2026年小升初数学考点专项训练--考点52：公因数（约）与公倍数

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一、因数的基本概念
(1)因数：正整数a能被正整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数.
(2)公因数：如果一个正整数同时是几个正整数的因数，称这个正整数为它们的公因数.
(3)最大公因数：a和b的公因数中最大的一个就是最大公因数，可表示为：(a，b).
(4)0被排除在因数与倍数之外.
二、倍数的基本概念
(1)倍数：一个正整数a能够被另一正整数b整除，a就是b的倍数.
(2)公倍数：在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数.
(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数.
三、求最大公因数和最小公倍数的方法
1、分解质因数法：先分解质因数，
①把相同的因数连乘起来，即为最大公因数。（简记：就低不就高）
②把最高指数次幂连乘起来，即为最小公倍数。（简记：就高不就低）
例如：231=3×7×11，252=2²×3²×7，
所以(231，252)=3×7=21；[231，252]=2²×3²×7×11=2772。
(2)短除法(互质为止)：最大公约乘半边，最小公倍乘半圈。
例如：，所以(12，18)=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。
四、求一组分数的最大公约数与最小公倍数
先将各个分数化为假分数，然后根据“子同母反”的原则来求最大公约数和最小公倍数。具体如下：
①求最大公约数：求出各个分数分子的最大公约数a；求出各个分数分母的最小公倍数b；即为最大公约数。例如：
②求最小公倍数：求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公因数b；即为最小公倍数。例如：.
【例1】甲、乙两数的最大公约数是75，最小公倍数是450，且它们的差最小，那么甲、乙两数分别为 和 。
【例2】某班学生不到50人，一次数学考试中有学生评为优秀、学生评为良好、学生评为及格，该班有（ ）个学生在这次考试中不及格。
A.1 B.2 C.3
【例3】a=2×3×m，b=3×5×m（m是自然数且≠0），如果a和b的最大公约数是21，则m是（ ），此时a和b的最小公倍数是（ ）
【例4】把若干个自然数1，2，3，…乘到一起，如果已知这个乘积的最末13位恰好都是0，那么最后出现的自然数最小应该是多少？
【例5】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？
【例6】有甲、乙、丙三种溶液，分别为千克，千克，千克，现在将它们分别装入小瓶中，使得每个小瓶的溶液质量相等，至少可以装（ ）瓶。
30 B. 115 C. 136 D.575
【例7】正方形KLMN外切于直径为130米的圆，切点是A0，A₁，A₂和A₃。甲、乙两人同时从A0点出发，甲在正方形的边上，乙在圆周上，都沿逆时针方向运动。甲的速度是每分钟60米，乙的角速度是每分钟60°(即每分钟走圆周的)，这两人出发后经过多少时间相遇?在哪里相遇?
1.【2018·广附】=2×3×m，b=3×5×m(是自然数且m≠0)，如果a和b的最大公约数是21，则m是 ，a和b的最小公倍数是 。
2.【2017·白云华附】A=2×3×7，B=2×5×7，A和B的最大公因数是 ，最小公倍数是 。
3.【2024·太和华附入学测2】把自然数A，B分解质因数，分别得到A=2×5×7×m，B=3×5×m，如果A和B的最小公倍数是2310，那么A和B的最大公因数是 。
4.【2017·广雅】两个数的最大公约数是1，最小公倍数是72，这两个数是 。
5.【2018·南沙广附】甲每3天去少年宫一次，乙每4天去一次，丙每6天去一次，如果6月1日甲、乙、丙同时去少年宫，则下次同去少年宫应是（ ）。
A、6月12日 B、6月13日 C、6月24日 D、6月25日
6.【2018·中大附2】一个合数分解质因数为N=a×b×c，它的约数有（ ）个。(a、b、c不相等)
A.6 B.7 C.8
7.【2017·广大附】有—个自然数，他的最小的两个约数之和是4， 最大的两个约数之和是100 ， 则这个自然数 。
8.【2019年·白广附(3)】右图是A、B、C 三个互相咬合的齿轮若A 轮转3 圈，B 轮转7 圈，C 轮转2 圈，那么这三个齿轮的齿数最少是A 轮（ ）齿，B 轮（ ）齿，C 轮（ ）齿。
9.【2023·广附大奥入学测1】有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟响铃又亮灯。那么下一次既响铃又亮灯是下午 点钟。
10.【2024·黄埔广附入学测3】小路的一边从一端种树，每隔4米种一棵，需种37棵树，如果改成每隔6米种一棵，可有( )棵树不动。
A.10 B.12 C.13 D.14
11.【2022·育才实验入学测1】有5000多根牙签，可按六种规格分成小包，如果10根一包，那么最后还剩9根。如果9根一包，那么最后还剩8根。第三、四、五、六种的规格是，分别以8，7，6，5根为一包，那么最后也分别剩7，6，5，4根，原来一共有牙签 根。
12.【2022·育才实验入学测2】某种砖长24厘米，宽12厘米，高5厘米，用这样的砖堆成一个正方体，用砖的块数可以是( )。
A.41 B.120 C.1200 D.2400
13.【2023·金广实验入学测1】三个连续自然数依次是13，11，7的倍数，那么这三个连续自然数之和最小为 。
14.【2022·天省入学测1】将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，那么剩余部分的管子最少是 厘米。
考点52：公因（约）数与公倍数参考答案
一、因数的基本概念
(1)因数：正整数a能被正整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数.
