第8章 实数 专项训练 平方根、算术平方根的巧用同步练习2025-2026学年人教版数学七年级下册（含答案）

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第8章 实数 专项训练 平方根、算术平方根的巧用 【模块1】巧用正数的两个平方根求值 1．已知一个正数的两个平方根分别是3a－2和5a＋6，求a的值和这个正数． 2．已知正实数x的两个平方根为a和a＋b． (1)当b＝6时，x的值为________； (2)若a2x＋(a＋b)2x＝8，求x的值. 3．已知a＋3和2a－15是某数m的两个平方根，5b＋2的立方根是3，c是eq \r(39)的整数部分， (1)求m的值； (2)求a＋2b－c的平方根. 【模块2】巧用算术平方根的非负性求值 4．若m，n为实数，且(m＋4)2＋ eq \r(n－5)＝0，则(m＋n)2的值为____． 5．若m，n满足 eq \r(m－1)＋|n＋15|＝0，则 eq \r(m－n)的平方根是____． 6．已知a，b，c满足 eq \r(a－3)＋|b－4|＋(c＋3)2＝0，则a＋b－c的算术平方根是_____. 7．已知x，y为有理数，且满足eq \r(1＋x)＝(y－1)eq \r(1－y)，则x2 025－y2 025＝_____． 8．已知a为有理数，则eq \r(a＋4)＋eq \r(9－3a)＋eq \r(－a2)的值为_____． 9．已知y＝eq \r(x－3)－eq \r(3－x)＋4，求x2＋y2的算术平方根． 10．已知x，y是整数，且满足(y－2)2与 eq \r(2x＋2)互为相反数，求x2＋y3的平方根． 11．已知x，y满足eq \r((x＋1)2)＋|y－3x－1|＝0，求y2－5x的平方根． 12．已知|99－a|＋eq \r(a－100)＝a.求a－992的值． 13．已知|7－3m|＋(5－n)2＝3m－7－eq \r(m－4)，求(m－n)2027的值． 【模块3】巧用算术平方根的最小值求值 14．已知y＝－9＋ eq \r(13－x)，当y最小时，x＝____，y＝____． 15．已知y＝ eq \r(a－2)＋ eq \r(3(b＋1))，当y最小时，ba的算术平方根为____． 16．学习了算术平方根后，我们知道： (1)eq \r(a)(a≥0)是非负数，那么eq \r(a)有最小值吗？如果有，此时a为多少？最小值又是多少？ (2)当x为何值时， eq \r(3x＋9)＋8有最小值，最小值为多少？ (3)小王认为：当x＝m时，3－eq \r(1－x)有最大值，且最大值为n，你知道m，n的值分别为多少吗？ 【模块4】巧用算术平方根解决实际问题 17．有一张面积为100 cm2 的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长与宽之比为5:3，面积为150 cm2(如图)，能将这张贺卡不折叠地放入此信封吗？请通过计算说明你的判断. 18．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315 m2的长方形场地，且其长、宽的比为5∶3. (1)求原来正方形场地的周长； (2)如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由. 19．【回顾旧知】学习算术平方根时，我们通过剪拼两个面积为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为2的大正方形，如图1所示. 【类比迁移】 (1)如图2，有五个面积为1的小正方形组成的图形纸，可以把它剪拼成一个大正方形，如图3.图3中的大正方形的面积是______，边长是_______. 【猜想验证】 (2)猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形.如图4并排放置的两个正方形，其边长分别为a,b ，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想.在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度(用a,b表示)，画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号(类似图2)，在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图(类似图3). 参考答案 【模块1】巧用正数的两个平方根求值 1．已知一个正数的两个平方根分别是3a－2和5a＋6，求a的值和这个正数． 解：∵一个正数的两个平方根分别是3a－2和5a＋6，∴3a－2＋5a＋6＝0，∴a＝－ eq \f(1,2) ，∴3a－2＝3×(－ eq \f(1,2) )－2＝－ eq \f(7,2) ，∴这个正数是(－ eq \f(7,2) )2＝ eq \f(49,4) ，∴a的值和这个正数分别是－ eq \f(1,2) ， eq \f(49,4)  2．已知正实数x的两个平方根为a和a＋b． (1)当b＝6时，x的值为________； 【答案】9 【解析】∵正实数x的两个平方根是a和a＋b，∴a＋ a＋b＝0.又∵b＝6，∴2a＋6＝0.∴a＝－3.∴x＝9. (2)若a2x＋(a＋b)2x＝8，求x的值. 解：∵正实数x的两个平方根是a和a＋b， ∴(a＋b)2＝a2＝x. ∵a2x＋(a＋b)2x＝8，∴x2＋x2＝8. ∴x2＝4.∴x＝±2.又∵x＞0，∴x＝2. 3．已知a＋3和2a－15是某数m的两个平方根，5b＋2的立方根是3，c是eq \r(39)的整数部分， (1)求m的值； 解：由题意，得a＋3＋2a－15＝0， ∴a＝4.∴a＋3＝7.∴m＝72＝49. (2)求a＋2b－c的平方根. 解：由题意，得5b＋2＝33＝27，∴b＝5. ∵eq \r(36)