2026年小升初数学考点专项训练--考点51：数的倍数特征及其应用

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（1)尾数系：2、5 / 4、25 / 8、125
①末一位：个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数；
②末两位：末两位组成的数是4或者25的倍数；
③末三位：末三位组成的数是8是125的倍数。
（2)和系：3、9
①看数字之和是否为3或9的倍数；
②划数法：弃3、弃9。
（3)差系：7、11、13
①从末尾开始，一位一截，标奇偶位，看差(11)，若余数差为零或是11的倍数，则整除。即“奇数位和—偶数位和”。
②从末尾开始，三位一截，标奇偶位，看差(7，11，13)，若余数差为零或是7，11，13的倍数，则整除。即“奇数位和—偶数位和”。
【例1】某一类自然数是由数字5和7组成，且5，7至少出现一次，例如5577就是其中之一，在这样的自然数中找出既是5的倍数又是7的倍数的数，最小的一个是 多少？
【例2】若一个十位数是99的倍数，则a+b= .
【例3】在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少?
【例4】在1997后面补上三个数字，组成一个七位数1997□□□，结果这个七位数能被4，5，6整除，那么补上的三个数字的和的最小值是多少？
【例5】有一盒玻璃球，颜色有红、黄、绿三种，数量接近400颗，其中红色玻璃球占总数的，黄色玻璃球占总数的，绿色玻璃球的数量不是最多的也不是最少的，求红、黄、绿三种玻璃球各有多少颗。
1.【2022·天省入学测1】一个六位数的各位数字都不相同，且它能被11整除，最左一位数字是3，这样的六位数中最小的是 。
2.【2024·广附入学测3】将1至9九个数字写在一条纸带上，如图所示：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
将它剪成三段，每段上的数字连在一起算一个数，把这三个数相加，使和能被77整除，那么中间一段上的数是_______。
3.【2023·黄埔广附入学测1】将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字，组成三个三位数，并且每个三位数都是9的倍数，那么最大的三位数是 。
4.【2023·黄埔广附入学测1】1至40这40个自然数中，最多可以取出 个数，使得其中每两个数的和都不是4的倍数。
5.【2024·太和广附入学测1】一个六位数能同时被2，3，5整除，则这个六位数最大 。
6.【2024·白云实验3】七位数能被792整除，且此数各数位上的数字互不相同，则这个数是 。
7.【2022·育才实验1】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有_______个。
8.【2023·金广实验3】有5个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这5个数之和的最小值是 。
9.【2022·广附入学测】371至少加上 才是3的倍数，至少减去 才是5的倍数，至少加上 既是2的倍数，又有因数5，同时还能被3整数。
10.【2022·广附入学测】有一类自然数，它加上1是2的倍数，它的2倍加1是3的倍数，它的3倍加1是5的倍数。那么这类自然数中最小的一个是多少？
考点51：数的倍数特征参考答案
一些特殊的数的倍数的特征：
（1)尾数系：2、5 / 4、25 / 8、125
①末一位：个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数；
②末两位：末两位组成的数是4或者25的倍数；
③末三位：末三位组成的数是8是125的倍数。
（2)和系：3、9
①看数字之和是否为3或9的倍数；
②划数法：弃3、弃9。
（3)差系：7、11、13
①从末尾开始，一位一截，标奇偶位，看差(11)，若余数差为零或是11的倍数，则整除。即“奇数位和—偶数位和”。
②从末尾开始，三位一截，标奇偶位，看差(7，11，13)，若余数差为零或是7，11，13的倍数，则整除。即“奇数位和—偶数位和”。
【例1】某一类自然数是由数字5和7组成，且5，7至少出现一次，例如5577就是其中之一，在这样的自然数中找出既是5的倍数又是7的倍数的数，最小的一个是 5775 。 ——2023·广附大奥入学测3
【例2】若一个十位数是99的倍数，则a+b= .
——2023·黄埔广附入学测3
【解析】因为十位数是99的倍数，99=9×11，9和11互质，则同时是9和11的倍数。
由是9的倍数，可得：2+0+1+6+a+b+2+0+1+7=a+b+19 ，a+b=8或17
由是11的倍数，可得：(2+1+a+2+1)-(0+6+b+0+7)=0得a-b=7或者(0+6+b+0+7)-(2+1+a+2+1)=11，得b-a=4。
将四种不同搭配的情况进行分析：
①a+b=8，a-b=7，得a=7.5，b=0.5，不合题意
②a+b=8，b-a=4，得a=2，b=6，符合题意
③a+b=17，a-b=7，得a=12，b=5，不合题意
④a+b=17，b-a=4，得a=6.5，b=10.5，不合题意
综上所述：a=2，b=6，a+b=8。
【例3】在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少?
——2022·天省入学测3
【解析】能分别被7和13整除的最小两个连续自然数是77和78，[7，13]=91，则下一组为77+91=168和78+91=169，不在200至300之间，再下一组为168+91=259和169+91=260，259的前一个自然数是258，恰好是3的倍数，则这三个连续自然数为258，259，260。
【例4】在1997后面补上三个数字，组成一个七位数1997□□□，结果这个七位数能被4，5，6整除，那么补上的三个数字的和的最小值是 1 。
——2024·广附入学测3
【解析】能被4，5，6整除的数也能被2，3，5整除，则1997□□□一定是2，3，5的倍数，同时是2和5的倍数，则末尾一定是0，要满足是3的倍数，则应该使这个数各个数位上的和是3的倍数。已知的5个数字之和为1+9+9+7+0=26，要使后三位的数字和最小，那么剩下的两个数字之和为1就能使这个数是3的倍数，则这个数可能为1997100或1997010，其中1997100能被4，5，6整除，所以后三位数字之和最小为1。
【例5】有一盒玻璃球，颜色有红、黄、绿三种，数量接近400颗，其中红色玻璃球占总数的，黄色玻璃球占总数的，绿色玻璃球的数量不是最多的也不是最少的，求红、黄、绿三种玻璃球各有多少颗。
——2023·黄埔广附入学测1
【解析】因为玻璃球总数是4和9的公倍数且接近400，所以玻璃球共有4×9×11=396(颗)。
红球396×=99(颗)黄球396×=44n(颗)
绿球396-99-44n=297-44n
绿球数量不是最多也不是最少的，
第一种情况红球最少，则297-44n>99，198＞44n，n