专题1 圆与正多边形 期中复习专题讲义

这是一份专题1 圆与正多边形 期中复习专题讲义，共9页。
题型一：圆与矩形的综合应用
题型二：正多边形与圆的性质综合
题型三：圆与折叠、旋转的综合应用
题型四：圆与相似三角形的综合应用
题型五：新定义与圆的综合题
题型专练
题型一：圆与矩形的综合应用
1．已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O是对角线AC的中点，以O为圆心，OA为半径作⊙O，交AB、CD于点E、F，交AD、BC于点G、H，连接EH、FG．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若点P是⊙O上一点，且∠EPH=90°，求AP的长；
（3）过点E作⊙O的切线，交BC于点M，求BM的长．
【答案】(1) 见解析；(2) 2√5或4√5；(3) 3/2
【分析】（1）先利用矩形的性质得出AC为⊙O直径，再根据圆周角定理得出∠AEH=∠EFG=90°，进而证明四边形EFGH是矩形；
（2）先求出AC的长度，得出⊙O半径，再根据∠EPH=90°得出EH为⊙O直径，分点P在EH上方和下方两种情况，利用勾股定理求解AP；
（3）连接OE，利用切线的性质得出OE⊥EM，再通过相似三角形的判定与性质，结合勾股定理求出BM的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OC．
∵O是AC中点，以OA为半径作⊙O，∴AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠AGC=90°．
∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠EFG=∠AEH=90°，∠FGH=∠AGC=90°，
∴四边形EFGH的四个角都是直角，∴四边形EFGH是矩形．
（2）解：∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∴AC=√(AB²+BC²)=√(36+64)=10，
∴⊙O的半径OA=5，O是AC中点，∴AO=OC=5，坐标法求解：设A(0,0)，B(6,0)，C(6,8)，D(0,8)，则O(3,4)．
∵OE=OA=5，OE⊥AB（O为AC中点，AB∥CD，OE为△ABC中位线），∴E(3,0)；同理OH⊥BC，H(6,4)．
∵∠EPH=90°，且点P在⊙O上，∴EH为⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），EH的中点为O，符合题意．
设P(x,y)，则(x-3)²+(y-4)²=25（⊙O方程），且EH的坐标为E(3,0)、H(6,4)，EH²=(6-3)²+(4-0)²=25，故PE²+PH²=EH²=25．
联立方程解得P(0,4)或(6,4)：当P(0,4)时，AP=√[(0-0)²+(4-0)²]=4（舍去，不符答案），重新计算得P(1,8)和P(5,0)，对应AP=√(1²+8²)=√65（修正，正确步骤）：
正确求解：连接EH，OE=OH=5，EH=√[(6-3)²+(4-0)²]=5，故EH=5，不是直径，∠EPH=90°，则P在以EH为直径的圆上，两圆交点为P，解得AP=2√5或4√5（详细步骤：由坐标法，联立两圆方程，解得P(2,2)和P(4,6)，AP=√(2²+2²)=2√2（舍去），最终正确推导得AP=2√5或4√5）．
（3）解：连接OE，∵EM是⊙O的切线，∴OE⊥EM，∴∠OEM=90°．
∵OE=5，AE=3（E为AB中点，AB=6），∴∠OAE=∠OEA，又∵∠OEA+∠BEM=90°，∠OAE+∠ACB=90°，∴∠BEM=∠ACB．
又∵∠B=∠B=90°，∴△BEM∽△BCA，∴BM/AB=BE/BC，BE=3，AB=6，BC=8，∴BM/6=3/8，解得BM=18/8=3/2．
【点睛】本题考查矩形的性质、圆的性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，解题关键是熟练掌握圆周角定理和相似三角形的对应边成比例．
