高中数学人教A版 (2019)必修 第一册指数函数的概念教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册指数函数的概念教案设计，共20页。教案主要包含了实例抽象，铺垫概念，归纳概括，生成概念，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
4.2.1指数函数的概念
教学目标
1. 结合问题1和问题2的具体情境，研究变化规律满足增长（衰减）率为常数的实例，
并从中抽象出相应的函数模型——指数函数，了解指数函数的实际意义,提升数学抽象素养.
通过对问题3及例1的研究，理解指数函数的概念，掌握指数函数解析式的特点，明
确指数函数的定义域及底数的取值范围.
通过对例2的研究，学会用指数函数解决简单的实际问题，体会指数函数是解决指数
增长或指数衰减问题的重要模型，提升数学应用意识,渗透数学建模素养.
教学重点：指数函数概念的抽象过程，指数函数变化规律特征的理解.
教学难点：通过运算发现数的变化规律，利用增长率和衰减率抽象出指数函数的概念.
教学过程
思路引导，明确方向
上一章我们学习了幂函数，明确了研究函数的一般路径，即从实际背景中抽象出函数的概念，进而研究它的图象和性质，然后利用它们解决一些相关问题。今天，我们依然沿用这个路径来研究一类新的函数。
设计意图：回顾旧知识，建立新旧知识间的联系，为新知识学习做准备.
二、实例抽象，铺垫概念
问题1：游客人数增长模型
随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高,旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起釆取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.表1中给出了 A，B两地景区2001年至2015年的游客人次.
表1 A，B两地景区2001年至2015年的游客人次统计表
时间（年）
A地景区
B地景区
人次（万次）
人次（万次）
2001
600
278
2002
609
309
2003
620
344
2004
631
383
2005
641
427
2006
650
475
2007
661
528
2008
671
588
2009
681
655
2010
691
729
2011
702
811
2012
711
903
2013
721
1005
2014
732
1118
2015
743
1244
问题1：观察表格，你发现A，B两景区游客人次有怎样的变化情况？
A，B两景区游客人次都是逐年增加的.
追问1: 观察图象，你发现A，B两景区游客人次有怎样的增长方式？
A景区游客人次近似于直线增长，B景区游客人次越增越快.
追问2: 根据A景区游客人次的图象，对表格中相邻数据依次做减法运算，你能发现什么规律？
发现年增加量大致相等，约为10，得到经过x年后，A景区游客人次y=10x+600.
追问3：你能通过其他运算找到B景区数据中这个不变的量吗？
做除法可以得到游客人次的年增长率；

设计意图：借助信息技术的应用，通过问题串，启发学生思维.首先，学生直观感知表格中数据的变化规律，建立初步认识.教师在学生回答的基础上追问，引导学生经历从表格到图象，从图象再到数，回归数与数之间的运算，最后到解析式的研究过程，分析游客人次与年份之间的关系，体验函数模型的抽象过程，体会函数模型的发生发展过程，学会研究问题的一类方法.
追问4：如何刻画B景区游客人次的指数增长规律？
从2001年开始，
1年后，游客人次是2001年的 1.111 倍；
2年后，游客人次是2001年的 1.112 倍；
3年后，游客人次是2001年的 1.113 倍；
……
x年后，游客人次是2001年的 1.11x 倍；
如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，
那么 y=1.11x,
设计意图：通过具体实例抽象出指数增长的函数模型，为指数函数概念的抽象做铺垫.
问题2：碳14衰减模型
当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
解：设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p, 如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位.
1年后，
生物体内碳14含量=刚死亡的生物体内碳14含量×（1-p）.
死亡1年后，生物体内碳14含量为(1- p)1；
死亡2年后，生物体内碳14含量为(1-p)2；
死亡3年后，生物体内碳14含量为(1-p)3；
……
死亡5730年后，生物体内碳14含量为(1-p)5730；
……
那么死亡x年后，生物体内碳14含量为(1-p)x，
设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y.
那么 y =(1- p )x，
追问：根据半衰期的概念，你能求出衰减率p的值吗？
根据已知条件，(1-p)5730=形如
即
设计意图：从已有的科学结果出发，引导学生进行数学表达，把实际问题转化成数学问题，在数学化的过程中，归纳推理出指数函数模型.
三、归纳概括，生成概念
问题3：试从解析式的角度，分析它们有什么共同特征？
y=1.11x,
特征：（1）幂的形式；（2）指数是自变量；（3）底数是常数；
一般地，函数y=ax (a>0,且a≠1) 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R.
设计意图：通过不同的函数模型，抽象出指数函数的概念.经历从特殊到一般、具体到抽象的过程,从中体验抽象一类函数概念的方法，提升数学抽象素养.教师引导学生分析结构特征，理解概念，并通过追问，引发学生思考，完善底数的取值范围.抓住指数是自变量这一基本特征，理解底数取值的合理性.
典例分析，应用概念
例1 已知指数函数 y=ax (a>0,且a≠1) ,且 f (3)=π，求 f (0)，f (1)，f (-3)的值.
分析：要求 f (0)，f (1)，f (-3)的值，应先求出 f (x)=ax的解析式，即先求出a的值.
解：因为 f (x)= ax，且 f (3)= π，则 a3= π，解得 于是
设计意图：让学生熟悉指数函数的解析式和对应关系，利用函数解析式列方程求底数a的值.
例2 （1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况.
分析：经过 x 年，A地游客人次 B地游客人次
解：设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f(x)（万元）和g(x)（万元），则
利用计算工具可得，
当x=0时，f(0)－g(0)=412000．
当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22)．
结合右图可知：
当x＜10.22时，f(x)>g(x)，
当x＞10.22时，f(x)g(x)，但 g(x) 的增长速度大于f(x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有 f(x)=g(x)，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f(x) 0,且a1)
a > 0,且a 1)
y=ax (a > 0,且a 1)


方法：研究函数的一般图象和性质
应用
概念
背景
路径
数学抽象
本节课通过实例抽象出了两类函数，指数函数和指数增长（衰减）函数模型.分析这两类函数的关系.本节课研究了指数函数的概念，接下来研究它的图象和性质.
设计意图:总结提炼，内化概念，明晰研究方法.
布置作业：
1.教科书第115页：练习1，2，3题；
阅读教材第115页的“放射性物质的衰减”.