
6.涉及指数分段函数判断参数的取值范围
技巧总结
形如：
①如果为单调递增函数，满足：为递增函数，为递增函数，.
②如果为单调递减函数，满足：为递减函数，为递减函数，.
③如果由最大值，满足：为递增函数，为递减函数，.
④如果由最小值，满足：为递减函数，为递增函数，.
7.涉及对数分段函数判断参数的取值范围
技巧总结
形如：
①如果为单调递增函数，满足：为递增函数，为递增函数，.
②如果为单调递减函数，满足：为递减函数，为递减函数，.
③如果由最大值，满足：为递增函数，为递减函数，.
④如果由最小值，满足：为递减函数，为递增函数，.
8.已知函数解析式求定义域
技巧总结
在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数.定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题.通过对近几年高考试题的分析看出，本讲内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小.
若函数f(x)的解析式为已知函数的形式采用直接法.
解题模板如下：
第一步：找出使函数f(x)所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形：
(1)分式中分母不为0；(2)偶次方根中被开方数非负；(3)的底数不为零；
(4)的底数不为零；
(5)对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0；
(6)正切函数y=tanx的定义域为 .
(7)指数式中底数大于零且不等于1.
(8)正弦函数、余弦函数、多项式函数（一次函数、二次函数、三次函数,…）的定义域为R.
(9)对于幂函数：
m为偶数，n为偶数，函数的定义域为R，m为偶数，n为奇数，函数的定义域为R，
m为奇数，n为偶数，函数的定义域为[0,+∞)，m为奇数，n为奇数，函数的定义域为R.
注：的定义域为[0,+∞)，而的定义域为R.
第二步：列出不等式（组）
第三步：解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数f(x)的定义域.
9.求函数解析式五大思路
技巧总结
模型一：待定系数法求函数解析式
适用条件：已知函数解析式的类型
步骤如下：
第一步：先设出第二步：再利用题目中给的已知条件，列出等式
第三步：列出关于待定系数的方程组（左右对应匹配），进而求出待定的系数.
模型二：换元法求函数解析式
适用条件：已知函数且能够很轻松的将用表示出来.
步骤如下：
第一步：令，解出且注意新元的取值范围
第二步：然后代入中即可求得
第三步：从而求得.
模型三：配凑法求函数解析式
适用条件：已知函数且不能够很轻松的将用表示出来.
步骤如下：
第一步：将等号右边先出现
第二步：将题干等号右边形式变形成的形式.
第三步：从而求得的解析式.
模型四：方程组法求函数解析式
适用条件：已知与、与（为常数）等之间的关系式
步骤如下：
第一步：将原式抄写一遍，如
第二步：将交换，再写一遍.
第三步：建立二元一次方程组，进行消元从而求得的解析式.
模型五：分段函数求函数解析式
适用条件：已知的解析式求的解析式.
步骤如下：
第一步：明确函数的奇偶性
第二步：，代入已知函数解析式
第三步：利用奇偶性从而求得的解析式.
10.各种函数的值域
技巧总结
形如①：或采用判别式法.
解题步骤：
第一步：观察函数解析式的形式，型如的函数；
第二步：将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域.
形式1：
形式2：
移项继续利用形式1进行处理.
11.复合函数分析单调性
技巧总结
使用前提：简单的复合函数类型
解题步骤：
第一步：先求函数的定义域；
第二步：分解复合函数，分别判断内外层函数的单调性；
第三步：根据同增异减，确定原函数的增减区间.
剖析：若函数在内单调，在内单调，且集合.
(1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数
(2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数
口诀：同则增，异则减(同增异减).
12.结论法(函数性质法)分析单调性
技巧总结
使用前提：将所给的函数进行“庖丁解牛”后每一部分都是一个很明显可以判断单调性的函数.
解题步骤：
第一步：确定所给函数是由哪些可以判断单调性的简单函数组合而成的.
第二步：结合函数的性质即可确定函数的单调性.
常见的结论(函数性质)包括：
(1)与单调性相同.(为常数)
(2)当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性 (3)当恒不等于零时，与其有相反的单调性.
(4)当、在上都是增(减)函数时，则在上是增(减)函数.
(5)当、在上都是增(减)函数，且两者都恒大于0时，在上是增(减)函数；当、在上都是增(减)函数，且两者都恒小于0时，在上是减(增)函数.
(6)设为严格增(减)函数，则函数必有反函数，且反函数在其定义域上也是严格增(减)函数.