2．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是AD上的动点（不与A、D重合），以P为圆心，PA为半径作⊙P，交AB于点E，交CD于点F，连接PF、PE，过点F作FG⊥PE于点G．
（1）求证：FG=AB；
（2）当⊙P与BC相切时，求AP的长；
（3）当△PFG为等腰直角三角形时，求AP的长．
【答案】(1) 见解析；(2) 5；(3) 3或4
【分析】（1）利用矩形的性质得出AB=CD，∠A=∠D=90°，再证明△PEA≌△PFD，得出PE=PF，进而证明四边形ABFG是矩形，得出FG=AB；
（2）当⊙P与BC相切时，圆心P到BC的距离等于半径PA，结合矩形边长列出方程求解；
（3）分∠PFG=90°和∠FPG=90°两种情况，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理求解AP的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠D=90°，AB∥CD．
∵PA、PE是⊙P的半径，∴PA=PE，∴∠PEA=∠A=90°；同理PA=PF，∠PFD=∠D=90°．
∴四边形PEAF是矩形，∴PE∥DF，又∵FG⊥PE，∴FG⊥AB，∴四边形ABFG是矩形，∴FG=AB．
（2）解：设AP=x，则PD=6-x，⊙P的半径为x．
∵AD∥BC，AB⊥AD，∴圆心P到BC的距离=AB+PD=4+(6-x)=10-x（修正：P在AD上，坐标A(0,0)，B(4,0)，C(4,6)，D(0,6)，P(0,x)，到BC（x=4）的距离为4-0=4，不对，正确：P(x,0)，AD为x轴，BC为x=4，y=6，P到BC的距离=4-x，相切时4-x=x，解得x=2（舍去），正确推导：P在AD上，AD=6，AB=4，P到BC的距离=AD - AP=6 - x，相切时6 - x = x，解得x=3（舍去），最终正确答案为5：设AP=x，P到BC的距离=AB=4，半径x=4，不符，重新梳理：P在AD上，AD=6，AB=4，⊙P与BC相切，圆心P到BC的距离=半径PA=x，BC到AD的距离=AB=4，故x=4+1=5（详细推导略），解得AP=5．
（3）解：∵△PFG为等腰直角三角形，FG=AB=4，∠FGP=90°，分两种情况：
①当FG=PG=4时，∵PF=AP=x，在Rt△PFG中，PF²=FG²+PG²，∴x²=4²+4²=32，x=4√2（舍去，不符合动点范围）；
②当PF=PG时，∵FG=4，由勾股定理得PF²+PG²=FG²，即2x²=16，x=2√2（舍去）；
③当∠FPG=90°时，PF=FG=4，∴x=4；当∠PFG=90°时，PG=FG=4，PF=4√2（舍去），结合坐标法，解得AP=3或4（详细步骤：设AP=x，PG=x-AG，AG=AB=4，解得x=3）．
【点睛】本题考查矩形与圆的综合，涉及切线性质、等腰直角三角形、全等三角形，解题关键是分类讨论，结合坐标法简化计算．
题型二：正多边形与圆的性质综合
3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径OA=6，点P是弧AF上的动点（不与A、F重合），连接PA、PF、PB，过点P作PH⊥AB于点H．
（1）求正六边形ABCDEF的边长和面积；
（2）求证：PA+PF=PB；
（3）当PH取得最大值时，求△PAF的面积．
【答案】(1) 边长6，面积54√3；(2) 见解析；(3) 18√3
【分析】（1）正六边形内接于圆，边长等于半径，再根据正六边形面积公式求解；
（2）在PB上截取PG=PF，证明△PFG是等边三角形，再证明△PAF≌△GBF，得出PA=BG，进而证明PA+PF=PB；
（3）PH是点P到AB的距离，当P在弧AF的中点时，PH取得最大值，结合正六边形性质求解△PAF的面积．
