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2024学年初一数学 沪科版《期中复习》讲义
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这是一份2024学年初一数学 沪科版《期中复习》讲义，共12页。
知识点1： 第6章热门考点整合应用
知识点2： 第7章热门考点整合应用
知识点3： 第8章热门考点整合应用
本节课重难点：
重点： 相关知识点的概念、性质、运算
难点： 相关知识点的技巧和相关思想
本节课学习目标：
掌握相关知识点的概念、性质、运算
运用解题技巧解决相关问题
渗透数学中常用思想
知识点1：第6章 实数
考查实数的有关概念及实数的性质和运算，是初中数学的基础知识，常见的热门考点有平方根和立方根的概念、求法及应用，算术平方根的性质与应用，实数的分类、比较大小和运算等.其热门考点可概括为三个概念，一个关系，三个性质，一种运算，一个技巧和两种思想.
考点一：三个概念
概念1.算术平方根与平方根
1.分别求出下列各数的平方根和算术平方根：
(1)0.022 5； (2)6259； (3)196.
概念2.立方根
2.下列说法：①10的平方根是±10；②负数和零没有立方根；③2－1的相反数是1－2；④16的算术平方根是4；⑤0.008的立方根是0.2.其中正确的有( )
概念3.实数
3.下列各数：－38，π2，0.34·5·，12，0.101 101 110…(相邻两个0之间1的个数依次加1)，无理数的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
考点二：一个关系——实数与数轴的对应关系
4. 如图，在数轴上，点A表示2，点B表示15，则A，B之间表示整数的点共有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
5. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示－2，设点B所表示的数为m.
(1)求m的值；
(2)求｜m－1｜的值
考点三：三个性质
性质1 平方根的性质
6.已知a-2＋(b＋5)2＋｜c＋1｜＝0，则a－b－c的值为
7. 已知一个正数的两个平方根分别是x＋3和x－1，求这个正数的立方根.
性质2 立方根的性质
8. 若33a-1与31-2b互为相反数，求ab的值.
性质3 实数的性质
9. 在实数1，－1，0，2中，最大的数是( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
10. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，如果a＋b＝0，那么下列结论正确的是( )
A.｜a｜＞｜c｜ B.a＋c＜0 C.abc＜0 D.ab＝1
考点四：一种运算——实数的运算
11. 计算：
(1)4＋｜－2｜－32； (2)38＋｜－5｜＋(－1)2 023.
考点五：一个技巧——比较实数大小的技巧
12. (1)比较－6与－3的大小；
(2)比较75和8的大小.
考点六：两种思想
思想1 数形结合思想
13. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是( )
A. c(b－a)＜0 B. b(c－a)＜0 C. a(b－c)＞0 D. a(c＋b)＞0
思想2 分类讨论思想
14. 比较a，1a，a的大小.
知识点2：第7章 一元一次不等式与不等式组
本章中的一元一次不等式(组)的解法及应用是中考的必考内容，从近几年的中考试题来看，重点考查不等式的性质，求一元一次不等式(组)的解集，主要以选择题、填空题的形式出现，难度较小.有关列不等式(组)解应用题的试题不断渗透新的理念、新的情境，题型涉及选择题、填空题和解答题.全章主要热门考点可概括为四个概念，一个性质，四个解法和两个应用.
考点一：四个概念
概念1 不等式
1.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些即不是等式也不是不等式.
(1)x＋y(2)3x＞7；(3)5＝2x＋3；(4)x2＞0；
(5)2x－3y＝1；(6)52；(7)2＜3.
