沪教版五四制九年级下册数学 期中知识点

这是一份沪教版五四制九年级下册数学 期中知识点，共26页。学案主要包含了圆的确定，圆心角，垂径定理等内容，欢迎下载使用。
1 圆和扇形
知识梳理

1．用字母表示圆的周长，表示直径长，表示半径长，那么．
2．圆上任意两点之间的部分叫做弧．
3．设圆的半径长为，圆心角所对的弧长是，那么．
4．设圆的半径长为，面积为，那么．
5．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
6．设组成扇形的半径长为，圆心角度数为，弧长是，那么．
2 圆的基本性质
知识梳理

一、圆的确定：
（一）相关定义：
1．圆是平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．
这个定点是圆心．
联结圆心和圆上任意一点的线段是圆的半径．
这个定长是圆的半径长．
2．在圆所在的平面上，以圆周为分界线，含圆心的部分叫做圆的内部（简称圆内）；

不含圆心的部分叫做圆的外部（简称圆外）．

【总结】
圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，其对称中心为圆心，对称轴为过圆心的直线．

（二）点与圆的位置关系：
1．一般来说，对于给定的一个圆，平面上的点与这个圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．
2．设一个圆的半径长为，点到圆心的距离为，则
点在圆外；
点在圆上；
点在圆内．
（三）圆的确定：
1．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
2．三角形的三个顶点确定一个圆．
经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．
3．如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形．
二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：
（一）相关定义：
1．圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧．
2．联结圆上任意两点的线段叫做弦．
过圆心的弦就是直径．
3．以圆心为顶点的角叫做圆心角．
4．圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
5．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
6．圆心到弦的距离叫做弦心距．
（二）相关定理：
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两个同心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所应的其余三组量也分别相等．
三、垂径定理：
1．垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．
2．垂径定理推论1：如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧．
3．垂径定理推论2：如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦．
4．垂径定理推论3：如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的
弧．
5．垂径定理推论4：如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦．
6．垂径定理推论5：如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦．

3 直线和圆的位置关系
知识梳理

一、基础定义：
1．当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．
2．当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线．唯一的公共点叫做切点．
3．当直线与圆有两个公共点（即交点）时，叫做直线与圆相交．这时直线叫做圆的割线．
4．根据直线与圆公共点个数的情况，相应得到直线与圆的位置关系有三种：相离，相切，相
交．
二、直线与圆位置关系用数量关系描述：
如果的半径长为，圆心到直线的距离为
直线与⊙相交；
直线与⊙相切；
直线与⊙相离.
三、相关定理：
1．切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

4 圆和圆的位置关系
知识梳理

一、相关定义：
1．外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离．
2．外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．
3．相交：两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交．
4．内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的
内部，叫做这两个圆内切，这个唯一的公共点叫做切点．
5．内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含.当两个圆的圆
心重合时，称它们为同心圆．
6．圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距．
7．连心线：经过两个圆的圆心的直线叫做连心线．
二、两圆位置关系：
1．半径不等的两圆的位置关系：
半径不等的两圆的半径分别为和，圆心距为，则两圆的位置关系可用、和之间的数量关系表达，具体表达如下：
①两圆外离；
②两圆外切；
③两圆相交；
④两圆内切；
⑤两圆内含．
2．半径相等的两圆的位置关系有：外离、外切、相交、重合．
【总结】
1．半径不等两圆的位置关系用数轴表示：
2．从两圆公共点个数考虑：
交点个数
半径不等
半径相等
两圆无交点
两圆外离
两圆内含（同心圆）
两圆外离
两圆有一个交点
两圆外切
两圆内切
两圆外切
两圆有两个交点
两圆相交
两圆相交
两圆有无数个交点
——
两圆重合

三、相关定理：
1．相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
2．相切两圆的连心线经过切点．
【结论】
两圆的连心线是两圆的公共对称轴．