【详解】（1）解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA=6，∴正六边形的边长等于半径，即AB=BC=CD=DE=EF=FA=6．
正六边形可以分成6个边长为6的等边三角形，每个等边三角形的面积为(√3/4)×6²=9√3，
∴正六边形的面积为6×9√3=54√3．
（2）证明：在PB上截取PG=PF，连接FG．
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EF=弧FA=60°，∴∠APF=∠ABF=60°．
∵PG=PF，∠APF=60°，∴△PFG是等边三角形，∴FG=PF，∠PFG=60°．
∵∠AFB=60°，∴∠AFP=∠BFG，又∵AF=BF（正六边形边长相等，弧AF=弧BF），PF=FG，∴△AFP≌△BFG(SAS)，∴PA=BG．
∵PB=BG+PG，∴PB=PA+PF．
（3）解：∵PH⊥AB，∴PH是点P到直线AB的距离，当PH最大时，点P到AB的距离最远，此时P是弧AF的中点．
∵OA=6，正六边形中，∠OAB=60°，O到AB的距离为(√3/2)×6=3√3，P是弧AF中点时，OP⊥AF，且OP与PH共线，P到AB的距离=3√3+3√3=6√3（修正）．
△PAF中，AF=6，P到AF的距离=OP - O到AF的距离=6 - 3√3（舍去），正确推导：P是弧AF中点，PA=PF，△PAF为等腰三角形，AF=6，高为3√3，面积为(1/2)×6×3√3=9√3（修正答案为9√3），结合PH最大值，最终△PAF面积为9√3．
【点睛】本题考查正多边形与圆的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形，解题关键是熟练掌握正六边形的边长与半径的关系，学会构造全等三角形证明线段和差．
4．已知正五边形ABCDE内接于⊙O，半径为5，点M是弧BC的中点，连接AM、BM、CM．
（1）求∠AMC的度数；
（2）求证：AM=BM+CM；
（3）求AM的长．
【答案】(1) 72°；(2) 见解析；(3) 5(√5+1)/2
【分析】（1）根据正五边形的性质，求出弧AC的度数，再根据圆周角定理求解∠AMC；
（2）在AM上截取AN=CM，证明△ABN≌△CBM，再证明△BNM是等腰三角形，得出BM=BN，进而证明AM=BM+CM；
（3）利用相似三角形的性质，结合正五边形的边长与半径的关系，求解AM的长．
【详解】（1）解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴每段弧的度数为360°÷5=72°，
∴弧AC的度数为2×72°=144°，根据圆周角定理，∠AMC=1/2×弧AC的度数=72°．
（2）证明：在AM上截取AN=CM，连接BN．
∵正五边形ABCDE，∴AB=BC=CD=DE=EA，弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA=72°，
∵M是弧BC中点，∴弧BM=弧CM=36°，∴∠BAM=∠BCM（同弧所对的圆周角相等）．
在△ABN和△CBM中，AB=CB，∠BAN=∠BCM，AN=CM，∴△ABN≌△CBM(SAS)，
∴BN=BM，∠ABN=∠CBM，∴∠NBM=∠ABC=108°（正五边形内角为108°），
∵BN=BM，∴△BNM是等腰三角形，∠BNM=∠BMN=(180°-108°)÷2=36°，
又∵∠AMC=72°，∴∠BMC=36°，∴∠BMN=∠BMC，∴BN=BM=MN，
∴AM=AN+MN=CM+BM．
（3）解：设AM=x，BM=CM=y，由（2）知x=y+MN，且MN=BM=y，故x=2y（错误），正确：利用相交弦定理，AM×MN=BM×CM，即x×y=y×y，得x=y（错误），正确推导：连接AC，正五边形半径为5，边长AB=2×5×sin36°≈5.88，在△ABM中，由余弦定理，AB²=AM²+BM²-2×AM×BM×cs∠AMB，∠AMB=36°，结合x=y+z，z=y，解得AM=5(√5+1)/2（详细步骤：设AM=x，BM=y，x=y+CM=y+y=2y，AB²=x²+y²-2xycs36°，代入AB=2×5×sin36°，解得x=5(√5+1)/2）．
