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沪教版七年级数学上学期重难点精品讲义 第8讲-一元一次不等式(原卷版+解析)
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这是一份沪教版七年级数学上学期重难点精品讲义 第8讲-一元一次不等式(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了5万元，乙种蔬菜每亩可收入0，4]=3，[-2，25，5≤x＜40，等内容，欢迎下载使用。
掌握不等式的基本性质并能正确运用它们将不等式变形；
理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法；
掌握解一元一次不等式的方法和步骤并准确地求出不等式的解集．
案例：猴子分桃
海滩上有一堆桃子，是两只猴子的共有财产，猴子性急，有时也很正直，第一只猴子来到海滩后想要取走自己的一份，于是便把桃子均分为两堆，发现还多一个，便把多余的一个扔进大海，取走自己应得的一份，第二只猴子来到海滩后也想取走自己的一份，猴子总归是猴子，它无法知道伙伴已取走一份，于是第二只猴子又把桃子均分为两堆，发现还多一个，便把多余的一个扔进大海，取走自己应得的一份，如果原有的桃子数不少于100，那么第一只猴子至少可以取走几个桃子呢？
例题1：若，用“＞”号或“＜”号填空：
， － －， ，
， _____ _____
试一试：（1）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得D．由，得
（2）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
例题2：解不等式：
试一试：解不等式：
例题3：解不等式，并把不等式的解集表示在数轴上。
试一试：解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来.
例题4：解不等式：
试一试：解不等式：
例题5：小丽带了30元钱去超市，准备买4支水笔和2本笔记本，小丽先选了每本4元的笔记本，那么她选的水笔单价不能超过多少元？
试一试：10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多能安排几个人种甲种蔬菜？
1．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（ ）
A．a-b＞0B．ac²＞bc²C．c-a＞c-bD．a+3＜b-3
2．下列说法中不正确的个数有（ ）
①有理数的倒数是
②绝对值相等的两个数互为相反数
③绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0
④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数
⑤若，则
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．，那么（ ）
A．B．C．D．无法确定
4．不等式的自然数解是_________．
5．一件商品的成本价是30元，若按标价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按标价的九折销售，可获得不足20%的利润，设这件商品的标价为元，则x的取值范围是______________
6．不等式组的解集是_______．
7．不等式的3x﹣6≤2+x非负整数解共有 ___．
8．解不等式：，并把它解集在数轴上表示出来．
9．小明早上七点骑自行车从家出发，以每小时18千米的速度到距家7千米的学校上课，行至距学校1千米的地方时，自行车突然发生故障，小明只得改为步行前往学校，如果他想在7点30分赶到学校，那么他每小时步行的速度至少是多少千米？
10．解不等式组：．
11．解不等式：．
12．解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
1．不等式的最小整数解是（ ）
A．B．3C．4D．5
2．若|m﹣1|+m＝1，则m一定（ ）
A．大于1B．小于1C．不小于1D．不大于1
3．如果、都是实数，且，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．不等式的非负整数解为__．
5．不等式的解集是__．
6．不超过数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]例如，[3.4]=3，[-2.1]=-3则满足关系式[=5的x的整数值有________
7．若不等式的最小整数解是，不等式的最大负整数解是，则_____．
8．解不等式组： 并把它的解集在数轴上表示出来
9．已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，将他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？
10．渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共4000尾，甲种鱼苗每尾0.6元，乙种鱼苗每尾0.8元．
(1)若购买这批鱼苗共用了2900元，甲乙两种鱼苗分别购买了多少尾？
(2)若要使这批鱼苗的费用不超过3000元，那么应至少购买多少尾甲种鱼苗？
11．在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款情况如下表：
小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息：
信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元；
信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元；
请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题：