概念2 一元一次不等式
2.下列式子是一元一次不等式的是( )
A.2x2+1＞3 B.1x – 4＜5 C.3(x-1)＜32(2x+1) D.2y＞0
概念3 一元一次不等式组
3.下列式子中，是一元一次不等式组的有( )
①&x>0，&2x+5<-1；②&x＋π＞-2，&3-x<0；③&1x+2<3，&x-5>4；
④&ab＜-5，&a＋b>0；⑤&m+2n+2≥0，&m-2n-2≤0.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
概念4 不等式(组)的解或解集
4.下列说法中，正确的有( )
①x＝7是不等式x＞1的解；②不等式2x＞4的解是x＞2；
③不等式组&x>3，&x≥-2的解集是－2≤x＜3；
④不等式组&x≥6，&x≤6的解集是x＝6；⑤不等式组&x>4，&x<2无解.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点二：一个性质——不等式的性质
5.已知a＜b，下列不等式中，变形正确的是( )
A. a-3＞b-3 B. a3＞b3 C. -3a＞-3b D. 3a-1＞3b-1
考点三：四个解法
解法1 一元一次不等式的解法
6.解不等式：12(x－3)＜13－2x.
7.解不等式2x－1＞3x-12，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来.
解法2 一元一次不等式组的解法
8.解不等式组&2x+1≥x-1，①&4x-1≤x+2，② 请结合题意填空，完成本题的解答.
(1)解不等式①，得 ；
(2)解不等式②，得 ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为 .
解法3 一元一次不等式(组)的整数解的解法
9.不等式组&2x-5≤0，&x-1>0的整数解是 .
10.使x－5＞4x－3成立的最大整数解是多少？
11.解不等式组&3x-2<4，&2（x-1）≤3x+1，并求出它的非负整数解.
解法4 与字母参数有关的一元一次不等式组的解法
12.已知关于x，y的方程组&3x＋y＝k+1，&x+3y=3的解满足－1＜x＋y＜1，求k的取值范围.
考点四：两个应用
应用1 一元一次不等式的应用
13. 利用方程(组)或不等式(组)解决问题：“四书五经”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》(四书)及《诗经》《尚书》《周易》《礼记》《春秋》(五经)的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙.已知购买3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元.
(1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元.
(2)学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共50本，其中《论语》不少于38本.正逢书店“优惠促销”，《论语》的单价打8折，《孟子》的单价优惠4元，如果此次学校购书的总费用不超过1 500元，那么有几种购买方案？
应用2 一元一次不等式组的应用
14. 科幻电影《流浪地球》的成功，标志着中国电影工业化迈向了新的台阶，某企业眼光独到，准备生产一批乐高模型投放市场，计划生产“笨笨”“MOSS”两种产品共100件，需购买价格为30元/千克的A种材料和价格为20元/千克的B种材料，通过调研，获得以下信息：
信息1：生产一件“笨笨”需A种材料4千克，B种材料1千克；
信息2：生产一件“MOSS”需A种材料3千克，B种材料4千克.
根据以上信息，解决下列问题：
现工厂用于购买A、B两种材料的资金不能超过15 000元，且生“MOSS”不少于30件，请问有哪几种符合条件的生产方案？
(2)在(1)的条件下，若生产一件“笨笨”需加工费60元，生产一件“MOSS”需加工费80元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成最低？
知识点3：第8章 整式乘法与因式分解
本章的主要内容是幂的运算、整式的乘(除)法运算、乘法公式，以及因式分解.本章的重点：整式的乘(除)法法则、乘法公式和因式分解.本章的难点：乘法公式的灵活运用、添括号法则及运用提公因式法和公式法进行因式分解.本章的热门考点可概括为：两个概念、两个运算、两个公式、两个应用、四个技巧和三种思想.
考点一：两个概念
概念1零次幂与负整数次幂
1.若(x＋2)0＝1，则x应满足的条件是 .
2.计算：(π－1)0＋(－2)－1＝
概念2因式分解
3.因式分解：a2＋ab＝ .
考点二：两个运算
运算1幂的运算法则及其逆用
4.已知10x＝5，10y＝6，求103x＋2y的值.
运算2整式的运算
5.计算：5ab2－{2a2b－[3a2b－ab(b－2a)]÷(－12ab)}.
考点三：两个公式
公式1完全平方公式
6.(1)已知3x2－2x－3＝0，求(x－1)2＋xx＋23的值.