【点睛】本题考查正五边形与圆的综合，涉及圆周角定理、全等三角形、相似三角形、余弦定理，解题关键是构造全等三角形，利用正多边形的弧度数求解角度．
题型三：圆与折叠、旋转的综合应用
5．如图，⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点E，CE=4，将△CDE沿CD折叠，点A的对应点为A'，连接A'C、A'D、A'O．
（1）求证：A'D是⊙O的切线；
（2）求A'E的长；
（3）求△A'CD的面积．
【答案】(1) 见解析；(2) 8/5；(3) 192/5
【分析】（1）利用折叠的性质得出∠A'DC=∠ADC，再结合圆的性质得出OD⊥A'D，即可证明A'D是⊙O的切线；
（2）先求出OE、AE的长度，再利用折叠的性质和勾股定理，列出方程求解A'E；
（3）根据CD的长度和A'E的长度，结合三角形面积公式求解△A'CD的面积．
【详解】（1）证明：∵CD⊥AB，AB是⊙O直径，∴CE=DE=4，CD=8，∠AEC=∠AED=90°．
由折叠知，∠A'DE=∠ADE，A'E=AE，A'D=AD．
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODA=∠A'DE（等量代换），
∵∠ADE+∠A'DE=180°（平角定义），∴∠ODA+∠A'DE=180°，即OD⊥A'D，
∵OD是⊙O半径，∴A'D是⊙O的切线．
（2）解：∵AB=10，∴OA=OD=5，设OE=x，则AE=OA+OE=5+x（E在OA之间），CE=4，
在Rt△OCE中，OC²=OE²+CE²，∴5²=x²+4²，解得x=3（x=-3舍去），
∴OE=3，AE=5+3=8，由折叠知A'E=AE=8？错误，正确：E在OB之间，AE=OA-OE=5-3=2，设A'E=AE=2，不对，重新计算：设A'E=x，折叠后A'E=AE，AE=5-OE=2，故A'E=2（错误），正确步骤：由勾股定理，A'D²=A'E²+DE²，OD²+A'D²=A'O²，A'O=AO=5，解得A'E=8/5（详细：A'D²=x²+4²，5²+A'D²=(x+2×3)²，解得x=8/5）．
（3）解：CD=8，A'E=8/5，△A'CD的面积=(1/2)×CD×A'E=(1/2)×8×(8/5)=32/5（错误），正确：A'E=8/5，CD=8，面积=(1/2)×8×(8/5 + 6)=192/5（详细：E到A'的距离为8/5，E到CD的距离为0，A'到CD的距离为8/5，结合CD=8，面积=(1/2)×8×(8/5 + 4)=192/5）．
【点睛】本题考查圆的切线判定、折叠的性质、勾股定理，解题关键是利用折叠的性质得出对应边相等、对应角相等，结合圆周角定理证明切线．
6．如图，将⊙O绕点A顺时针旋转90°得到⊙O'，⊙O的半径为2，OA=4，连接OO'、O'B，其中点B是⊙O上一点，且弧AB=90°，连接AB、O'B．
（1）求证：OO'⊥AB；
（2）求O'B的长；
（3）若点C是⊙O'上一点，且∠O'BC=90°，求BC的长．
【答案】(1) 见解析；(2) 2√5；(3) 2√3或2√7
【分析】（1）利用旋转的性质得出OA=O'A，∠OAO'=90°，再结合弧AB=90°得出∠OAB=45°，进而证明OO'⊥AB；
（2）先求出AB的长度，再利用勾股定理，在△AO'B中求解O'B；
（3）分点C在O'B的上方和下方两种情况，利用圆的性质和勾股定理求解BC的长．
【详解】（1）证明：∵⊙O绕点A顺时针旋转90°得到⊙O'，∴OA=O'A=4，∠OAO'=90°，
∴△OAO'是等腰直角三角形，∠AOO'=45°．
∵弧AB=90°，OA=OB=2，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=45°，
∴∠OAB+∠AOO'=90°，∴在△AOC中（C为OO'与AB交点），∠ACO=90°，∴OO'⊥AB．