(7)奇(或偶)函数的单调性：
由奇偶函数定义易知：奇函数在对称的区间上有相同的单调性；偶函数在对称的区间上有相反的单调性.
(8)周期函数的单调性：
若是周期为的函数，且在单调递增或单调递减，则在上单调递增或单调递减.
13.函数奇偶性的妙解
技巧总结
基本方法判定函数的奇偶性
使用前提：函数表达式比较简单，定义域也容易求解.
解题步骤：
第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；
第二步：若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
第三步: 得出结论.
14.根据函数奇偶性的规律判定
技巧总结
使用前提：函数解析式比较复杂，由若干基本函数经过运算之后的函数判定奇偶性.
解题步骤：
第一步：确定所给函数的结构特征，应用奇函数的性质进行判断；
第二步：结合基本函数的奇偶性和函数奇偶性的相关结论确定所给函数的奇偶性.
常见的结论包括：
(1)几个奇函数的代数和是奇函数；几个偶函数的代数和是偶函数；奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数.
(2)奇函数的乘积或商是偶函数，偶函数的乘积或商是偶函数，奇函数与偶函数的乘积或商是奇函数.
常见基本函数的奇偶性：
(1)一次函数，当时，是奇函数，当时，是非奇非偶函数.
(2)二次函数，当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数.
(3)反比例函数是奇函数.
(4)指数函数(且)是非奇非偶函数
(5)对数函数(且，)是非奇非偶函数.
(6)三角函数是奇函数，是偶函数，是奇函数.
(7)常值函数，当时，是偶函数，当时，既是奇函数又是偶函数.
特殊函数的奇偶性：
奇函数：两指两对
⑴，
⑵函数
⑶，
⑷函数，函数
⑸函数
偶函数：
⑴函数 ⑵函数
⑶函数类型的一切函数.
15.函数周期性的妙解
技巧总结
类型一：抽象函数的周期性
使用前提：函数的解析式不确定，给出抽象函数的性质，来确定函数的周期
解题步骤：
第一步：合理利用已知函数关系并进行适当地变形；
第二步：熟记常见结论，准确求出函数的周期性；
常见的结论包括：
结论1：若对于非零常数和任意实数，等式恒成立，则是周期函数，且是它的一个周期.
结论2：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.
结论3：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.
结论4：定义在上的函数，对任意的，若有，(或)(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.
结论5:定义在上的函数，对任意的，有且，
(其中是常数，)则函数是周期函数，是函数的一个周期.
另一种题干出现的信息：①若的图象关于直线都对称，则等价于且，则为周期函数且.
②若为偶函数且图象关于直线对称，则为周期函数且
结论6:若定义在上的函数对任意实数，恒有成立()，则是周期函数，且是它的一个周期.
结论7:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期.
结论8:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期.
结论9:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期.
结论10:①若定义在上的函数的图象关于两点都对称，则是周期函数，且是它的一个周期.
②若奇函数的图象关于点对称，则是周期函数，且是它的一个周期.
结论11:①若定义在上的函数的图象关于点和直线都对称，则是周期函数，且是它的一个周期.
②若奇函数的图象关于直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期.
16.函数对称性的妙解
技巧总结
类型一：函数自身的对称性
使用前提：单一的函数本身具有轴对称或中心对称的特征
解题步骤：
第一步：由所给的函数性质确定函数的对称性
常见函数的对称性包括：
定理1：函数的图像关于点对称的充要条件是.或或
推论1：函数的图像关于原点对称的充要条件是.
定理2：函数的图像关于直线对称的充要条件是，即.
推论2：函数的图像关于轴对称的充要条件是.
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
2．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
3．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据与的关系图可得正确的选项.
【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
4．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
5．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
6．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
【答案】1
【详解】函数，所以.
故答案为：1
7．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【详解】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，
此时，，故③正确；
对于④，取，则的图像如下，

因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
8．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ．
【答案】
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
9．（2020·北京·高考真题）函数的定义域是 ．
【答案】
【详解】由题意得，
故答案为：
10．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【详解】解：若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，当时，单调递减，，
当时，∴或，
解得，综上可得；
故答案为：0（答案不唯一），1
11．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
12．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
题型一：函数定义域、值域、解析式
【典例1-1】函数的定义域为（ ）
A．(0,+∞)B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意得：得且，
所以函数的定义域为，
故选：B
【典例1-2】已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意，，
显然，则，于是，
所以函数的值域是.