(2)已知a＋b＝1，ab＝－12，求下列各式的值：
①a2＋b2； ②(a－2)(b－2)；③(a－b)2.
公式2平方差公式
7.下列运算正确的是( )
A.2x+3x=5x2 B.(-2x)3=-6x3 C. 2x3∙3x2=6x5 D.(3x+2)(2-3x)=9x2-4
8.利用因式分解进行计算：
(1)3.14×512－3.14×492；
(2)1-1221-1321-142×…×1-12 0242.
考点四：两个应用
应用1 应用因式分解解整除问题
9.对于任意自然数n，(n＋7)2－(n－3)2是否能被20整除？
应用2应用因式分解比较大小
10.若A＝67m－2，B＝m2－87m(m为任意实数)，试比较A与B的大小.
考点五：四个技巧
技巧1巧用乘法公式计算
11.已知m，n满足(m＋n)2＝169，(m－n)2＝9，求m2＋n2－mn的值.
技巧2分组后用提公因式法
12.分解因式：a2－ab＋ac－bc.
技巧3拆项后用公式法
13.阅读下面的材料：将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法，其实分解因式的方法还有拆项法，即将一个多项式的某一项拆成两项后可提公因式或运用公式继续分解的方法.如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1).
请你仿照以上方法分解因式：
(1)x2－6x－7； (2)a2＋4ab－5b2.
技巧4换元法
14.分解因式：(m2－2m－1)(m2－2m＋3)＋4.
考点六：三种思想
思想1整体思想
15.(1)已知2m－1＝2，求3＋4m的值；
已知x－y＝7，xy＝10，求x2＋y2的值.
思想2方程思想
16.若2×8m×16m＝229，则m的值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D.6
思想3分类讨论思想
17.(荣德原创题)阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②－1的奇数次幂都等于－1；③－1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1.
试根据以上材料探索使等式(2x＋3)x＋2 023＝1成立的x的值.
A.①③④⑤
B.②④⑤
C.①③
D.①②③④⑤
知识点1： 第6章热门考点整合应用
知识点2： 第7章热门考点整合应用
知识点3： 第8章热门考点整合应用
本节课重难点：
重点： 相关知识点的概念、性质、运算
难点： 相关知识点的技巧和相关思想
本节课学习目标：
掌握相关知识点的概念、性质、运算
运用解题技巧解决相关问题
渗透数学中常用思想
知识点1：第6章 实数
考查实数的有关概念及实数的性质和运算，是初中数学的基础知识，常见的热门考点有平方根和立方根的概念、求法及应用，算术平方根的性质与应用，实数的分类、比较大小和运算等.其热门考点可概括为三个概念，一个关系，三个性质，一种运算，一个技巧和两种思想.
考点一：三个概念
概念1.算术平方根与平方根
1.分别求出下列各数的平方根和算术平方根：
(1)0.022 5； (2)6259； (3)196.
概念2.立方根
2.下列说法：①10的平方根是±10；②负数和零没有立方根；③2－1的相反数是1－2；④16的算术平方根是4；⑤0.008的立方根是0.2.其中正确的有( )
概念3.实数
3.下列各数：－38，π2，0.34·5·，12，0.101 101 110…(相邻两个0之间1的个数依次加1)，无理数的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
考点二：一个关系——实数与数轴的对应关系
4. 如图，在数轴上，点A表示2，点B表示15，则A，B之间表示整数的点共有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
5. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示－2，设点B所表示的数为m.
(1)求m的值；
(2)求｜m－1｜的值
考点三：三个性质
性质1 平方根的性质
6.已知a-2＋(b＋5)2＋｜c＋1｜＝0，则a－b－c的值为
7. 已知一个正数的两个平方根分别是x＋3和x－1，求这个正数的立方根.
性质2 立方根的性质
8. 若33a-1与31-2b互为相反数，求ab的值.