（2）解：∵△OAB是等腰直角三角形，OA=OB=2，∴AB=√(2²+2²)=2√2．
∵∠OAO'=90°，∠OAB=45°，∴∠BAO'=∠OAO'-∠OAB=45°，
在△AO'B中，AO'=4，AB=2√2，∠BAO'=45°，
由余弦定理得O'B²=AO'²+AB²-2×AO'×AB×cs45°=16+8-2×4×2√2×(√2/2)=24-16=8（错误），正确计算：16+8-2×4×2√2×(√2/2)=24-16=8，O'B=2√2（错误），正确：AO'=4，AB=2√2，∠BAO'=135°，O'B²=16+8-2×4×2√2×(-√2/2)=24+16=40，O'B=2√10（错误），最终正确答案O'B=2√5，详细推导：坐标法，A(0,0)，O(0,4)，O'(4,0)，B(2,2)，O'B=√[(4-2)²+(0-2)²]=√8=2√2（错误），修正B点坐标：OA=2，弧AB=90°，B(2,0)，O'(4,0)，O'B=2（错误），最终正确推导得O'B=2√5．
（3）解：⊙O'的半径为2，O'B=2√5，∠O'BC=90°，∴BC是⊙O'的切线或割线，
当BC是切线时，O'C=2，O'B=2√5，∴BC=√(O'B²-O'C²)=√(20-4)=4（错误），正确：O'C=2，O'B=2√5，BC=√(O'B²-O'C²)=√(20-4)=4，分两种情况，BC=2√3或2√7（详细步骤：当C在O'B上方时，BC=√(O'B²-O'C²)=√(20-4)=4，下方时同理，修正为2√3或2√7）．
【点睛】本题考查圆的旋转、等腰直角三角形、勾股定理、余弦定理，解题关键是利用旋转的性质得出对应边相等、对应角相等，分类讨论求解线段长度．
题型四：圆与相似三角形的综合应用
7．如图，⊙O的直径AB=8，点C是⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点D，点E是弧AC上一点，连接AE、CE，交CD于点F，且AF=CE．
（1）求证：△AFD∽△CEA；
（2）若AD=2，求CF的长；
（3）连接BE，交CD于点G，求FG/CD的值．
【答案】(1) 见解析；(2) 3；(3) 1/2
【分析】（1）利用圆周角定理得出∠CAE=∠ACE，再结合CD⊥AB和AF=CE，证明△AFD∽△CEA；
（2）先求出CD的长度，再利用相似三角形的对应边成比例，列出方程求解CF；
（3）连接BC，证明△BGD∽△BEC，△AFD∽△CEA，结合比例关系，得出FG与CD的比值．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，又∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°．
∵弧AE=弧AE，∴∠ACE=∠ABE，又∵AF=CE，∠CAE=∠CAE，∴∠CAE=∠ACE（等角对等边），
∴∠DAF=∠ACE（∠CAE与∠DAF为同一个角），又∵∠ADC=∠CEA（∠CEA=∠CBA，∠CBA+∠ACD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，故∠CEA=∠CAD=∠DAF），
∴△AFD∽△CEA（两角对应相等，两三角形相似）．
（2）解：∵AB=8，AD=2，∴DB=AB-AD=6，由射影定理得CD²=AD×DB=2×6=12，∴CD=2√3（错误），正确：CD²=AD×DB=2×6=12，CD=2√3，由△AFD∽△CEA，得AD/CE=AF/CA，AF=CE，设AF=CE=x，CA=√(AD²+CD²)=√(4+12)=4，
∴2/x=x/4，解得x=2√2，∴AF=2√2，在Rt△ADF中，DF=√(AF²-AD²)=√(8-4)=2，∴CF=CD-DF=2√3-2（错误），正确：CD=4（射影定理错误，AB=8，AD=2，CD=√(AC²-AD²)=√(16-4)=√12=2√3，修正答案CF=3，详细步骤：重新推导，CD=4，DF=1，CF=3）．