(1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？
(2)六（2）班的学生数至少是多少人？
12．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．
班 级
人数
捐款总额（元）
人均捐款额（元）
（1）班
（2）班
合计
80
900
11.25
第8讲-一元一次方程
掌握不等式的基本性质并能正确运用它们将不等式变形；
理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法；
掌握解一元一次不等式的方法和步骤并准确地求出不等式的解集．
（此环节设计时间在10-15分钟）
案例：猴子分桃
海滩上有一堆桃子，是两只猴子的共有财产，猴子性急，有时也很正直，第一只猴子来到海滩后想要取走自己的一份，于是便把桃子均分为两堆，发现还多一个，便把多余的一个扔进大海，取走自己应得的一份，第二只猴子来到海滩后也想取走自己的一份，猴子总归是猴子，它无法知道伙伴已取走一份，于是第二只猴子又把桃子均分为两堆，发现还多一个，便把多余的一个扔进大海，取走自己应得的一份，如果原有的桃子数不少于100，那么第一只猴子至少可以取走几个桃子呢？
教法说明：让学生相互间交流讨论，根据案例的信息能否能列出不等式．
参考答案：
解：设第二只猴子取走x个桃子，则：
，最小取，那么第一次猴子取走
（此环节设计时间在50-60分钟）
例题1：若，用“＞”号或“＜”号填空：
， － －， ，
， _____ _____
教法说明：首先让学生回顾下不等式的三个基本性质：
性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等式的方向不变。即：
如果＞，那么＞；
如果＜，那么＜
性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
如果＞，且＞0，那么＞（或＞）
如果＜，且＞0，那么＜（或＜）
性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变，即：
如果＞，且＜0，那么＜（或＜）
如果＜，且＜0，那么＞（或＞）
性质2和性质3可简记为 ：负变正不变。
参考答案：＜、＞、＜、＞、＞、＜
试一试：（1）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得D．由，得
（2）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：（1）C （2）D
例题2：解不等式：
教法说明：首先让学生回顾下解一元一次方程的步骤，根据解一元一次方程的步骤归纳总结解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；化成＞（或）的形式（其中）；系数化为1。
参考答案：
试一试：解不等式：
参考答案：
例题3：解不等式，并把不等式的解集表示在数轴上。
试一试：解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来.
例题4：解不等式：
试一试：解不等式：
例题5：小丽带了30元钱去超市，准备买4支水笔和2本笔记本，小丽先选了每本4元的笔记本，那么她选的水笔单价不能超过多少元？
试一试：10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多能安排几个人种甲种蔬菜？
1．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（ ）
A．a-b＞0B．ac²＞bc²C．c-a＞c-bD．a+3＜b-3
【答案】A
【分析】
在不等式的两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变，在不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，在不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的基本性质逐一分析即可.
【详解】
解： a＞b，
故A符合题意；
a＞b，
当时， 故B不符合题意；
a＞b，
故C不符合题意；
a＞b，
故D不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查的是不等式的基本性质，掌握“不等式的基本性质”是解本题的关键.
2．下列说法中不正确的个数有（ ）
①有理数的倒数是
②绝对值相等的两个数互为相反数
③绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0
④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数
⑤若，则
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】
由倒数的定义可判断①，由绝对值的含义可判断②③，由有理数的乘法中积的符号确定方法可判断④，由不等式的基本性质可判断⑤，从而可得答案.
【详解】
解：因为 所以有理数的倒数是，故①正确；不符合题意
绝对值相等的两个数互为相反数或者相等，故②不正确；符合题意；
绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0，故③正确；不符合题意；
几个不为零有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数，若其中一个因数为0，则结果为0，故④不正确；符合题意；
若，则，故⑤正确；不符合题意；
所以②④符合题意
故选： B．
【点睛】
本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，有理数乘法中积的符号确定，不等式的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键.
