2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-球的切接问题（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-球的切接问题（Word版解析版），共8页。
1.(2025·天津河东二模)已知正方体的边长为a，其外接球体积与内切球表面积的比值为32，则a的值为( )
A.3B.2
C.5D.3
解析：选A.易知正方体的外接球半径为其体对角线的一半，即3a2，
内切球半径为棱长的一半，即a2，由球体的表面积公式及体积公式可知4π3×(3a2)34π×(a2)2＝3a2＝32⇒a＝3.
2.(2025·四川绵阳三模)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA⊥CB，AB＝CC1＝2，该三棱柱所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为( )
A.82π3B.32π3
C.8πD.642π3
解析：选A.如图所示，将直三棱柱ABC-A1B1C1补全成长方体，
则长方体的体对角线｜A1B｜＝｜AB｜2＋｜AA1｜2＝4＋4＝22为该三棱柱外接球的直径，
所以其半径为R＝｜A1B｜2＝2，∴球O的体积为V＝43πR3＝43π×22＝823π.
3.(2025·陕西宝鸡二模)已知直三棱柱ABC-A1B1C中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，AA1＝2，则直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为( )
A.36πB.18π
C.9πD.3π
解析：选C.取AC，A1C1的中点为D，D1，连接BD，D1D，取D1D的中点O，
由于AB⊥BC，且三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，故O为外接球的球心，
AC＝AB2＋BC2＝5，R＝OA＝AD2＋OD2＝32，
故外接球的表面积为4πR2＝9π.
4.(2025·河北石家庄一模)已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为( )
A.4πB.43π
C.63πD.83π
解析：选B.如图，轴截面为AB＝2，OE＝1，OC＝2，CE＝OC2－OE2＝3，所以圆柱的侧面积为S＝2π×1×23＝43π.
5.已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为32，则此圆台的表面积与其内切球(与圆台的上下底面及每条母线都相切的球)的表面积之比为( )
A.43B.32
C.83D.136
解析：选D.设上底面半径为r1，下底面半径为r2，
如图，取圆台的轴截面，作CM⊥AB，垂足为M，
设内切球O与梯形两腰分别切于点E，F，可知BC＝r1＋r2，BM＝r2－r1，
由题意可知，母线与底面所成角为∠B＝π3，则BMBC＝r2－r1r1＋r2＝12，可得r2＝3r1，
即BC＝4r1，BM＝2r1，可得CM＝BC2－BM2＝23r1，
可知内切球O的半径r＝3r1，
可得S圆台＝πr12＋9πr12＋π(r1＋3r1)×4r1＝26πr12，S球＝4π×(3r1)2＝12πr12，
所以S圆台S球＝26πr1212πr12＝136.
6.(2025·陕西榆林二模)育德中学在3D打印社团实践活动中，要将一个正方体放置在一个母线长为2，底面半径为1的圆锥内(忽略锥面厚度)，使其能自由(任意方向)旋转，则该正方体棱长的最大值为( )
A.13B.12
C.23D.1
解析：选C.如图1所示，要使得正方体能在圆锥内自由旋转且该正方体的边长得到最大，
则该正方体的外接球为圆锥的内切球，设内切球的半径为R，圆锥的轴截面如图2所示，
△PAB为正三角形且PA＝2，此时内切球的截面圆与△PAB内切，
R＝PHtanπ6＝1×33＝33，设正方体边长为a，由图3得，(2R)2＝3a2，得a＝233R＝23.
7.(2025·广东肇庆二模)已知正三棱锥的底面是边长3的正三角形，高为2，则该三棱锥的外接球的体积为( )
A.125π48B.25π4
C.64π25D.64π3
解析：选A.如图，若球心O在三棱锥P-ABC内，设O1为底面△ABC的外接圆的圆心，球O的半径为R，
则AO1＝33×3＝1，OO1＝2－R.
因为AO2＝AO12＋OO12，所以R2＝1＋(2－R)2，解得R＝54，V＝43πR3＝125π48.
若球心O在三棱锥P-ABC外，则OO1＝R－2，同理由R2＝1＋(R－2)2解得R＝54，此时OO1＝R－2＜0，不符合题意.
8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，且AB＝PD＝2，则这个四棱锥的内切球半径是 .
解析：设球心为S，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R，
∵VP-ABCD＝VS-PDA＋VS-PDC＋VS-ABCD＋VS-PAB＋VS-PBC，
∴13×2×2×2＝13R(2×12×2×2＋2×2＋2×12×2×22)，∴R＝2－2.
答案：2－2
9.(2025·江西赣州一模)在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC的射影为AB的中点，且AC⊥BC，AC＝BC＝2.设该三棱锥的体积为V，该三棱锥外接球的表面积为S，若V∈［23，2］，则S的取值范围为 .
解析：因为AC⊥BC，AC＝BC＝2，故AB＝22，取AB的中点D，连接PD，由题意可知PD⊥平面ABC，AD＝DC＝DB＝2，
则V＝13PD×12×22∈［23，2］，易得PD∈[1，3].
由题意知该三棱锥外接球的球心O在直线PD上，
设OD＝x(x为负，则球心在平面ABC的下方)，外接球半径为R，
故R2＝(PD－x)2＝x2＋(2)2⇒x＝PD2－22PD＝PD2－1PD，
易知y＝PD2－1PD在(0，＋∞)上单调递增，即PD2－1PD∈［－12，76］，
则R2＝x2＋2∈［2，4936＋2］，所以S＝4πR2∈［8π，121π9］.
答案：［8π，121π9］
10.(2025·山东泰安二模)如图，在母线长为4＋23，高为3＋23的倒置圆锥形容器(不计厚度)内放置一个底面半径为1的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入 个.
解析：如图，则R2＝l2－h2＝(4＋23)2－(3＋23)2＝7＋43，解得R＝2＋3，
由题意，小球与圆柱、圆锥侧面、圆锥底面相切，作轴截面如图所示，
因为1BO'＝OAOB，所以OA＝2，即AB＝OB－OA＝2＋23，
易知∠BAC＝30°，设圆O1的半径为r1，则BC＝3r1＋r1＝1＋3，解得r1＝1，
即小球的半径为1，作俯视图，
因为△O'O1O2为等边三角形，
所以∠O1O'O2＝60°，
由360°60°＝6可知，这样的小球最多能放入6个.
答案：6