2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-函数的公切线问题（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-函数的公切线问题（Word版解析版），共10页。试卷主要包含了直线l，若曲线C1，已知曲线C1等内容，欢迎下载使用。
1.若直线l是曲线y＝ex－1与y＝ex－1的公切线，则直线l的方程为( )
A.y＝x－1B.y＝x
C.y＝x＋1D.y＝ex
解析：选B.由y＝ex－1，得y'＝ex－1，由y＝ex－1，得y'＝ex.
设直线l与曲线y＝ex－1切于点(x1，ex1－1)，与曲线y＝ex－1切于点(x2，ex2－1)，
则ex1－1＝ex2①，又ex2−1−ex1−1x2−x1＝ex2②，
由方程①②解得x1＝1，x2＝0，所以直线l过点1，1，斜率为1，即l的方程为y＝x.
2.直线l：y＝kx＋b是曲线y＝ln x和y＝ex－2的公切线，则k＋b＝( )
A.－1eB.0
C.0或1eD.1e
解析：选C.对于y＝ln x，设切点为x1，ln x1，求导得y'＝1x，
则在该点处的斜率为k＝1x1，则切线方程为：y－ln x1＝1x1(x－x1)，即y＝1x1x＋ln x1－1，
对于y＝ex－2，设切点为x2，ex2−2，求导得y'＝ex－2，
则在该点处的斜率为k＝ex2－2，
则切线方程为y－ex2−2＝ex2－2x－x2，即y＝ex2－2x＋1－x2ex2−2，
因为l：y＝kx＋b是公切线，
所以1x1＝ex2−2，ln x1－1=1－x2ex2−2，即x1＝e2−x2，
所以ln e2−x2－1＝1－x2ex2−2，即1－x2＝1－x2ex2−2，所以(1－x2)(ex2−2－1)＝0，
即1－x2＝0或x2－2＝0，解得x2＝1或x2＝2，
当x2＝1时，此时k＝ex2−2＝1e，b＝1－x2ex2−2＝0，
所以k＋b＝1e，
当x2＝2时，此时k＝ex2−2＝1，b＝1－x2ex2−2＝－1，
所以k＋b＝0，
所以k＋b＝0或1e.
3.已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为( )
A.3B.2
C.1D.0
解析：选A.设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点m，fm，n，gn，f'(x)＝2x－4，g'x＝－x－2，g'n＝f'm＝gn−fmn−m，解得m＝－n−22＋2，代入化简得8n3－8n2＋1＝0，构造函数f(x)＝8x3－8x2＋1，f'(x)＝8x3x－2，原函数在－∞，0上单调递增，在0，23上单调递减，在23，＋∞上单调递增，极大值f0＞0，极小值f23＜0，
故函数图象和x轴有交3个点，方程8n3－8n2＋1＝0有三解，故切线有3条.
4.已知函数f(x)＝x3－x＋a的图象关于原点对称，则与曲线y＝f(x)和y＝x2＋14均相切的直线l有( )
A.1条B.2条
C.3条D.4条
解析：选C.函数f(x)＝x3－x＋a的图象关于原点对称，则有f－x＝－f(x)，
即－x3－－x＋a＝－x3－x＋a，解得a＝0，所以f(x)＝x3－x，
由f'(x)＝3x2－1，所以y＝f(x)在点x1，fx1处的切线方程为y－x13－x1＝3x12－1x－x1，整理得y＝3x12－1x－2x13.
设g(x)＝x2＋14，直线l与g(x)的图象相切于点x2，gx2，
因为g'x＝2x，
所以切线方程为y－x22＋14＝2x2x－x2，整理得y＝2x2x－x22＋14，则3x12－1=2x2，－2x13＝－x22＋14，(*)
整理得3x122－122－2x13－14＝94x14－2x13－32x12＝x1249x12－8x1－6＝0，
当9x12－8x1－6＝0时，Δ＝82＋4×9×6＞0，方程有两个非零实数根，
x1＝0也满足方程，故x1有3个解，
所以方程组(*)有3组解，故满足题中条件的直线l有3条.
5.若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝exa(a＞0)存在公共切线，则实数a的取值范围为( )
A.(0，1)B.1，e24
C.e24，2D.e24，＋∞
解析：选D.由y＝x2得y'＝2x，曲线y＝x2在点m，m2处的切线斜率为2m，
由y＝exa(a＞0)得y'＝exa在点n，1aen处的切线斜率为1aen，
如果两条曲线存在公共切线，那么2m＝1aenm≠0.
又由斜率公式可得2m＝m2−1aenm−n，由此得到m＝2n－2，则4n－4＝1aen有解，
所以直线y＝4x－4与函数y＝1aex的图象有交点即可.
当直线y＝4x－4与函数y＝1aex的图象相切时，
设切点为(s，t)，则1aes＝4，且t＝4s－4＝1aes，得s＝2，t＝4，即有切点(2，4)，此时a＝e24，
故实数a的取值范围是e24，＋∞.
