第16章 相交线与平行线 期中核心考点复习讲义（原卷版+解析版）-沪教版五四制初中数学七下

这是一份第16章 相交线与平行线 期中核心考点复习讲义（原卷版+解析版）-沪教版五四制初中数学七下，共7页。
A．过直线外一点可作两条直线与已知直线平行
B．直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离
C．过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条
D．如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行
【例1-2】下列图中，和是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【例1-3】如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．与是同位角B．与是同位角
C．与是内错角D．与是同旁内角
【例1-4】（24-25七年级下·上海青浦·期末）用反证法证明“已知：在中，，求证：”时，应先假设（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（ ）
A．线段的长度B．线段的长度
C．线段的长度D．线段的长度
【变式1-2】如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（ ）
A．垂线段相等
B．两点确定一条直线
C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条
D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
【变式1-3】已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是______．
【变式1-4】如图，的同位角是______；的内错角是______；的同旁内角是______．（每空各填一个符合要求的角）
【变式1-5】（24-25七年级下·上海松江·月考）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么．
证明：假设 ，那么它们相交于一点．
因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以．
题型二 相交线角度计算（填空/解答，高频）
【例2-1】如图，，与的度数之比为，则____．
【例2-2】如图，直线、相交于点，平分，且，那么______
【例2-3】如图，直线与相交于点，平分，．已知，求的度数．

【变式3-1】已知与是对顶角，且与互余，那么______．
【变式3-2】如图，，，，则______．
【变式3-3】如图，直线相交于点，，平分，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
题型三 平行线角度计算（含拐点）（填空/解答，高频）
【例3-1】如图，平分，，且，则____°．
【例3-2】如图，直线，点、、分别在直线、、上，若，，则______．
【例3-3】如图，已知，，，那么__________．
【例3-4】如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？
【变式3-1】如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则_____．
【变式3-2】如图，，，用和表示，_______．
【变式3-3】如图，已知，求的度数．
【变式3-4】如图，在四边形中，，平分，E是上一点，交于点F．

(1)求的大小；
(2)若，求的大小．
题型四 平行线的判定与证明（解答，核心）
【例4-1】如图，已知，平分，平分，求证：．
【例4-2】完成下列证明：
已知：，，求证：．
证明：① ，
又，
∴，
② ③ ．
∴④ ⑤ ．
（已知），
∴．
⑥ ．
【例4-3】如图，直线与直线分别相交于点．
请你从①；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明．
你选择作为已知条件的是：_______，作为结论的是_______．（填序号）
证明：
【变式4-1】如图，点P在上，已知，，请说明的理由．
【变式4-2】如图，已知，垂足为点，，，求证：．
证明：，
__________（ ），
，
，
（______），
（______），
，
．
____________（______）
（______）
【变式4-3】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线和直线被直线所截，，求证：．
证明：，
______
，
____________．
即______．
______
【变式4-4】（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，直线交线段的延长线于点M，按下列步骤完成证明：．
步骤一、
假设，则______（______）
∵，
∴________
∴________________
这与________矛盾，
即不等于．
步骤二、（请自己写出后面的证明过程）
题型五 综合探究题（压轴）
【例5-1】如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，，如图2，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．
(1)当为______度时，，并在图3中画出相应的图形；
(2)如图4，在旋转过程中，当时，试探究与之间的数量关系；
(3)若旋转速度为/秒，当它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值．
【例5-2】
同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由．
【实际运用】
（2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°．
【深入探索】
（3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值．
【变式5-1】根据表格中的素材，探索并在表格中完成任务．
【变式5-2】【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系；
（3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值．
【变式5-3】自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即且．
(1)填空： °；
(2)如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与交于点．在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒．
①当时，则 °， （用含t的式子表示）．
②当灯A转动 秒时，两灯的光束可以互相平行？
如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，过C作交于点D，且，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
项目主题
设计躺椅
设计背景
如图①，某家居制品工作室新设计了一款智能躺椅，可以根据人的坐姿自动调节椅背与腿托，使舒适感得到最大化，且该椅子的椅面始终与地面保持平行．
素材
如图②，已知在初始状态下，椅面平行于地面，腿托垂直于椅面，椅面与椅背所构成的此椅子可以通过开关分别调整椅背与腿托的角度，以达到舒适程度．已知在调整过程中，椅背以每秒顺时针转动，腿托以每秒顺时针转动．
任务一
如图③，在初始状态下仅调整腿托，使得腿托与椅背平行，请你在图③中画出此时拨托所在的直线，并求出腿托与椅面所形成的的度数；
任务二
如图④，在初始状态下仅调整椅背，将椅背转动，连接，此时测得，求的度数；
任务三
如图⑤，在初始状态下同时调整腿托与椅背，根据人体工学原理，当腿托与椅背平行时，舒适度更佳，求将椅子调整到该状态下，需要多长时间？