故选：C
定义域：（1）确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件
②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义
③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合
（2）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示
值域：实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有观察法、配方法、判别式法、换元法、求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约
解析式：（1）解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式，顶点式和两点式的选择
（2）已知求的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法
（3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（3），若函数方程中同时出现、，则一般用代之，构造另一个方程
【变式1-1】函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由，得或，所以函数的定义域为.
故选：C
【变式1-2】已知函数，，则
A．1B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，故，解得.故，所以.故选D.
【变式1-3】已知，则函数的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】令，由于，则，，
所以，得，
所以函数的解析式为．
故选：B
【变式1-4】在下列函数中，值域为的偶函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】对于A选项，函数的定义域为，故为非奇非偶函数，不符合题意.
对于B选项，的定义域为，且，所以为偶函数，由于，所以的值域为，符合题意.
对于C选项，，故的值域不为.
对于D选项，的定义域为，且，所以为奇函数，不符合题意.
故选：B
1．下列函数中，既是奇函数，又满足值域为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】对A，为奇函数，值域为，故A错；
对B、，函数为“对勾函数”因为，所以，故B错误；
对C，为奇函数，当时，因为，故在为增函数，时，函数值为0，当时，，，画出图形如图：
所以，故C正确；
对D，，函数为奇函数，值域为，故D错误；
故选：C
3．函数的定义域为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【详解】函数，令，得，解得，
所以的定义域为，．
故选：B.
4．函数的定义域为（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【详解】由，解得或，
函数的定义域为或．
故选：A
6．下列函数中，是偶函数且值域为的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对A，，即值域为，故A错误；
对B，的定义域为，定义域不关于原点对称，不是偶函数，故B错误；
对C，的定义域为，定义域不关于原点对称，不是偶函数，故C错误；
对D，的定义域为，，故是偶函数，且，即值域为，故D正确.故选：D.
题型二：函数单调性、周期性、奇偶性、对称性
【典例2-1】下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对于A，因，则函数为偶函数，
且显然在0,+∞上先减后增，故A错误；
对于B，因，则函数为偶函数，且，
显然函数在0,+∞上为增函数，故B错误；
对于C，函数的定义域为0,+∞，故是非奇非偶函数，故C错误；
对于D，因的定义域为，关于原点对称，
且，即函数是偶函数，且在0,+∞上单调递减,即D正确.
故选：D.
【典例2-2】定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由可得，
即关于对称，即，
由可得关于对称，
即，所以，
令，则，代入可得，
即，则，所以的周期为，
由是定义在R上的函数，且关于对称，
可得，又当时，，即，所以，
当时，，且关于对称，则时，，
又关于对称，则时，，
即在一个周期内的值域为，则的最小值为.故选：B
（1）若，则函数关于中心对称
（2）若，则函数关于对称
（3）若，则函数的周期为2a
（4）若，则函数的周期为2a
【变式2-1】已知函数对任意都有，且，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，
D．函数的最小正周期为2
【答案】D
【详解】因为，所以，故，
所以的周期为4，
又，所以，故关于对称，
又时，，故画出的图象如下：

A选项，函数的图象关于点不中心对称，故A错误；
B选项，函数的图象不关于直线对称，B错误；
C选项，当时，，则，C错误；
D选项，由图象可知的最小正周期为4，
又，故的最小正周期为2，D正确.
故选：D
【变式2-2】已知函数的图象沿轴向左平移2个单位后与函数的图象关于轴对称，若，则（ ）
A．-2B．2C．D．
【答案】B
【详解】先求与函数的图象关于轴对称的函数，
可得：，再向右平移2个单位可得，所以，可得：，
故选：B.
【变式2-3】下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】对于A中，由指数函数的性质，可得函数为非奇非偶函数，所以A不符合题意；
对于B中，函数的定义域为关于原点对称，
且，所以为奇函数，所以B不符合题意；
对于C中，函数的定义域为关于原点对称，且满足，所以为偶函数，
当x∈0,+∞时，，在区间0,+∞上单调递增，所以C符合题意；
对于D中，函数在期间0,+∞上不是单调递增函数，所以D不符合题意.
故选：C.