(2)公因数：如果一个正整数同时是几个正整数的因数，称这个正整数为它们的公因数.
(3)最大公因数：a和b的公因数中最大的一个就是最大公因数，可表示为：(a，b).
(4)0被排除在因数与倍数之外.
二、倍数的基本概念
(1)倍数：一个正整数a能够被另一正整数b整除，a就是b的倍数.
(2)公倍数：在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数.
(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数.
三、求最大公因数和最小公倍数的方法
1、分解质因数法：先分解质因数，
①把相同的因数连乘起来，即为最大公因数。（简记：就低不就高）
②把最高指数次幂连乘起来，即为最小公倍数。（简记：就高不就低）
例如：231=3×7×11，252=2²×3²×7，
所以(231，252)=3×7=21；[231，252]=2²×3²×7×11=2772。
(2)短除法(互质为止)：最大公约乘半边，最小公倍乘半圈。
例如：，所以(12，18)=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。
四、求一组分数的最大公约数与最小公倍数
先将各个分数化为假分数，然后根据“子同母反”的原则来求最大公约数和最小公倍数。具体如下：
①求最大公约数：求出各个分数分子的最大公约数a；求出各个分数分母的最小公倍数b；即为最大公约数。例如：
②求最小公倍数：求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公因数b；即为最小公倍数。例如：.
【例1】甲、乙两数的最大公约数是75，最小公倍数是450，且它们的差最小，那么甲、乙两数分别为 150 和 225 。
——2018·中大附6
【例2】某班学生不到50人，一次数学考试中有学生评为优秀、学生评为良好、学生评为及格，该班有（ A ）个学生在这次考试中不及格。
A.1 B.2 C.3 ——2024·太和广附入学测2
【例3】a=2×3×m，b=3×5×m（m是自然数且≠0），如果a和b的最大公约数是21，则m是（ 7 ），此时a和b的最小公倍数是（ 210 ）
——2019·白云广附1
【例4】把若干个自然数1，2，3，…乘到一起，如果已知这个乘积的最末13位恰好都是0，那么最后出现的自然数最小应该是 55 。
——2024·黄埔广附入学测2
【解析】乘积末尾有13个0，则说明有13组2×5，2的倍数有足够多，暂不考虑2的倍数，则应考虑5的倍数，1×5=5，2×5=10，……理论上应该到5×13=65。但其中5×5=25，5×10=50各包括了2个5，所以应该到5×11=55就可以了，那么最小的就应该是55。
【例5】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成 段。 ——2024·金广实验入学测1
【解析】10，12，15的最小公倍数是60。设木棍长为60厘米，60÷10=6(cm) ，60÷12=5(cm) ，60÷15=4(cm)
10等分的刻度有10-1=9(条)，12等分的刻度有12-1=11(条)，15等分的刻度有15-1=14(条)。
第一种与第二种刻度线重合的条数：60÷30-1=1(条)，6和5的最小公倍数是30。
第一种与第三种刻度线重合的条数：60÷12-1=4(条)，4和6的最小公倍数是12。
第二种与第三种刻度线重合的条数：60÷20-1=2(条)，5和4的最小公倍数是20。
木棍总共被锯成9+11+14-1-4-2+1=34-7+1=28(段)
【例6】有甲、乙、丙三种溶液，分别为千克，千克，千克，现在将它们分别装入小瓶中，使得每个小瓶的溶液质量相等，至少可以装（ B ）瓶。
——2024·金广实验入学测2
30 B. 115 C. 136 D.575
【例7】正方形KLMN外切于直径为130米的圆，切点是A0，A₁，A₂和A₃。甲、乙两人同时从A0点出发，甲在正方形的边上，乙在圆周上，都沿逆时针方向运动。甲的速度是每分钟60米，乙的角速度是每分钟60°(即每分钟走圆周的)，这两人出发后经过多少时间相遇?在哪里相遇?