5 正多边形和圆
知识梳理

1.正多边形与圆
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．
正多边形的相关概念：
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
【总结】
1．正边形，若是奇数，则正边形是轴对称图形；
若是偶数，则正边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
2．正边形的条对称轴交于一点，其外接圆和内切圆的圆心都是这个正边形的对称轴的交点．这个交点到正边形的各顶点的距离相等，到正边形各边的距离也相等．
半径、边心距，边长之间的关系：
画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）：
量角器
（作法操作复杂，但作图较准确）
量角器+圆规
（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）
圆规+直尺
（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）
第28章 统计初步知识清单
1 事件发生的可能性
知识梳理
1．必然事件和不可能事件-----------确定事件
在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件；
在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件；必然事件和不可能事件统称为确定事件．
2．随机事件或不确定事件
（1）在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件，也称为不确定事件．
（2）一个确定事件是发生还是不发生，答案是确定的；而一个随机事件是发生还是不发生，具有不确定性．
3．事件发生的可能性
（1） 各种事件发生的可能性有大有小，需要用数学符号语言表述，通常用字母“”表述．
（2） 各种事件发生的可能性有大有小，可用数学语言来描述。依照可能性由大到小依次表述为某个事件：“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等．
（3）一般来说，随机事件发生的可能性大小，要经过大数次的试验来确定．
2 事件的概率计算
知识梳理
概率
（1）用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率，通常用字母“”表示．
（2）不可能事件的概率为“0”；而必然事件的概率为“1”。这样，随机事件的概率为大于0小于1的一个数，通常可以写成纯小数、百分数或真分数．
2．频率
（1）在大量重复某同一试验时，事件发生的次数÷试验的总次数所得的值，我们把它称为事件发生的频率．
（2）事件的概率是一个确定的常数；而频率是不确定的，与试验次数的多少有关。用频率表示概率，得到的只是近似值，为了得到概率的可靠地估计值，试验的次数要足够大，我们常用频率去估计概率．
3．等可能事件的概率
（1）等可能试验：①试验的结果是有限个，各种结果可能出现的机会是均等的；②任何两个结果不可能同时出现.符合上述两个条件的试验叫做等可能试验；各个结果出现的事件称为等可能事件.
（2）等可能事件的概率计算方法：
一般地，如果一个试验共有个等可能的结果，事件包含其中的个结果，那么事件的概率 .
3．等可能试验结果的分析方法（枚举法）
线段法；树形图；表格法.它们是枚举法的不同表现形式.

3 统计的意义
知识梳理

1．统计学是研究如何收集、处理、分析数据从而得出结论或找出规律的科学．
2. 总体、个体及样本
在统计中，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，当总体中个体数目较多时，一般从总体中抽取一部分个体，这一部分个体叫做总体的样本，样本中个体的数目叫做样本容量。其中，具有代表性的样本叫做随机样本．
收集数据的方法一般有两种，即普查和抽样调查．

4 表示一组数据平均水平的量
知识梳理
1．平均数
（1）平均数：一般地，如果有个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“拔”。
（2）加权平均数：如果个数中， 出现次，出现次，…，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。
2. 平均数的计算方法
（1）定义法：当所给数据比较分散时，一般选用定义公式：
（2）加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中。
（3）新数据法：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，…，。是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）．
3. 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
4. 中位数：一般地，将个数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（为奇数时），或最中间两个数据的平均数（为偶数时），称为这组数据的中位数.

说明：将一组个数据按大小依次排列，当为奇数时，第个数据是中位数；当为偶数时，第两个数据的平均数是中位数.
思考：平均数、中位数和众数的共同点和不同点？

5 表示一组数据波动水平的量
知识梳理
1．方差：在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即
2．标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
说明：（1）方差的单位为数据平方单位，标准差的单位与数据单位相同.
（2）方差、标准差都反映一组数据波动大小.
（3）一组数据的方差越大，这组数据的波动越大．
6 表示一组数据分布的量
知识梳理

1.频数分布直方图：我们把反映各小组相关数据出现的频数的统计图叫做频数分布直方图.
（一个小组的频数是指落在这个小组内的数据累计出现的次数）
2.频率分布的意义
在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。
3.研究频率分布的一般步骤及有关概念
（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：
①计算极差（最大值与最小值的差）
②决定组距与组数
③决定分点
④列频率分布表
⑤画频率分布直方图
（2）频率分布的有关概念
①极差：最大值与最小值的差
②频数：落在各个小组内的数据的个数
③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。