6.已知曲线y＝x在点(x0，x0)(0＜x0＜14)处的切线也与曲线y＝ex相切，则x0所在的区间是( )
A.0，14e4B.14e4，14e2
C.14e2，14eD.14e，14
解析：选C.设该切线为l，对y＝x求导得y'＝12x，
所以l的方程为y－x0＝12x0x－x0，即y＝12x0x＋x02.
设l与曲线y＝ex相切的切点为m，em，
则l的方程又可以写为y－em＝emx－m，即y＝emx＋1－mem.
所以em＝12x0，x02＝1－mem.
消去m，可得x0＝1＋ln(2x0)，0＜x0＜14，
令t＝2x0∈0，1，则ln t－t24＋1＝0.
设ht＝ln t－24＋1，
当0＜t＜1时，h't＝1t－t2＞0，
所以ht在0，1上单调递增，
又h1e＝－14e2＜0，h1e＝12－14e＞0，
所以t0＝2x0∈1e，1e，所以x0∈14e2，14e.
7.若直线l与曲线y＝ex相切，切点为M(x1，y1)，与曲线y＝x+32也相切，切点为Nx2，y2，则2x1－x2的值为( )
A.－2B.－1
C.0D.1
解析：选B.因为直线l与曲线y＝ex相切，切点为Mx1，y1，
可知直线l的方程为y＝ex1x－x1＋ex1＝ex1x＋(1－x1)ex1，
又直线l与曲线y＝x+32也相切，切点为Nx2，y2，
可知直线l的方程为y＝2x2+3x－x2＋x2+32＝2x2+3x－x22＋9，
所以ex1=2x2+3，1－x1ex1＝－x22+9，两式相除，可得21－x1＝3－x2，所以2x1－x2＝－1.
8.已知曲线y＝x3－x＋2的切线与曲线y＝ln(x＋1)－a也相切，若该切线过原点，则a＝ .
解析：因为y＝x3－x＋2的导数为y'＝3x2－1，设切点为x1，y1，
所以切线斜率为k＝3x12－1，
所以曲线y＝x3－x＋2在(x1，x13－x1＋2)处的切线过原点，所以k＝3x12－1＝x13−x1+2x1，即x1＝1，所以k＝2，切线为y＝2x，
又切线y＝2x与曲线y＝ln(x＋1)－a相切，设切点为x0，y0，
因为y'＝1x+1，所以切线斜率为k＝1x0+1＝2，解得x0＝－12，
所以y0＝2x0＝－1，则－1＝ln(－12＋1)－a，解得a＝1－ln 2.
答案：1－ln 2
9.已知曲线C1：y＝ex+a-2，C2：y＝x2，若有且仅有一条直线l同时与C1，C2都相切，则a＝ .
解析：设直线l与曲线C1相切于点x0，ex0+a−2.
因为ex+a−2'＝ex+a-2，所以直线l的斜率为ex0+a−2.
所以直线l的方程为y－ex0+a−2＝ex0+a+2x－x0.
联立y＝x2，整理得x2－ex0＋a－2x－1－x0ex0+a−2＝0，
所以Δ＝－ex0+a−22＋41－x0ex0+a−2＝0.
所以ex0+a−2－4x0＋4＝0有唯一解.
设f(x)＝ex+a-2－4x＋4，则f(x)有唯一零点.
又f'(x)＝ex+a-2－4单调递增，
令f'(x)＝0，得x＝ln 4＋2－a，
x∈－∞，ln4+2－a，f'(x)＜0，f(x)单调递减；x∈ln4+2－a，＋∞，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
f(x)在x＝ln 4＋2－a处取得唯一极小值，
则fln4+2－a＝4－4ln4+2－a＋4＝0，解得a＝ln 4.
答案：ln 4
10.试写出曲线y＝2ex与曲线y＝2ln(x＋2)的一条公切线方程 .
解析：设公切线l与曲线y＝2ex切于点Ax1，2ex1，
与曲线y＝2lnx+2切于点B(x2，2ln(x2＋2)).
由y＝2ex，得y'＝2ex.
由y＝2lnx+2，得y'＝2x+2.
令2ex1＝2x2+2，即ex1＝1x2+2，则x2＋2＝e−x1，且2lnx2+2−2ex1x2−x1＝2ex1，
即2lnx2+2－2ex1＝2ex1x2－x1，
化为ln e−x1－ex1＝ex1e−x1－2－x1，
所以x1+1ex1－1＝0，解得x1＝－1或x1＝0.
当x1＝－1时，k＝2e，A－1，2e，
此时切线l的方程为y－2e＝2ex+1，即y＝2ex＋4e.
当x1＝0时，k＝2，A0，2，
此时切线l的方程为y－2＝2x－0，即y＝2x＋2.
综上可知，切线l的方程为y＝2ex＋4e或y＝2x＋2，写出任意一个即可.
答案：y＝2ex＋4e或y＝2x＋2(写出一个即可)