3．，那么（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】D
【分析】
先两边除以，然后根据X的范围分类讨论即可
【详解】
解：把不等式两边同时除以，
得：，
∵当X>0时，Y>X；
当X<0时，Y∴无法判断X、Y的大小关系，
故选D．
【点睛】
本题考查了不等式的性质的应用，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
4．不等式的自然数解是_________．
【答案】0，1##1，0
【分析】
先求出不等式的解集，即可求解．
【详解】
解：，
∴ ，
解得：，
自然数的解是、．
故答案为：0；1
【点睛】
本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
5．一件商品的成本价是30元，若按标价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按标价的九折销售，可获得不足20%的利润，设这件商品的标价为元，则x的取值范围是______________
【答案】
【分析】
根据“八八折销售至少可获得10%的利润、九折销售可获得不足20%的利润”列不等式组求解可得．
【详解】
解：根据题意，得：
解得：37.5≤x＜40，
故答案为：37.5≤x＜40．
【点睛】
此题主要考查了一元一次不等式组的应用，关键是理解题意抓住题目中的关键语句，列出不等式组．此题用到的公式是：进价+利润=售价．
6．不等式组的解集是_______．
【答案】x＜﹣3
【分析】
根据求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）进行解答．
【详解】
解：根据“同小取小”，不等式组的解集是x＜﹣3．
故答案为：x＜﹣3．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解集．解题的关键是掌握一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
7．不等式的3x﹣6≤2+x非负整数解共有 ___．
【答案】5
【分析】
不等式移项、合并后，将x系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即可．
【详解】
3x﹣6≤2+x，
3x﹣x≤2+6，
2x≤8，
解得：x≤4，
则不等式的非负整数解为0，1，2，3，4共5个．
故答案为5．
【点睛】
此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算步骤是解本题的关键．
8．解不等式：，并把它解集在数轴上表示出来．
【答案】，图见解析
【分析】
先去分母，再移项、合并同类项、系数化为1，得到不等式的解集，然后利用数轴表示不等式的解集．
【详解】
，
去分母得：．
移项、合并同类项得：
系数化为1得：．
解集在数轴上表示如下：
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．也考查了数轴．
9．小明早上七点骑自行车从家出发，以每小时18千米的速度到距家7千米的学校上课，行至距学校1千米的地方时，自行车突然发生故障，小明只得改为步行前往学校，如果他想在7点30分赶到学校，那么他每小时步行的速度至少是多少千米？
【答案】小明每小时步行的速度至少是6千米．
【分析】
设小明步行的速度为x千米/时，利用路程=速度×时间，结合小明想在7点30分之前赶到学校，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】
解：设小明步行的速度为x千米/时，
依题意得：（7-1）+（-）x≥7，
解得：x≥6．
答：每小时步行的速度至少是6千米．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
10．解不等式组：．
【答案】
【分析】
先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．
【详解】
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
11．解不等式：．
【答案】
【分析】
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项可得．
【详解】
两边都乘以12，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1得，．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12．解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
【答案】﹣2＜x≤4，数轴见解析
【分析】
求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】
解：，
由①得，x＞﹣2；
由②得，x≤4，
故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤4．
在数轴上表示为：
．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
1．不等式的最小整数解是（ ）
A．B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】
先求出不等式解集，即可求解．
【详解】
解：
解得：
所以不等式的最小整数解是4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的解法，正确解不等式，求出解集是解决本题的关键．
2．若|m﹣1|+m＝1，则m一定（ ）
A．大于1B．小于1C．不小于1D．不大于1
【答案】D
【分析】
先将绝对值等式移项变形为|m﹣1|＝1 –m，利用绝对值的非负性质列不等式1 –m≥0，解不等式即可．
【详解】
解：∵|m﹣1|+m＝1，
∴|m﹣1|＝1 –m，
∵|m﹣1|≥0，
∴1 –m≥0，
∴m≤1．
故选择D．
【点睛】
本题考查绝对值的性质，列不等式与解不等式，掌握绝对值的性质，列不等式与解不等式方法是解题关键．
3．如果、都是实数，且，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据题意和不等式的性质，赋予特殊值，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】
解：、都是实数，且，
当为负数时，，故选项A错误；
，则，故选项B正确；
当，时，，故选项C错误；
，时，，故选项D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查不等式，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答．
4．不等式的非负整数解为__．
【答案】0，1
【分析】
根据不等式的性质进行解答即可得，再根据非负整数的定义“正整数和0统称为非负整数”即可得．
【详解】
解：，
，
，
，
所以不等式的非负整数解是0，1，
故答案为：0，1．
【点睛】
本题考查了解不等式，非负整数，解题的关键是掌握解不等式和非负整数的定义．
5．不等式的解集是__．
【答案】##
【分析】
移项合并化系数为1即可．
【详解】
．
移项合并同类项，得：．
化系数为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查一次不等式的解法，掌握一般步骤是关键，属于基础题．
6．不超过数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]例如，[3.4]=3，[-2.1]=-3则满足关系式[=5的x的整数值有________
【答案】8，9.
