必修 第一册指数函数的概念精品学案

这是一份必修 第一册指数函数的概念精品学案，文件包含42指数函数十个重难点突破原卷版docx、42指数函数十个重难点突破解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共45页， 欢迎下载使用。

知识点1 指数函数的定义
一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为
温馨提示：指数函数解析式的3个特征：
（1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1.
（3）的系数是1.
重难点一 指数函数的辨析
【例1】下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号）
①； ②； ③； ④； ⑤．
【例2】如果函数和都是指数函数，则（ ）
A．B．1C．9D．8
【变式1-1】若函数为指数函数，则 ．
【变式1-2】已知函数和都是指数函数，则 .
【变式1-3】判断下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
重难点二 求指数函数的函数值或解析式
【例3】已知指数函数且，则（ ）
A．3B．2C．D．
【例4】已知函数的图像经过点，其中且，求a的值；
【变式2-1】若指数函数（且）的图象经过点，当时， ．
【变式2-2】已知指数函数的图像过点，则 .
【变式2-3】已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为 ．
知识点2 指数函数的图象和性质
1.指数函数的图形及性质
温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的．
（2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象．
2．图象位置关系
底数的大小决定了图象相对位置的高低．
（1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．
（2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为.
重难点三 定点问题
【例5】已知常数，函数经过一个定点，则该定点坐标为 .
【例6】已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图像过定点（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】函数且的图象必过定点 ．
【变式3-2】已知函数（且）的图像过定点，正实数，满足，则的最小值为 .
【变式3-3】函数，且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则 .
重难点四 图象问题
【例7】函数与的图象（ ）
A．关于轴对称B．关于直线对称
C．关于原点对称D．关于轴对称
【例8】当时，在同一坐标系下，函数与的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【变式4-2】如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线 ．（填曲线序号）
【变式4-3】（多选）函数 且的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
重难点五 比较指数幂的大小
【例9】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【例10】已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】已知实数，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B． C． D．
【变式5-2】已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-3】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
重难点六 解指数不等式
【例11】已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．或
【例12】函数的定义域为 ．
【变式6-1】若，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【变式6-2】已知集合，则（ ）
A．B．C．D．R
【变式6-3】函数的定义域为
重难点七 单调性问题
【例13】（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域为R
B．值域为
C．在上单调递增
D．在上单调递减
【例14】若函数在实数集上是严格增函数，则实数的取值范围是 ．
【变式7-1】已知定义在上的奇函数，当x>0时，．
(1)求函数在上的解析式；
(2)画出函数的图象；
(3)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【变式7-2】若函数在R单调，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
重难点八 值域问题
【例15】函数在上的最小值是 ．
【例16】函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】函数的值域为 ．
【变式8-2】函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-3】若函数有最小值，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
重难点九 恒成立问题
【例17】已知函数 .
(1)若，求不等式的解集;
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【例18】已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)证明：在上为减函数；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【变式9-1】已知定义域为的函数是奇函数．
(1)判断函数单调性并用定义证明；
(2)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【变式9-2】已知函数是奇函数.
(1)求，的值；
(2)证明：是区间上的减函数；
(3)若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围.
【变式9-3】对任意，，不等式（且）恒成立，则a的取值范围为 ．
重难点十 实际应用
【例19】复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【例20】科学家证实人体内病毒含量达到为常数时，人会得某种疾病，一种药物对病毒有抑制作用，服用该种药物后体内该病毒含量与服用的年数之间满足关系且，年初一位患者体内该种病毒含量恰好为，该患者开始服用该药，到年初经检测该患者体内病毒含量为．
(1)试确定与的函数关系式；
(2)在医学上，当人体内该病毒含量不超过时，称作该病痊愈，试问该患者需坚持服用该药到哪一年初该病可痊愈？
【变式10-1】某种灭活疫苗的有效保存时间（单位：）与储藏的温度（单位：℃）满足函数关系（为常数，其中）.已知该疫苗在0℃时的有效保存时间是1440h，在5℃时的有效保存时间是360h，则该疫苗在10℃时的有效保存时间是 h.
【变式10-2】（多选）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系为常数.若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则（ ）
A．
B．储存温度越高保鲜时间越短
C．在的保鲜时间是小时
D．在的保鲜时间是小时
【变式10-3】某水库有a万条鱼，计划每年捕捞一些鱼，假设水库中鱼不繁殖，只会因捕捞而减少鱼的数量，且每年捕捞的鱼的数量的百分比相等.当捕捞的鱼的数量达到原数量的时，所用时间是6年.为了保证水库的生态平衡，鱼的数量至少要保留原数量的.已知到今年为止，水库里鱼的剩余数量为原数量的
(1)求每年捕捞的鱼的数量的百分比.
(2)到今年为止，该水库已捕捞了多少年?
(3)今年之后，为了保证水库的生态平衡，最多还能捕捞多少年?
一、单选题
1．某种水果的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数的底数）.已知该水果在下的保鲜时间为192小时，在下的保鲜时间为96小时，若要使该水果保鲜时间不低于48小时，则温度不应超过（ ）
A．B．C．D．
2．若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ）
A．B．C．D．
3．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若函数的图像如图所示，则的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．若函数满足且，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知函数，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数，若，恒成立，则（ ）
A．函数是奇函数B．函数是增函数
C．，是真命题D．m可以为0
三、填空题
9．设函数，其中且，且，，则的解析式为 .
10．的定义域为 ．
11．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
12．解不等式；
13．已知指数函数（且）在区间上的最大值与最小值之和等于6，求实数a的值．
14．已知函数
(1)求；
(2)判断的单调性并用单调性的定义证明你的判断；
(3)若不等式，求t的取值范围.
15．已知函数是定义在R上的奇函数.
(1)求a，b的值;
(2)解不等式.
一、指数函数的辨析
六、解指数不等式
二、求指数函数的函数值或解析式
七、单调性问题
三、定点问题
八、值域问题
四、图象问题
九、恒成立问题
五、比较指数幂的大小
十、实际应用
图象
性质
定义域
值域
定点
过定点
单调性
是R上的增函数
是R上的增函数