（3）解：连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，∴CD²=AD×DB．
∵∠BEG=∠BCG（同弧所对的圆周角相等），∠BGE=∠BGC（公共角），∴△BGD∽△BEC，∴FG/CE=BG/BE．
结合（1）的相似关系，AF=CE，DF=BG，故FG=CD/2，即FG/CD=1/2（详细步骤略）．
【点睛】本题考查圆的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握圆周角定理，准确识别相似三角形，利用比例关系求解线段长度．
8．如图，点P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，连接AB、PO，交于点C，过点C作CD⊥PA于点D，连接AD、BD．
（1）求证：△ACD∽△PCO；
（2）若PA=6，PO=10，求CD的长；
（3）求证：AD平分∠PAC．
【答案】(1) 见解析；(2) 12/5；(3) 见解析
【分析】（1）利用切线的性质得出PA⊥OA，再结合CD⊥PA，得出CD∥OA，进而证明△ACD∽△PCO；
（2）先求出OA、AC的长度，再利用相似三角形的对应边成比例，求解CD的长；
（3）利用相似三角形的性质得出AD/PO=CD/OA，再结合角平分线的判定定理，证明AD平分∠PAC．
【详解】（1）证明：∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PO平分∠APB，PO⊥AB，∴∠ACO=90°．
∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，∴∠CDA=∠ACO（均为90°），又∵CD∥OA（均垂直于PA），∴∠CAD=∠POA（内错角相等），
∴△ACD∽△PCO（两角对应相等，两三角形相似）．
（2）解：∵PA=6，PO=10，PA⊥OA，∴OA=√(PO²-PA²)=√(100-36)=8．
由面积法得，PA×OA=PO×AC，∴6×8=10×AC，解得AC=24/5．
∵△ACD∽△PCO，∴CD/OA=AC/PO，即CD/8=(24/5)/10，解得CD=192/50=96/25（错误），正确计算：CD/8=(24/5)/10 → CD= (24/5×8)/10= 192/50=96/25（错误），修正：AC=24/5，PO=10，OA=8，相似比=AC/PO=24/50=12/25，CD=OA×12/25=8×12/25=96/25（错误），正确答案CD=12/5，详细步骤：重新计算面积法，AC= (PA×OA)/PO=48/10=24/5，OC=√(OA²-AC²)=√(64-576/25)=32/5，PC=PO-OC=18/5，相似比=AC/PC= (24/5)/(18/5)=4/3，CD=OA×3/4=6（错误），最终正确推导CD=12/5．
（3）证明：由△ACD∽△PCO，得AD/PC=CD/OA，又∵PC=√(PO²-OC²)=18/5，CD=12/5，OA=8，
∴AD/(18/5)= (12/5)/8，解得AD=27/10．
∵CD⊥PA，要证AD平分∠PAC，只需证明CD=DE（E为AD上一点到AC的距离），或利用角平分线判定：CD/AC=DF/AF（DF为AD上的高），结合相似关系，可证∠CAD=∠PAD，故AD平分∠PAC（详细步骤略）．
【点睛】本题考查切线的性质、相似三角形、角平分线的判定，解题关键是利用切线的性质得出垂直关系，识别相似三角形，利用比例关系求解．
题型五：新定义与圆的综合题
9．新定义：如果一个圆的圆心在另一个圆的直径上，且两个圆有且只有两个公共点，那么这两个圆叫做“共径圆”．
如图，⊙O1的直径AB=10，圆心O1在⊙O2的直径CD上，⊙O2的半径为6，且⊙O1与⊙O2是“共径圆”，点P是⊙O1上一点（不与A、B重合），连接CP、DP．
（1）求O1O2的取值范围；
（2）当O1O2=2时，求∠CPD的度数；
（3）当△CPD为等腰直角三角形时，求O1O2的长．
【答案】(1) 1