【分析】
根据题意可得：5≤<6得到关于x的不等式组，解这个不等式组就可解决问题．
【详解】
解：因为原方程即为[=5,
所以5≤<6，
所以，
解得：，
因为x是整数，
所以x=8， 9，
故答案为：8，9.
【点睛】
本题主要考查了取整计算,解不等式组等知识，理解[x]的含义是解决本题的关键．
7．若不等式的最小整数解是，不等式的最大负整数解是，则_____．
【答案】3
【分析】
根据不等求得的取值范围，从而可以得到、的值，进而求得的值．
【详解】
解：，
移项，得，
合并同类项，得，，
不等式的最小整数解是，
，
，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，，
不等式的最大负整数解是，
，
，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
8．解不等式组： 并把它的解集在数轴上表示出来
【答案】，数轴见解析
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，将他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？
【答案】147
【分析】
由12和8的最小公倍数为24，可设该校六年级学生有（24x+3）人，根据“该校六年级学生超过130人，而不足150人”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为正整数即可确定x的值，再将其代入（24x+3）中即可得出结论．
【详解】
解：∵12和8的最小公倍数为24，
∴设该校六年级学生有（24x+3）人．
依题意，得：，
解得：5＜x＜6．
又∵x为正整数，
∴x＝6，
∴24x+3＝147（人）．
答：该校六年级学生有147人．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组．解题的关键在于通过确定两数的最小公倍数得到数量关系，正确的列不等式组．
10．渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共4000尾，甲种鱼苗每尾0.6元，乙种鱼苗每尾0.8元．
(1)若购买这批鱼苗共用了2900元，甲乙两种鱼苗分别购买了多少尾？
(2)若要使这批鱼苗的费用不超过3000元，那么应至少购买多少尾甲种鱼苗？
【答案】(1)甲种鱼苗购买了1500尾，乙种鱼苗购买了2500尾
(2)应至少购买1000尾甲种鱼苗
【分析】
（1）设甲种鱼苗购买了尾，乙种鱼苗购买了尾，根据购买甲、乙两种鱼苗4000尾共用了2900元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买尾甲种鱼苗，则购买尾乙种鱼苗，根据总价单价数量，结合购买这批鱼苗的费用不超过3000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
(1)
设甲种鱼苗购买了尾，乙种鱼苗购买了尾，
依题意得：，
解得：．
答：甲种鱼苗购买了1500尾，乙种鱼苗购买了2500尾．
(2)
设购买尾甲种鱼苗，则购买尾乙种鱼苗，
依题意得：，
解得：．
答：应至少购买1000尾甲种鱼苗．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
11．在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款情况如下表：
小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息：
信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元；
信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元；
请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题：
(1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？
(2)六（2）班的学生数至少是多少人？
【答案】(1)六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元
(2)38人
【分析】
（1）设六（1）班的捐款额为元，从而可得六（2）班的捐款额为元，再根据合计总捐款额为900元建立方程，解方程即可得；
（2）先求出六（1）班学生数最多不超过42人，再根据合计的学生总人数即可得出答案．
(1)
解：设六（1）班的捐款额为元，则六（2）班的捐款额为元，
由题意得：，
解得，
则，
答：六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元；
(2)
解：因为六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元，
所以六（1）班学生数最多不超过（人），
所以六（2）班学生数至少是（人），
答：六（2）班的学生数至少是38人．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、不等式的应用，正确建立方程和理解不等式的概念是解题关键．
12．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．
【答案】﹣2＜x≤2，非负整数解为0，1，2．
【分析】
分别得出两个不等式的解集，找出两个解集的公共部分即可得不等式组的解集，进而可得不等式组的非负整数解．
【详解】
，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
