初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）19.3 矩形、菱形、正方形精品课件ppt

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）19.3 矩形、菱形、正方形精品课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了长方形也叫矩形，矩形的性质，形象图，你能证明吗，证一证，轴对称，∴ACBD，答案A，答案C，答案D等内容，欢迎下载使用。
1. 理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.2. 会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题. (重、难点)3. 掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. (重点)
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
平行四边形不一定是矩形.
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
活动2：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是直角.
猜想2 矩形的对角线相等.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC. ∴∠B +∠C = 180°. 又∵∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
(1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°.求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°.在 △ABC 和 △DCB 中，AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB，∴△ABC≌△DCB.∴ AC = DB.
(2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB.
矩形除了具有平行四边形的所有性质，还有以下性质：性质1 矩形的四个角都是直角；性质2 矩形的对角线相等.
几何语言描述：在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB.
例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 O，∠AOB = 120°，AD = 4 cm .求矩形 ABCD 对角线的长.
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∵ 在Rt △ABD 中，∠ OBA = 30°，AD = 4 cm，∴ AC = BD = 2AD = 2×4 = 8(cm).∴ 矩形 ABCD 对角线的长为 8 cm.
∴ OA = OB.
例2 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C′ 处，BC′ 交 AD 于点 E，AD = 8，AB = 4，求△BED 的面积．
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AD∥BC，∠A＝90°. ∴∠2＝∠3.又由折叠知∠1＝∠2，∴∠1＝∠3. ∴ BE＝DE.设 BE＝DE＝x，则 AE＝8－x.∵ 在 Rt△ABE 中，AB2＋AE2＝BE2，∴ 42＋(8－x)2＝x2，解得 x＝5，即 DE＝5.∴ S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.  矩形是不是轴对称图形? 如果是，那么对称轴有几条?
矩形的性质：对称性： 图形，对称轴： 条.
活动：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线 AC 剪去一半.
问题 Rt△ABC 中，BO 是一条怎样的线段？ 它的长度与斜边 AC 有什么关系？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
直角三角形斜边上的中线的性质
证明：延长 BO 至 D，使 OD = BO，连接 AD，CD.
∵ AO = OC，BO = OD，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC = 90°，
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形.
推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例3 如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点．(1) 若 AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长；
解：∵ AD 是△ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中点，∴ DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4.∴ 四边形 AEDF 的周长为 AE＋DE＋DF＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18.
(2) 求证：EF 垂直平分 AD.
证明：∵ DE＝AE，DF＝AF，∴ E、F 在线段 AD 的垂直平分线上， 即 EF 垂直平分 AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
例5 如图，已知 BD，CE 是△ABC 的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明：GF⊥DE.
解：连接 EG，DG. 由题意知∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵ 点 G 是 BC 的中点， ∴ EG＝ BC，DG＝ BC. ∴ EG＝DG. 又∵ 点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE.
在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，从而将问题转化到等腰三角形中，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
1．小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与AD的交点为E，当水杯底面AB与水平面的夹角为37°时，∠CED的大小为(　　)A．27° B．37° C．53° D．63°
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，则DE的长是(　　)A．3 B．2 C．2.4 D．2.5
【点拨】连接CE，如图所示．∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∴∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，DC＝AB＝4，AO＝OC.∵OE⊥AC，∴AE＝CE.设DE＝x，则CE＝AE＝8－x.在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE2＋DC2＝CE2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.∴DE的长是3.
【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°.∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∴△ABF≌△DCE(SAS)．∴AF＝DE.
3．如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF，求证：AF＝DE.
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　)A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠ACB＝∠ACD
5．如图，四边形ABCD是一块矩形草坪，对角线AC，BD相交于点O，H是BC边的中点，连接OH，且OH＝20 m，AD＝30 m，则这块草坪的面积为(　　)A．2 400 m2 B．1 800 m2C．1 200 m2 D．600 m2
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线．若DE＝6，则BF的长为(　　)A．6 B．4 C．3 D．5
7．如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以点B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝(　　)A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
8．[2025河北]如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是(　　) A．∠1＝45°－αB．∠1＝αC．∠2＝90°－αD．∠2＝2α
9. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，AB＝4，E是CD边上一点，过点E作EH⊥BD于点H，EG⊥AC于点G，则EH＋EG的值是(　　)A．2.4 B．2.5 C．3 D．4
10．如图①，在矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从点D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q.设点P的运动路程为x，PQ－DQ的值为y，y与x的函数图象如图②，则AD的长为________．