【变式2-4】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对于A，定义域为，令，因为，所以此函数为奇函数，所以A错误，
对于B，定义域为，令，因为，所以此函数为偶函数，
因为在上单调递增，所以B错误，
对于C，定义域为，令，因为，所以此函数为偶函数，
因为在上有增区间也有减区间，所以C错误，
对于D，定义域为，令，因为，所以此函数为偶函数，
当时，，因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以D正确，
故选：D
【变式2-5】下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【详解】是奇函数，它在区间上单调递增，在定义域内不是增函数，所以选项A是错误的；
是偶函数，所以选项B是错误的；
既不是奇函数又不是偶函数，所以选项C是错误的；
满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项D是正确的；
故选：D.
1.设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为为定义在上的偶函数，
所以，
又因为在上为增函数，，
所以，即.
故选：B.
2．已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由满足，
所以函数的周期，
又因为函数为奇函数，且当时，，
所以.
故选：B
3．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误；
对于B：在定义域上单调递减，故B正确；
对于C：，则，
当时，所以在上单调递增，故C错误；
对于D：在定义域上单调递增，故D错误.
故选：B
题型三：函数零点所在区间及分段函数值域求参问题
【典例3-1】已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意，若，则当时，函数单调递增，则；
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，
所以当时，的最小值为，
所以若存在最小值，则实数的取值范围是.
若，则当时，函数单调递减，则；
当时，函数单调递增，则，
所以若存在最小值，则，解得，
综上，实数的取值范围为.
故选：C.
【典例3-2】已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，，，
又函数在上单调递增，
所以，所以函数在12,1存在零点.
故选：B.
判断函数零点所在区间
（1）将区间端点代入函数求函数的值
（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断
（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点
形如：
①如果为单调递增函数，满足：为递增函数，为递增函数，
②如果为单调递减函数，满足：为递减函数，为递减函数，
③如果由最大值，满足：为递增函数，为递减函数，
④如果由最小值，满足：为递减函数，为递增函数，
【变式3-1】已知函数，则下列区间中一定包含零点的是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】令，可得，
可知的零点即为与的交点横坐标，
作出与函数图象，
由图象可知：与在内的唯一交点横坐标在0,1内，
结合选项可知：选项B正确，ACD错误.
故选：B.
【变式3-2】已知的值域为，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】①若，
当时，在上单调递减，此时，
当时，，当且仅当时，等号成立，
又函数的值域D满足，则解得；
②若，
当时，在上单调递增，此时，
当时，，当且仅当时，等号成立，
又函数的值域D满足，不合题意；
③当时，，
若，有（当且仅当时取等号）符合题意，
综上所述：.
故选：D.
【变式3-3】已知函数，则函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．1,2D．
【答案】C
【详解】如图：作出与的图象，两图象只有一个交点，即有且只有一个零点，
，
所以，且在上是连续函数，故的零点在上，
故选：C.
【变式3-4】已知函数，若存在最小值，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】当时，，故当时，有最小值为；
时，单调递减，所以，
由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为.
故选：A
【变式3-5】函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因和都是上的增函数，故也是上的增函数，
又，由零点存在定理，可得函数fx的零点所在的区间是.
故选：B.
1．若函数存在最大值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】当时，，
又函数存在最大值，
所以函数在时取到最大值，又时，，
当时，显然不合题意，当时， 为反比例函数，
所以，故，
故选：D.
2．已知函数，当时，取得最小值，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】当时，单调递增，则；
当时，开口向上，且对称轴为，
又当时，取得最小值，
所以，解得，
所以m的取值范围为．
故选：B．
3．已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：
由图可知，当或时，两图象相交，
若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：
当时，显然两图象之间不连续，即值域不为；
同理当,值域也不是；
当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：B
题型四：对数的实际应用
【典例4-1】已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（ ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【详解】设最初该种电池的性能指数为k，通过月后性能指数变为，则．
由题意得，即，两边取常用对数，可得．
∵，∴．
又，故最多使用13个月就需要更换纯硫酸．
故选：C.
【典例4-2】碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氮14原子所产生.碳14原子经过β衰变转变为氮原子. 由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定.半衰期（Half-life）是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间.对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约为（ ）（参考数据：）
A．40万年B．20万年C．4万年D．2万年
【答案】C
【详解】设第n个半衰期结束时，碳14含量为，
由题意可得，第一个半衰期结束时，碳14含量为，第二个半衰期结束时，碳14含量为，
以此类推，为以首项，公比为的等比数列，
所以，第n个半衰期结束时，碳14含量为，
令，解得
所以这块化石距今约为5730年，即约为4万年.
故选：C.