∴非负整数解为0，1，2．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组，正确得出两个不等式的解集是解题关键．
班 级
人数
捐款总额（元）
人均捐款额（元）
（1）班
（2）班
合计
80
900
11.25
掌握不等式的基本性质并能正确运用它们将不等式变形；
理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法；
掌握解一元一次不等式的方法和步骤并准确地求出不等式的解集．
案例：猴子分桃
海滩上有一堆桃子，是两只猴子的共有财产，猴子性急，有时也很正直，第一只猴子来到海滩后想要取走自己的一份，于是便把桃子均分为两堆，发现还多一个，便把多余的一个扔进大海，取走自己应得的一份，第二只猴子来到海滩后也想取走自己的一份，猴子总归是猴子，它无法知道伙伴已取走一份，于是第二只猴子又把桃子均分为两堆，发现还多一个，便把多余的一个扔进大海，取走自己应得的一份，如果原有的桃子数不少于100，那么第一只猴子至少可以取走几个桃子呢？
例题1：若，用“＞”号或“＜”号填空：
， － －， ，
， _____ _____
试一试：（1）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得D．由，得
（2）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
例题2：解不等式：
试一试：解不等式：
例题3：解不等式，并把不等式的解集表示在数轴上。
试一试：解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来.
例题4：解不等式：
试一试：解不等式：
例题5：小丽带了30元钱去超市，准备买4支水笔和2本笔记本，小丽先选了每本4元的笔记本，那么她选的水笔单价不能超过多少元？
试一试：10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多能安排几个人种甲种蔬菜？
1．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（ ）
A．a-b＞0B．ac²＞bc²C．c-a＞c-bD．a+3＜b-3
2．下列说法中不正确的个数有（ ）
①有理数的倒数是
②绝对值相等的两个数互为相反数
③绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0
④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数
⑤若，则
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．，那么（ ）
A．B．C．D．无法确定
4．不等式的自然数解是_________．
5．一件商品的成本价是30元，若按标价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按标价的九折销售，可获得不足20%的利润，设这件商品的标价为元，则x的取值范围是______________
6．不等式组的解集是_______．
7．不等式的3x﹣6≤2+x非负整数解共有 ___．
8．解不等式：，并把它解集在数轴上表示出来．
9．小明早上七点骑自行车从家出发，以每小时18千米的速度到距家7千米的学校上课，行至距学校1千米的地方时，自行车突然发生故障，小明只得改为步行前往学校，如果他想在7点30分赶到学校，那么他每小时步行的速度至少是多少千米？
10．解不等式组：．
11．解不等式：．
12．解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
1．不等式的最小整数解是（ ）
A．B．3C．4D．5
2．若|m﹣1|+m＝1，则m一定（ ）
A．大于1B．小于1C．不小于1D．不大于1
3．如果、都是实数，且，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．不等式的非负整数解为__．
5．不等式的解集是__．
6．不超过数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]例如，[3.4]=3，[-2.1]=-3则满足关系式[=5的x的整数值有________
7．若不等式的最小整数解是，不等式的最大负整数解是，则_____．
8．解不等式组： 并把它的解集在数轴上表示出来
9．已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，将他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？
10．渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共4000尾，甲种鱼苗每尾0.6元，乙种鱼苗每尾0.8元．
(1)若购买这批鱼苗共用了2900元，甲乙两种鱼苗分别购买了多少尾？
(2)若要使这批鱼苗的费用不超过3000元，那么应至少购买多少尾甲种鱼苗？
11．在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款情况如下表：
小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息：
信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元；
信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元；
请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题：
(1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？
(2)六（2）班的学生数至少是多少人？
