2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-函数的极值与最值（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-函数的极值与最值（Word版解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1.已知函数y＝f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，那么对于函数y＝f(x)，下列说法正确的是( )
A.在－∞，－1上单调递增
B.在1，＋∞上单调递减
C.在x＝1处取得最大值
D.在x＝2处取得极大值
解析：选D.由导函数图象可知，当x＜－1或x＞2时，f'(x)＜0，当－1＜x＜2时，f'(x)≥0，所以f(x)在－∞，－1，2，＋∞上单调递减，在－1，2上单调递增，故选项A，B错误；
在x＝2处取得极大值，且f1＜f2，故C错误，D正确.
2.已知函数f(x)＝ex－ex，则f(x)( )
A.有最小值1，无最大值B.有最大值1，无最小值
C.有最小值0，无最大值D.有最大值0，无最小值
解析：选C.因为f(x)＝ex－ex，所以f'(x)＝ex－e.
当x∈－∞，1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈1，＋∞时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，
故f(x)的最小值为f1＝0，无最大值.
3.(2025·广东汕头一模)设a∈R，若函数f(x)＝23x3－a2x2＋x＋2在1，2内存在极值点，则a的取值范围是( )
A.3，92B.3，92
C.－∞，3D.92，＋∞
解析：选B.依题意，f'(x)＝2x2－ax＋1在1，2内存在变号零点，即方程2x2－ax＋1＝0在(1，2)内有解，也就是a＝2x＋1x在(1，2)内有解.令g(x)＝2x＋1x，对g(x)求导得g'(x)＝2－1x2＞0在(1，2)内恒成立，所以g(x)在(1，2)上单调递增，g(1)＝3，g(2)＝92，所以a的取值范围是(3，92).
4.(2025·河北张家口二模)已知正三棱柱的表面积为63，则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为( )
A.3B.233C.433D.524
解析：选B.设正三棱柱的底面边长为a，高为h，
则其表面积S＝2×34a2＋3ah＝63，得h＝12−a223a，又h＞0，所以0＜a＜23，
故正三棱柱的体积V＝34a2h＝12a−a38，
则V'a＝32－38a2，当0＜a＜2时，V'a＞0，Va单调递增，
当2＜a＜23时，V'a＜0，Va单调递减，
所以当a＝2时，该正三棱柱体积取得最大值，此时三棱柱的高为233.
5.(2025·陕西榆林二模)已知正实数a，b满足a－2ln a＝2ln b－4b＋4，则lgab＝( )
A.12B.22C.－1D.－12
解析：选C.由a－2ln a＝2ln b－4b＋4，得a2＋2b－2＝ln a＋ln b＝lnab.
因为a，b均为正实数，所以a2＋2b≥2ab(当且仅当a2＝2b，即a＝4b时取等号)，
所以lnab≥2ab－2，即ln ab≥ab－1.
令f(x)＝ln x－x＋1，则f'(x)＝1－xx，
当0＜x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
当x＞1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，
故当x＝1时，f(x)max＝ln 1－1＋1＝0，即f(x)＝ln x－x＋1≤0(当且仅当x＝1时取等号)，
因此ln ab－ab＋1≤0，即ln ab≤ab－1.
由ln ab≥ab－1和ln ab≤ab－1可得ln ab＝ab－1，
则有a=4b，ab=1，解得a=2，b＝12，所以lgab＝lg212＝－1.
二、多选题
6.(2025·浙江杭州二模)设函数f(x)＝(x3－x)ln x，则( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)≥0
C.f(x)在区间0，1上单调递增
D.x＝1为f(x)的极小值点
解析：选BD.对于A，f(x)的定义域为0，＋∞，故f(x)为非奇非偶函数，故A错误；
对于B，由于f(x)＝x3－xln x＝x(x＋1)(x－1)ln x，且x＞0，故x＋1＞0，
当x＞1时，ln x＞0，此时f(x)＞0，当0＜x＜1时，ln x＜0，此时f(x)＞0，当x＝1时，f(x)＝0，因此f(x)≥0，故B正确；
对于C，f'(x)＝3x2－1ln x＋x2－1，当x∈(33，1)时，3x2－1＞0，ln x＜0，x2－1＜0，此时f'(x)＜0，因此f(x)在(33，1)单调递减，故C错误.