通过题意列出对应的表达式
（2）运用对数公式进行变形求解
【变式4-1】核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（ ）
（参考数据：，）
A．36.9%B．41.5%C．58.5%D．63.4%
【答案】C
【详解】由题意可知，，即，
所以，解得.
故选：C
【变式4-2】深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：，其中，L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为，衰减速度为．经过轮迭代学习时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下所需要的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由于，所以，
依题意，则，
则，
由，得到，
所以，
所以所需的训练迭代轮数至少为74次，
故选：D.
【变式4-3】“开车不喝酒，喝酒不开车”.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（ ）小时，才能开车?（精确到1小时）（参考数据：，）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【详解】由题得，在喝酒后，血液中酒精含量与时间的关系为，
建立不等式，则，
所以.
故选：A
1．声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）
A．105倍B．108倍C．1010倍D．1012倍
【答案】B
【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，
，，
，，所以，
因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍.
故选：B
2．《荀子·劝学》中：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”．在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们把看作是经过365天的“进步值”，把看作是经过365天的“退步值”.则经过200天时，“进步值”大约是“退步值”的（ ）（参考数据：，，）
A．22倍B．55倍C．217倍D．407倍
【答案】B
【详解】依题意，经过200天的“进步值”为，“退步值”为，
则“进步值”与“退步值”的比，
两边取对数得，
因此，所以“进步值”大约是“退步值”的55倍.
故选：B
3．“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者”的2倍（参考数据：，，）
A．35B．37C．38D．39
【答案】A
【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍，
列方程得，
解得，
即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍．
故选：A．
4．金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度与其来摘后时间（天）满足的函数解析式为.若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为.现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为（ ）（结果保留一位小数，）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题可得，两式相除可得，
则，，
∵，解得，
设天后金针菇失去的新鲜度为，
则，又，
∴，，，，
则，
故选：B.
5．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．72B．73C．74D．75
【答案】B
【详解】由题，，所以，
又由题当时，，即，
所以，令即即，
解得，故，
所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73.
故选：B.
题型五：指对幂比较大小
【典例5-1】已知函数，若，，，则a，b，c从小到大排序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题可知：，，，
由函数在定义域中是单调递增的函数，所以.
故选：A.
【典例5-2】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，
由于为第二象限角，故，
故.
故选：D
1. ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性.
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小
2.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助“媒介数”进行大小关系的判定
3.通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小
4.同构是构造函数的一种常用方法.常利用x=ln⁡ex(x∈R),x=eln⁡x(x>0)将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小
【变式5-1】设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】，，
，
所以.
故选：C
【变式5-2】设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以.
故选：A.
【变式5-3】已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】化简的值，.
对于指数函数，因为底数，所以函数单调递增.
，所以，即.
又因为，.
对于，，即.
则.故选：B.
1． 若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】若，且，
由函数在上为减函数，，
则，
又函数在上为减函数，则，
又函数在0,+∞上为增函数，则，
因此可得.
故选：C.
2．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，
，
又，，所以，
，且，所以，
所以.故选：A.
3．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】依题意得，，
，
，所以，
故，
故选：B.
4．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
因为，，
所以.
故选：C
题型六：指对幂运算及解不等式
【典例6-1】已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】的定义域为，
因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，所以，
所以不等式解集为，
故选：B.
【典例6-2】设是奇函数，则使的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由函数是奇函数，得该函数定义域内实数，恒有，
即恒成立，
因此，则，解得，，
不等式，即，整理得，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
简单指对数不等式的解法（以指数为例）
（1）形如的不等式，可借助的单调性求解
（2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解
（3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解
【变式6-1】不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由不等式等价于，可得，
所以或，解得或，
所以不等式的解集为．
故选：B.
【变式6-2】已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】，
因为在定义域内单调递增，在定义域内单调递减，
所以根据复合函数单调性判断原则：同增异减知：严格递减，
又，为奇函数；
解之：
故选：A.
【变式6-3】已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数的定义域为.
因为在上为增函数，在上为增函数，
所以在上为增函数.
又，所以不等式的解集为.
故选：B
1．关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】∵，
∴，即，
∴不等式的解集为.
故选：A
2．已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且.则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】函数是定义在上的偶函数，则有，
由，则等价于，
在区间上单调递增，所以有，
即或， 解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D.
3．已知是偶函数，它在上是增函数．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由是偶函数，在上是增函数，
可得在上为减函数，又，所以，
即或，解得或，
所以的取值范围是，
故选：B.