12．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．
班 级
人数
捐款总额（元）
人均捐款额（元）
（1）班
（2）班
合计
80
900
11.25
第8讲-一元一次方程
掌握不等式的基本性质并能正确运用它们将不等式变形；
理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法；
掌握解一元一次不等式的方法和步骤并准确地求出不等式的解集．
（此环节设计时间在10-15分钟）
案例：猴子分桃
海滩上有一堆桃子，是两只猴子的共有财产，猴子性急，有时也很正直，第一只猴子来到海滩后想要取走自己的一份，于是便把桃子均分为两堆，发现还多一个，便把多余的一个扔进大海，取走自己应得的一份，第二只猴子来到海滩后也想取走自己的一份，猴子总归是猴子，它无法知道伙伴已取走一份，于是第二只猴子又把桃子均分为两堆，发现还多一个，便把多余的一个扔进大海，取走自己应得的一份，如果原有的桃子数不少于100，那么第一只猴子至少可以取走几个桃子呢？
教法说明：让学生相互间交流讨论，根据案例的信息能否能列出不等式．
参考答案：
解：设第二只猴子取走x个桃子，则：
，最小取，那么第一次猴子取走
（此环节设计时间在50-60分钟）
例题1：若，用“＞”号或“＜”号填空：
， － －， ，
， _____ _____
教法说明：首先让学生回顾下不等式的三个基本性质：
性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等式的方向不变。即：
如果＞，那么＞；
如果＜，那么＜
性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
如果＞，且＞0，那么＞（或＞）
如果＜，且＞0，那么＜（或＜）
性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变，即：
如果＞，且＜0，那么＜（或＜）
如果＜，且＜0，那么＞（或＞）
性质2和性质3可简记为 ：负变正不变。
参考答案：＜、＞、＜、＞、＞、＜
试一试：（1）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得D．由，得
（2）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：（1）C （2）D
例题2：解不等式：
教法说明：首先让学生回顾下解一元一次方程的步骤，根据解一元一次方程的步骤归纳总结解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；化成＞（或）的形式（其中）；系数化为1。
参考答案：
试一试：解不等式：
参考答案：
例题3：解不等式，并把不等式的解集表示在数轴上。
试一试：解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来.
例题4：解不等式：
试一试：解不等式：
例题5：小丽带了30元钱去超市，准备买4支水笔和2本笔记本，小丽先选了每本4元的笔记本，那么她选的水笔单价不能超过多少元？
试一试：10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多能安排几个人种甲种蔬菜？
1．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（ ）
A．a-b＞0B．ac²＞bc²C．c-a＞c-bD．a+3＜b-3
【答案】A
【分析】
在不等式的两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变，在不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，在不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的基本性质逐一分析即可.
【详解】
解： a＞b，
故A符合题意；
a＞b，
当时， 故B不符合题意；
a＞b，
故C不符合题意；
a＞b，
故D不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查的是不等式的基本性质，掌握“不等式的基本性质”是解本题的关键.
2．下列说法中不正确的个数有（ ）
①有理数的倒数是
②绝对值相等的两个数互为相反数
③绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0
④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数
⑤若，则
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】
由倒数的定义可判断①，由绝对值的含义可判断②③，由有理数的乘法中积的符号确定方法可判断④，由不等式的基本性质可判断⑤，从而可得答案.
【详解】
解：因为 所以有理数的倒数是，故①正确；不符合题意
绝对值相等的两个数互为相反数或者相等，故②不正确；符合题意；
绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0，故③正确；不符合题意；
几个不为零有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数，若其中一个因数为0，则结果为0，故④不正确；符合题意；
若，则，故⑤正确；不符合题意；
所以②④符合题意
故选： B．
【点睛】
本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，有理数乘法中积的符号确定，不等式的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键.