性质3 实数的性质
9. 在实数1，－1，0，2中，最大的数是( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
10. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，如果a＋b＝0，那么下列结论正确的是( )
A.｜a｜＞｜c｜ B.a＋c＜0 C.abc＜0 D.ab＝1
考点四：一种运算——实数的运算
11. 计算：
(1)4＋｜－2｜－32； (2)38＋｜－5｜＋(－1)2 023.
考点五：一个技巧——比较实数大小的技巧
12. (1)比较－6与－3的大小；
(2)比较75和8的大小.
考点六：两种思想
思想1 数形结合思想
13. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是( )
A. c(b－a)＜0 B. b(c－a)＜0 C. a(b－c)＞0 D. a(c＋b)＞0
思想2 分类讨论思想
14. 比较a，1a，a的大小.
知识点2：第7章 一元一次不等式与不等式组
本章中的一元一次不等式(组)的解法及应用是中考的必考内容，从近几年的中考试题来看，重点考查不等式的性质，求一元一次不等式(组)的解集，主要以选择题、填空题的形式出现，难度较小.有关列不等式(组)解应用题的试题不断渗透新的理念、新的情境，题型涉及选择题、填空题和解答题.全章主要热门考点可概括为四个概念，一个性质，四个解法和两个应用.
考点一：四个概念
概念1 不等式
1.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些即不是等式也不是不等式.
(1)x＋y(2)3x＞7；(3)5＝2x＋3；(4)x2＞0；
(5)2x－3y＝1；(6)52；(7)2＜3.
概念2 一元一次不等式
2.下列式子是一元一次不等式的是( )
A.2x2+1＞3 B.1x – 4＜5 C.3(x-1)＜32(2x+1) D.2y＞0
概念3 一元一次不等式组
3.下列式子中，是一元一次不等式组的有( )
①&x>0，&2x+5<-1；②&x＋π＞-2，&3-x<0；③&1x+2<3，&x-5>4；
④&ab＜-5，&a＋b>0；⑤&m+2n+2≥0，&m-2n-2≤0.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
概念4 不等式(组)的解或解集
4.下列说法中，正确的有( )
①x＝7是不等式x＞1的解；②不等式2x＞4的解是x＞2；
③不等式组&x>3，&x≥-2的解集是－2≤x＜3；
④不等式组&x≥6，&x≤6的解集是x＝6；⑤不等式组&x>4，&x<2无解.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点二：一个性质——不等式的性质
5.已知a＜b，下列不等式中，变形正确的是( )
A. a-3＞b-3 B. a3＞b3 C. -3a＞-3b D. 3a-1＞3b-1
考点三：四个解法
解法1 一元一次不等式的解法
6.解不等式：12(x－3)＜13－2x.
7.解不等式2x－1＞3x-12，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来.
解法2 一元一次不等式组的解法
8.解不等式组&2x+1≥x-1，①&4x-1≤x+2，② 请结合题意填空，完成本题的解答.
(1)解不等式①，得 ；
(2)解不等式②，得 ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为 .
解法3 一元一次不等式(组)的整数解的解法
9.不等式组&2x-5≤0，&x-1>0的整数解是 .
10.使x－5＞4x－3成立的最大整数解是多少？
11.解不等式组&3x-2<4，&2（x-1）≤3x+1，并求出它的非负整数解.
解法4 与字母参数有关的一元一次不等式组的解法
12.已知关于x，y的方程组&3x＋y＝k+1，&x+3y=3的解满足－1＜x＋y＜1，求k的取值范围.
考点四：两个应用
应用1 一元一次不等式的应用
13. 利用方程(组)或不等式(组)解决问题：“四书五经”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》(四书)及《诗经》《尚书》《周易》《礼记》《春秋》(五经)的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙.已知购买3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元.
(1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元.