对于D，f'(x)＝3x2－1ln x＋x2－1，当x＞1时，3x2－1＞0，ln x＞0，x2－1＞0，故f'(x)＞0，当x∈(33，1)时，3x2－1＞0，ln x＜0，x2－1＜0，此时f'(x)＜0，因此f(x)在33，1单调递减，在1，＋∞单调递增，x＝1为f(x)的极小值点，故D正确.
7.(2025·山东济宁二模)已知函数f(x)＝cs x－sincsx－1，则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于y轴对称
B.2π是f(x)的一个周期
C.f(x)在0，π上为增函数
D.f(x)＜－22
解析：选ABD.对于A，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f－x＝cs－x－sincs－x－1＝cs x－sincsx－1＝f(x)，所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确；
对于B，fx+2π＝csx+2π－sin(cs(x＋2π))－1＝cs x－sincsx－1＝f(x)，所以f(x)的一个周期是2π，故B正确；
对于D，因为－1≤cs x≤1，令t＝cs x，则y＝t－sin t－1，求导得y'＝1－cs t，由于cs t∈－1，1，所以y'＝1－cs t≥0，y＝t－sin t－1单调递增.当t＝1时，y取得最大值1－sin 1－1＝－sin 1；当t＝－1时，y取得最小值－1－sin－1－1＝sin 1－2.因为sin 1＞sinπ4＝22，所以－sin 1＜－sinπ4＝－22，即f(x)＜－22，故D正确；
对于C，令t＝cs x，当x∈0，π时，t＝cs x在0，π上单调递减，又y＝t－sin t－1单调递增，根据复合函数单调性，所以f(x)＝cs x－sincsx－1在0，π上单调递减，故C错误.
三、填空题
8.(2025·陕西安康三模)函数f(x)＝x2(ln x－1)的最小值为 .
解析：f'(x)＝2xlnx－1＋x＝x2lnx－1，x＞0，
令f'(x)＝0，得x＝e，
当0＜x＜e时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，
当x＞e时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，
所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值－e2.
答案：－e2
9.(2025·天津河东二模)设函数f(x)＝x＋ln x，g(x)＝x＋ex，若存在x1，x2，使得g(x1)＝f(x2)，则｜x1－x2｜的最小值为 .
解析：因为g(x)＝x＋ex，所以g'(x)＝1＋ex＞0恒成立，
所以g(x)＝x＋ex在R上单调递增，
又因为f(x)＝x＋ln x＝eln x＋ln x＝glnx，且存在x1，x2，使得g(x1)＝f(x2)＝gln x2，所以x1＝ln x2，
所以x1－x2＝ln x2－x2，
令hx＝ln x－x＋1x＞0，则h'x＝1x－1＝1−xx，
当0＜x＜1时，h'x＞0，hx单调递增；
当x＞1时，h'x＜0，hx单调递减，
所以hx≤h1＝0，所以ln x≤x－1，即x－ln x≥1，当x＝1时取等号.
所以x1－x2＝ln x2－x2＝x2－ln x2＝x2－ln x2≥1(当x2＝1时取等号，此时x1＝0，gx1＝fx2＝1满足题意)，所以｜x1－x2｜的最小值为1.
答案：1
四、解答题
10.(2025·甘肃白银二模)已知函数f(x)＝aln x＋x2－4xa＞0，函数f(x)的导函数为f'(x).
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)的斜率为－1的切线方程；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋f'(x)的极小值大于0，求a的取值范围.
解：(1)当a＝1时，f'(x)＝1x＋2x－4，
令f'(x)＝－1，
化简得2x2－3x＋1＝0，解得x＝1或x＝12.
当切点为1，f1时，所求切线方程为y－f1＝－x－1，即x＋y＋2＝0；
当切点为12，f12时，所求切线方程为y－f12＝－x－12，即x＋y＋54＋ln 2＝0.
(2)f'(x)＝ax＋2x－4，g(x)＝f(x)＋f'(x)＝aln x＋x2－2x＋ax－4，
g'x＝ax＋2x－2－ax2＝x−12x2+ax2，
因为a＞0，所以2x2＋a＞0，当0＜x＜1时，g'x＜0，g(x)单调递减；
当x＞1时，g'x＞0，g(x)单调递增.因此，当x＝1时，g(x)有极小值.
由题意，g1＝－1＋a－4＞0⇒a＞5，则a＞5.
11.(2025·云南红河三模)已知函数f(x)＝2lnxx＋1.