3．，那么（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】D
【分析】
先两边除以，然后根据X的范围分类讨论即可
【详解】
解：把不等式两边同时除以，
得：，
∵当X>0时，Y>X；
当X<0时，Y
故选D．
【点睛】
本题考查了不等式的性质的应用，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
4．不等式的自然数解是_________．
【答案】0，1##1，0
【分析】
先求出不等式的解集，即可求解．
【详解】
解：，
∴ ，
解得：，
自然数的解是、．
故答案为：0；1
【点睛】
本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
5．一件商品的成本价是30元，若按标价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按标价的九折销售，可获得不足20%的利润，设这件商品的标价为元，则x的取值范围是______________
【答案】
【分析】
根据“八八折销售至少可获得10%的利润、九折销售可获得不足20%的利润”列不等式组求解可得．
【详解】
解：根据题意，得：
解得：37.5≤x＜40，
故答案为：37.5≤x＜40．
【点睛】
此题主要考查了一元一次不等式组的应用，关键是理解题意抓住题目中的关键语句，列出不等式组．此题用到的公式是：进价+利润=售价．
6．不等式组的解集是_______．
【答案】x＜﹣3
【分析】
根据求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）进行解答．
【详解】
解：根据“同小取小”，不等式组的解集是x＜﹣3．
故答案为：x＜﹣3．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解集．解题的关键是掌握一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
7．不等式的3x﹣6≤2+x非负整数解共有 ___．
【答案】5
【分析】
不等式移项、合并后，将x系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即可．
【详解】
3x﹣6≤2+x，
3x﹣x≤2+6，
2x≤8，
解得：x≤4，
则不等式的非负整数解为0，1，2，3，4共5个．
故答案为5．
【点睛】
此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算步骤是解本题的关键．
8．解不等式：，并把它解集在数轴上表示出来．
【答案】，图见解析
【分析】
先去分母，再移项、合并同类项、系数化为1，得到不等式的解集，然后利用数轴表示不等式的解集．
【详解】
，
去分母得：．
移项、合并同类项得：
系数化为1得：．
解集在数轴上表示如下：
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．也考查了数轴．
9．小明早上七点骑自行车从家出发，以每小时18千米的速度到距家7千米的学校上课，行至距学校1千米的地方时，自行车突然发生故障，小明只得改为步行前往学校，如果他想在7点30分赶到学校，那么他每小时步行的速度至少是多少千米？
【答案】小明每小时步行的速度至少是6千米．
【分析】
设小明步行的速度为x千米/时，利用路程=速度×时间，结合小明想在7点30分之前赶到学校，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】
解：设小明步行的速度为x千米/时，
依题意得：（7-1）+（-）x≥7，
解得：x≥6．
答：每小时步行的速度至少是6千米．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
10．解不等式组：．
【答案】
【分析】
先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．
【详解】
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
11．解不等式：．
【答案】
【分析】
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项可得．
【详解】
两边都乘以12，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1得，．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12．解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
【答案】﹣2＜x≤4，数轴见解析
【分析】
求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】
解：，
由①得，x＞﹣2；
由②得，x≤4，
故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤4．
在数轴上表示为：
．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
1．不等式的最小整数解是（ ）
A．B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】
先求出不等式解集，即可求解．
【详解】
解：
解得：
所以不等式的最小整数解是4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的解法，正确解不等式，求出解集是解决本题的关键．
2．若|m﹣1|+m＝1，则m一定（ ）
A．大于1B．小于1C．不小于1D．不大于1
【答案】D
【分析】
先将绝对值等式移项变形为|m﹣1|＝1 –m，利用绝对值的非负性质列不等式1 –m≥0，解不等式即可．
【详解】
解：∵|m﹣1|+m＝1，
∴|m﹣1|＝1 –m，
∵|m﹣1|≥0，
∴1 –m≥0，
∴m≤1．
故选择D．
【点睛】
本题考查绝对值的性质，列不等式与解不等式，掌握绝对值的性质，列不等式与解不等式方法是解题关键．
3．如果、都是实数，且，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据题意和不等式的性质，赋予特殊值，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】
解：、都是实数，且，
当为负数时，，故选项A错误；
，则，故选项B正确；
当，时，，故选项C错误；
，时，，故选项D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查不等式，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答．
4．不等式的非负整数解为__．
【答案】0，1
【分析】
根据不等式的性质进行解答即可得，再根据非负整数的定义“正整数和0统称为非负整数”即可得．
【详解】
解：，
，
，
，
所以不等式的非负整数解是0，1，
故答案为：0，1．
【点睛】
本题考查了解不等式，非负整数，解题的关键是掌握解不等式和非负整数的定义．
5．不等式的解集是__．
【答案】##
【分析】
移项合并化系数为1即可．
【详解】
．
移项合并同类项，得：．
化系数为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查一次不等式的解法，掌握一般步骤是关键，属于基础题．
6．不超过数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]例如，[3.4]=3，[-2.1]=-3则满足关系式[=5的x的整数值有________
【答案】8，9.