(2)学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共50本，其中《论语》不少于38本.正逢书店“优惠促销”，《论语》的单价打8折，《孟子》的单价优惠4元，如果此次学校购书的总费用不超过1 500元，那么有几种购买方案？
应用2 一元一次不等式组的应用
14. 科幻电影《流浪地球》的成功，标志着中国电影工业化迈向了新的台阶，某企业眼光独到，准备生产一批乐高模型投放市场，计划生产“笨笨”“MOSS”两种产品共100件，需购买价格为30元/千克的A种材料和价格为20元/千克的B种材料，通过调研，获得以下信息：
信息1：生产一件“笨笨”需A种材料4千克，B种材料1千克；
信息2：生产一件“MOSS”需A种材料3千克，B种材料4千克.
根据以上信息，解决下列问题：
现工厂用于购买A、B两种材料的资金不能超过15 000元，且生“MOSS”不少于30件，请问有哪几种符合条件的生产方案？
(2)在(1)的条件下，若生产一件“笨笨”需加工费60元，生产一件“MOSS”需加工费80元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成最低？
知识点3：第8章 整式乘法与因式分解
本章的主要内容是幂的运算、整式的乘(除)法运算、乘法公式，以及因式分解.本章的重点：整式的乘(除)法法则、乘法公式和因式分解.本章的难点：乘法公式的灵活运用、添括号法则及运用提公因式法和公式法进行因式分解.本章的热门考点可概括为：两个概念、两个运算、两个公式、两个应用、四个技巧和三种思想.
考点一：两个概念
概念1零次幂与负整数次幂
1.若(x＋2)0＝1，则x应满足的条件是 .
2.计算：(π－1)0＋(－2)－1＝
概念2因式分解
3.因式分解：a2＋ab＝ .
考点二：两个运算
运算1幂的运算法则及其逆用
4.已知10x＝5，10y＝6，求103x＋2y的值.
运算2整式的运算
5.计算：5ab2－{2a2b－[3a2b－ab(b－2a)]÷(－12ab)}.
考点三：两个公式
公式1完全平方公式
6.(1)已知3x2－2x－3＝0，求(x－1)2＋xx＋23的值.
(2)已知a＋b＝1，ab＝－12，求下列各式的值：
①a2＋b2； ②(a－2)(b－2)；③(a－b)2.
公式2平方差公式
7.下列运算正确的是( )
A.2x+3x=5x2 B.(-2x)3=-6x3 C. 2x3∙3x2=6x5 D.(3x+2)(2-3x)=9x2-4
8.利用因式分解进行计算：
(1)3.14×512－3.14×492；
(2)1-1221-1321-142×…×1-12 0242.
考点四：两个应用
应用1 应用因式分解解整除问题
9.对于任意自然数n，(n＋7)2－(n－3)2是否能被20整除？
应用2应用因式分解比较大小
10.若A＝67m－2，B＝m2－87m(m为任意实数)，试比较A与B的大小.
考点五：四个技巧
技巧1巧用乘法公式计算
11.已知m，n满足(m＋n)2＝169，(m－n)2＝9，求m2＋n2－mn的值.
技巧2分组后用提公因式法
12.分解因式：a2－ab＋ac－bc.
技巧3拆项后用公式法
13.阅读下面的材料：将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法，其实分解因式的方法还有拆项法，即将一个多项式的某一项拆成两项后可提公因式或运用公式继续分解的方法.如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1).
请你仿照以上方法分解因式：
(1)x2－6x－7； (2)a2＋4ab－5b2.
技巧4换元法
14.分解因式：(m2－2m－1)(m2－2m＋3)＋4.
考点六：三种思想
思想1整体思想
15.(1)已知2m－1＝2，求3＋4m的值；
已知x－y＝7，xy＝10，求x2＋y2的值.
思想2方程思想
16.若2×8m×16m＝229，则m的值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D.6
思想3分类讨论思想
17.(荣德原创题)阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②－1的奇数次幂都等于－1；③－1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1.
试根据以上材料探索使等式(2x＋3)x＋2 023＝1成立的x的值.
A.①③④⑤
B.②④⑤
C.①③
D.①②③④⑤
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