4．已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若，且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，是偶函数，且在区间上单调递减，
由得，
所以，所以或，
所以或，
所以的取值范围是.
故选：D
5．设函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，x∈R，则，
作出函数的图象，可知是R上的增函数.
又，是奇函数.
不等式可化为，
所以，则，即，解得，
不等式的解集是.
故选：B.
重难点突破：函数的新定义
【典例7-1】已知定义在上的函数满足：，，当时，有则称函数为“理想函数”.根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对于选项A：若时，对，，当时，
则，
所以不为“理想函数”，故A错误；
对于选项B：若时，对，，当时，
则，
所以不是“理想函数”，故B错误；
对于选项C：时，例如，
则，
所以不为“理想函数”，故C错误；
对于选项D：若时，对，，当时，
则，
所以为“理想函数”，故D正确；
故选：D.
【典例7-2】对于函数y=fx，若存在，使，则称点x0,fx0是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意可知，若函数存在“优美点”，则函数图象上存在关于原点对称的点，
当时，，将其图象关于原点对称，如图，所得图象的解析式为
，
所以只要射线与的图象有公共点即可，
图中射线与的图象相切，
由，得，
由，得，
由图象可知，
所以，即实数的取值范围为，
故选：B
【典例7-3】定义运算则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题：，
因为都是以为周期的函数，所以也是以为周期的函数，
取研究：
当时，；
当时，；
所以函数的值域为.
故选：B.
解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题
【变式7-1】已知符号函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】令，则
，
当时，若，得，符合；
当时，若，得，符合；
当时，若，得，符合；
故函数的零点个数为.
故选：C.
【变式7-2】下列函数中，满足对任意的，都有 的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】对于A：若，则，，
，成立；
对于B：若，由，得，
取，得不成立；
对于C：若，由，得，
取，得不成立；
对于D：若，由，得，
取，得不成立.
故选：A
【变式7-3】设函数的定义域为，如果，，使得成立，则称函数为“函数”. 给出下列四个函数：①；②；③；④，则其中“函数”共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【详解】由函数的定义域为，如果，，使得成立，
可知：“函数”的值域关于原点对称，
由于的定义域为，值域为，所以它是“函数”；
由于的定义域为，值域为，所以它是“函数”；
由于的定义域为，值域为，所以它是“函数”；
由于的定义域为，值域为，所以它是“函数”；
故选：D.
1．已知函数，，对，用表示，中的最小者，记为，则当取得最大值时的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】令，得到或，
在同一坐标系中，画出与的图象，如图，
因为，所以图中实线部分为的图象，
由图可知，当时，取到最大值.
故选：C.
2．若定义运算，，则函数的值域为（ ）
A．B．RC．D．
【答案】A
【详解】，即，
当，
当或时，，
所以函数的值域为.
故选：A.
3．已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在，使得是偶函数
B．存在，使得在上单调递减
C．存在，使得在处取极大值
D．存在，使得的最小值是
【答案】D
【详解】依题意，.
A选项，若是偶函数，则，
则当，时，不满足，A选项错误.
B选项，若在上单调递减，则，与题意矛盾，B选项错误.
C选项，若在处取极大值，则存在，使得在区间上，单调递增，
与“”矛盾，所以C选项错误.
D选项，设，画出图象如下图所示，
由图可知，满足，且是的最小值，所以D选项正确.
故选：D
4．已知，其中，若，则正实数t取值范围（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【详解】令，解得，
当时，，，即，且，解得；
当时，，，即，且，解得，
当时，， ，而为正实数，则此种情况无解，
所以正实数的取值范围为或.
故选：A
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
函数的性质
熟练掌握函数的定义域、值域、解析式及四大性质
2024年北京卷第10题，5分
2023年北京卷第4题，5分
2022年北京卷第4题，5分
2017年北京理科卷第5题，5分
预测2025年高考，函数图像与性质主要以小题形式出现，通常与不等式、方程等必备知识结合具体评估为：
（1）以选择题或填空题形式出现，数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想．
（2）热点是函数用于新定义中，加强学生的逻辑推理思维能力。
基本初等函数
加大基本初等函数（指对幂）的图像应用及互换运算技巧
2024年北京卷第7题，5分
2024年北京卷第9题，5分
2022年北京卷第7题，5分
2020年北京卷第6题，5分
2019年北京理科卷第6题，5分
2017年北京理科卷第8题，5分
函数
a>1
01；当x