【分析】
根据题意可得：5≤<6得到关于x的不等式组，解这个不等式组就可解决问题．
【详解】
解：因为原方程即为[=5,
所以5≤<6，
所以，
解得：，
因为x是整数，
所以x=8， 9，
故答案为：8，9.
【点睛】
本题主要考查了取整计算,解不等式组等知识，理解[x]的含义是解决本题的关键．
7．若不等式的最小整数解是，不等式的最大负整数解是，则_____．
【答案】3
【分析】
根据不等求得的取值范围，从而可以得到、的值，进而求得的值．
【详解】
解：，
移项，得，
合并同类项，得，，
不等式的最小整数解是，
，
，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，，
不等式的最大负整数解是，
，
，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
8．解不等式组： 并把它的解集在数轴上表示出来
【答案】，数轴见解析
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，将他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？
【答案】147
【分析】
由12和8的最小公倍数为24，可设该校六年级学生有（24x+3）人，根据“该校六年级学生超过130人，而不足150人”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为正整数即可确定x的值，再将其代入（24x+3）中即可得出结论．
【详解】
解：∵12和8的最小公倍数为24，
∴设该校六年级学生有（24x+3）人．
依题意，得：，
解得：5＜x＜6．
又∵x为正整数，
∴x＝6，
∴24x+3＝147（人）．
答：该校六年级学生有147人．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组．解题的关键在于通过确定两数的最小公倍数得到数量关系，正确的列不等式组．
10．渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共4000尾，甲种鱼苗每尾0.6元，乙种鱼苗每尾0.8元．
(1)若购买这批鱼苗共用了2900元，甲乙两种鱼苗分别购买了多少尾？
(2)若要使这批鱼苗的费用不超过3000元，那么应至少购买多少尾甲种鱼苗？
【答案】(1)甲种鱼苗购买了1500尾，乙种鱼苗购买了2500尾
(2)应至少购买1000尾甲种鱼苗
【分析】
（1）设甲种鱼苗购买了尾，乙种鱼苗购买了尾，根据购买甲、乙两种鱼苗4000尾共用了2900元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买尾甲种鱼苗，则购买尾乙种鱼苗，根据总价单价数量，结合购买这批鱼苗的费用不超过3000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
(1)
设甲种鱼苗购买了尾，乙种鱼苗购买了尾，
依题意得：，
解得：．
答：甲种鱼苗购买了1500尾，乙种鱼苗购买了2500尾．
(2)
设购买尾甲种鱼苗，则购买尾乙种鱼苗，
依题意得：，
解得：．
答：应至少购买1000尾甲种鱼苗．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
11．在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款情况如下表：
小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息：
信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元；
信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元；
请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题：
(1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？
(2)六（2）班的学生数至少是多少人？
【答案】(1)六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元
(2)38人
【分析】
（1）设六（1）班的捐款额为元，从而可得六（2）班的捐款额为元，再根据合计总捐款额为900元建立方程，解方程即可得；
（2）先求出六（1）班学生数最多不超过42人，再根据合计的学生总人数即可得出答案．
(1)
解：设六（1）班的捐款额为元，则六（2）班的捐款额为元，
由题意得：，
解得，
则，
答：六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元；
(2)
解：因为六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元，
所以六（1）班学生数最多不超过（人），
所以六（2）班学生数至少是（人），
答：六（2）班的学生数至少是38人．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、不等式的应用，正确建立方程和理解不等式的概念是解题关键．
12．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．
【答案】﹣2＜x≤2，非负整数解为0，1，2．
【分析】
分别得出两个不等式的解集，找出两个解集的公共部分即可得不等式组的解集，进而可得不等式组的非负整数解．
【详解】
，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
∴非负整数解为0，1，2．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组，正确得出两个不等式的解集是解题关键．
班 级
人数
捐款总额（元）
人均捐款额（元）
（1）班
（2）班
合计
80
900
11.25
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