——2024·广附大奥入学测
【解析】由题意得：正方形KLMN的边长为130米，两人相遇时只能在A0，A₁，A₂或A₃处。当甲从A0运动到A₁时，所用时间为=分钟，所以甲运动到A0，A₁，A₂或A₃处时所用时间为的整数倍，当乙从A0运动到A1，时，所用的时间为=分钟，所以乙运动到A0，A₁，A₂或A₃处时所用时间为的整数倍，而=，13和9的最小公倍数是117，所以当运动时间是时，×60-130×4-130×4=130(米)，即甲在A₁处，当运动时间是时，×60°-360°-360°-360°=90°，即乙在A₁处，所以分钟符合题意。
这两人出发后经过分钟在A₁处相遇。
1.【2018·广附】=2×3×m，b=3×5×m(是自然数且m≠0)，如果a和b的最大公约数是21，则m是 7 ，a和b的最小公倍数是 210 。
2.【2017·白云华附】A=2×3×7，B=2×5×7，A和B的最大公因数是 14 ，最小公倍数是 210 。，
3.【2024·太和华附入学测2】把自然数A，B分解质因数，分别得到A=2×5×7×m，B=3×5×m，如果A和B的最小公倍数是2310，那么A和B的最大公因数是 55 。
4.【2017·广雅】两个数的最大公约数是1，最小公倍数是72，这两个数是 1，72或8，9 。
5.【2018·南沙广附】甲每3天去少年宫一次，乙每4天去一次，丙每6天去一次，如果6月1日甲、乙、丙同时去少年宫，则下次同去少年宫应是（ B ）。
A、6月12日 B、6月13日 C、6月24日 D、6月25日
6.【2018·中大附2】一个合数分解质因数为N=a×b×c，它的约数有（ C ）个。(a、b、c不相等)
A.6 B.7 C.8
7.【2017·广大附】有—个自然数，他的最小的两个约数之和是4， 最大的两个约数之和是100 ， 则这个自然数 75 。
【解析】最小的两个约数中一定有一个是1，因此另一个是3，说明最大的约数是第二大的约数的3倍，而最大的两个约数之和为100，100÷（3+1）=25，所以最大的两个约数是25和75，这个自然数就是75．
解答：最小的两个约数中一定有一个是1，因此另一个是3，最大的两个约数是：
100÷(3+1)=25，100−25=75.
所以最大的两个约数是25和75，这个自然数就是75.
8.【2019年·白广附(3)】右图是A、B、C 三个互相咬合的齿轮若A 轮转3 圈，B 轮转7 圈，C 轮转2 圈，那么这三个齿轮的齿数最少是A 轮（ 14 ）齿，B 轮（ 6 ）齿，C 轮（ 21 ）齿。
9.【2023·广附大奥入学测1】有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟响铃又亮灯。那么下一次既响铃又亮灯是下午 3 点钟。
10.【2024·黄埔广附入学测3】小路的一边从一端种树，每隔4米种一棵，需种37棵树，如果改成每隔6米种一棵，可有( C )棵树不动。
A.10 B.12 C.13 D.14
11.【2022·育才实验入学测1】有5000多根牙签，可按六种规格分成小包，如果10根一包，那么最后还剩9根。如果9根一包，那么最后还剩8根。第三、四、五、六种的规格是，分别以8，7，6，5根为一包，那么最后也分别剩7，6，5，4根，原来一共有牙签 5039 根。
【解析】10，9，8，7，6，5的最小公倍数：5×2×3×3×4×7=2520，2520×2-1=5039
12.【2022·育才实验入学测2】某种砖长24厘米，宽12厘米，高5厘米，用这样的砖堆成一个正方体，用砖的块数可以是( C )。
A.41 B.120 C.1200 D.2400
13.【2023·金广实验入学测1】三个连续自然数依次是13，11，7的倍数，那么这三个连续自然数之和最小为 627 。
【解析】一个数是13的倍数，且加1后是11的倍数，这个数最小是13×5=65，下一个是65+143=208，而209，210，分别为11，7的倍数，所以和最小是208+209+210=627。
14.【2022·天省入学测1】将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，那么剩余部分的管子最少是 8 厘米。