(1)求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值；
(3)设t＞0，求函数f(x)在区间t，2t上的最大值.
解：(1)函数f(x)的定义域为0，＋∞，
由f'(x)＝2−2lnxx2，则切线的斜率k＝f'1＝2，
又f1＝1，故切点为1，1，
所以切线的方程为y－1＝2x－1，即2x－y－1＝0.
(2)因为f'(x)＝2－2lnxx2，则f'(x)＞0，得0＜x＜e；f'(x)＜0，得x＞e，
所以f(x)在0，e上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
故当x＝e时，f(x)有极大值fe＝2e＋1，无极小值.
(3)由(2)得：当2t≤e且t＞0，即0＜t≤e2时，f'(x)＞0在t，2t上恒成立，函数f(x)在t，2t上单调递增，
所以f(x)max＝f2t＝ln2tt＋1；
当t＜e＜2t，即e2＜t＜e时，x∈t，e时，f'(x)＞0，x∈e，2t时，f'(x)＜0，
所以函数f(x)在t，e上单调递增，在e，2t上单调递减，所以f(x)max＝fe＝2e＋1；
当t≥e时，f'(x)≤0在t，2t上恒成立，函数f(x)在t，2t上单调递减，
所以f(x)max＝ft＝2lntt＋1.
综上所得：当0＜t≤e2时，f(x)max＝ln2tt＋1；
当e2＜t＜e时，f(x)max＝2e＋1；
当t≥e时，f(x)max＝2lntt＋1.
[创新题]
12.(2025·江西南昌一模)我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”.已知f(x)＝ex－12ex2＋x－12，则下列给出的函数其图象与y＝f(x)的图象“相似”的是( )
A.y＝x2
B.y＝－x2
C.y＝x3－3x
D.y＝－x3＋3x
解析：选C.f'(x)＝ex－ex＋2x－2，则f'1＝0，令f'(x)＝0，则ex＝e－2x＋2，
如图，作出函数y＝ex，y＝e－2x＋2的图象，
由图可知函数y＝ex，y＝e－2x＋2的图象有两个交点，
即函数y＝f'(x)有两个零点1，x0，且x0＜0，
令f'(x)＞0，则x＞1或x＜x0，令f'(x)＜0，则x0＜x＜1，
所以f(x)在－∞，x0，1，＋∞上单调递增，在x0，1上单调递减，所以f(x)的极大值点为x0，极小值点为1.
对于A，函数y＝x2在－∞，0上单调递减，在0，＋∞上单调递增，所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符；
对于B，函数y＝－x2在－∞，0上单调递增，在0，＋∞上单调递减，所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符；
对于C，y'＝3x2－3，当x＜－1或x＞1时，y'＝3x2－3＞0，当－1＜x＜1时，y'＝3x2－3＜0，所以函数y＝x3－3x的极大值点为－1，极小值点为1，故C选项符合题意；
对于D，y＝－x3＋3x＝－x3－3x，则函数y＝－x3＋3x的极小值点为－1，极大值点为1，故D选项不符.
13.在平面曲线中，曲率(curvature)是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，如图，圆C1、C2、C3在点Q处的弯曲程度依次增大，而直线在点Q处的弯曲程度最小，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大.曲线的曲率定义如下：若f'(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f'(x)的导函数，则曲线y＝f(x)在点(x，f(x))处的曲率K＝f″(x)1+f'(x)232，则余弦曲线f(x)＝cs x在(0，1)处的曲率为 ；正弦曲线g(x)＝sin x(x∈R)曲率K的平方K2的最大值为 .
解析：由f'(x)＝－sin x，f″(x)＝－cs x，则K＝−csx(1+sin 2x)32，
所以在(0，1)处的曲率为K＝−cs0(1+sin 20)32＝1.
由g'(x)＝cs x，g″(x)＝－sin x，则K＝−sinx(1+cs 2x)32，
所以K2＝sin 2x(1+cs 2x)3＝sin 2x(2−sin 2x)3，令t＝sin 2x∈[0，1]，则K2＝t(2−t)3，
令h(t)＝t(2−t)3，则h'(t)＝(2−t)3+3t(2−t)2(2−t)6＝2(1+t)(2−t)4＞0，即h(t)单调递增，
所以h(t)max＝h(1)＝1，即K2的最大值为1.
答案：1 1