沪教版五四制九年级下册数学期中核心考点复习讲义（含例题+解析）

这是一份沪教版五四制九年级下册数学期中核心考点复习讲义（含例题+解析），共26页。
二次函数（核心重点，占比约40%）
核心说明：二次函数是期中考查的重中之重，侧重解析式求解、图像与性质、最值应用，易错点集中在顶点式运用、定义域对最值的影响，以及与几何图形的简单结合。
二次函数的定义
核心考点：
定义：形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数，叫做二次函数；其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
关键条件：① 自变量x的最高次数是2；② 二次项系数a≠0（若a=0，则变为一次函数y=bx+c）；③ 整式函数（分母不含x，根号下不含x）。
常见形式：① 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；② 顶点式：y=ax−ℎ2+k（a≠0），其中(h,k)是二次函数的顶点坐标；③ 交点式：y=ax−x1x−x2（a≠0），其中x1、x2是二次函数图像与x轴交点的横坐标。
典型例题：判断下列函数是否为二次函数，若是，写出二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，说明理由。
（1）y=3x2+2x−1；（2）y=2x−3；（3）y=3x2+1x；（4）y=−x2；（5）y=2x−12+3。
解析：
（1）是二次函数；二次项系数a=3，一次项系数b=2，常数项c=-1。
（2）不是；自变量x的最高次数是1，是一次函数，不是二次函数。
（3）不是；分母含自变量x，不是整式函数，不符合二次函数定义。
（4）是二次函数；二次项系数a=-1，一次项系数b=0，常数项c=0。
（5）是二次函数；先化简为一般式：y=2x2−2x+1+3=2x2−4x+5，二次项系数a=2，一次项系数b=-4，常数项c=5。
答案：（1）是，a=3，b=2，c=-1；（2）不是，是一次函数；（3）不是，不是整式函数；（4）是，a=-1，b=0，c=0；（5）是，a=2，b=-4，c=5。
二次函数的图像与性质
核心考点：
图像形状与开口方向
二次函数的图像是抛物线，开口方向由二次项系数a决定：① 当a>0时，抛物线开口向上；② 当a0（开口向上）：① 对称轴左侧（xℎ），y随x的增大而增大。
当a0时，抛物线有最低点（顶点），此时y有最小值，最小值为4ac−b24a（一般式）或k（顶点式），当且仅当x=−b2a（一般式）或x=h（顶点式）时取得最小值。
当a0（开口向上），对称轴为x=2，
∴ 当x>2时，y随x的增大而增大；
（3）自变量x∈[0,4]，顶点(2,-5)在该范围内，
∵ 开口向上，∴ 最小值为-5（当x=2时取得）；
再判断端点值：当x=0时，y=30−22−5=3×4−5=7；当x=4时，y=34−22−5=12−5=7，
∴ 最大值为7（当x=0或x=4时取得）。
答案：（1）对称轴x=2，顶点坐标(2,-5)；（2）x>2时y随x增大而增大；（3）最小值-5，最大值7。
二次函数解析式的求法（待定系数法）
核心考点：根据已知条件，选择合适的形式求解析式，优先选择顶点式（已知顶点、最值）、交点式（已知与x轴交点），未知条件较泛时用一般式。
1. 已知顶点坐标(h,k)和一个任意点：用顶点式y=ax−ℎ2+k，代入任意点求a的值，再化简为一般式（若需要）。
2. 已知二次函数与x轴的两个交点x10、x20和一个任意点：用交点式y=ax−x1x−x2，代入任意点求a的值。
3. 已知三个任意点：用一般式y=ax2+bx+c，代入三个点的坐标，得到三元一次方程组，解方程组求a、b、c的值。
典型例题1：已知二次函数的顶点坐标为(1,4)，且经过点(2,6)，求该二次函数的解析式。
解析：
步骤1：已知顶点坐标(1,4)，选择顶点式y=ax−12+4（a≠0）；
步骤2：将点(2,6)代入顶点式，得6=a2−12+4，即6=a+4，解得a=2；
步骤3：将a=2代入顶点式，得解析式为y=2x−12+4，化简为一般式：y=2x2−4x+6（可选，根据题目要求）。
答案：y=2x−12+4（或y=2x2−4x+6）。
典型例题2：已知二次函数图像经过点(0,3)，且与x轴交于点(1,0)和(3,0)，求该二次函数的解析式。
解析：
步骤1：已知二次函数与x轴交于(1,0)和(3,0)，选择交点式y=ax−1x−3（a≠0）；
步骤2：将点(0,3)代入交点式，得3=a0−10−3，即3=3a，解得a=1；
步骤3：将a=1代入交点式，得解析式为y=x−1x−3，化简为一般式：y=x2−4x+3。
答案：y=x−1x−3（或y=x2−4x+3）。
二次函数的简单应用（基础）
核心考点：结合实际问题（利润、面积、高度等），建立二次函数模型，求最值（注意自变量的实际意义，需符合题意，如长度、数量不能为负）。
典型例题：某商店销售一种进价为20元/件的商品，售价为x元/件（x>20），每天可卖出(100-x)件，设每天的利润为y元，求y与x的函数解析式，并求当售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？
解析：
步骤1：明确利润公式：利润=（售价-进价）×销售量；
步骤2：代入已知条件，进价20元/件，售价x元/件，销售量(100-x)件，
得y=x−20100−x；
步骤3：化简解析式：y=−x2+120x−2000（一般式），
化为顶点式：y=−x−602+1600（配方：y=−x2−120x−2000=−x2−120x+3600−3600−2000=−x−602+3600−2000=−x−602+1600）；
步骤4：判断自变量取值范围：x>20，且销售量(100-x)>0 → x