2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-极化恒等式、等和线、奔驰定理（Word版解析版）

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1.已知在边长为1的菱形ABCD中，角A为60°，若点E为线段CD的中点，则AE·EB＝( )
A.32B.34
C.－34D.－32
解析：选C.设F是AB的中点，则EF＝1，根据极化恒等式AE·EB＝－EA·EB＝－EF2－14AB2＝14－1＝－34.
2.在平面内，M，N是两个定点，P是动点，若MP·NP＝4，则点P的轨迹为( )
A.椭圆B.抛物线
C.直线D.圆
解析：选D.设M，N的中点A，由极化恒等式可得MP·NP＝PA2－14MN2＝4，因为M，N是两个定点，从而PA为定值，所以点P的轨迹为圆.
3.设O点在△ABC内部，且有3OA＋2OB＋OC＝0，则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为( )
A.2B.3
C.2D.3
解析：选A.根据奔驰定理△AOC的面积与△AOB的面积的比值为21＝2.
4.已知O为正△ABC内的一点，且满足OA＋λOB＋1+λOC＝0，若△OAB的面积与△OBC的面积的比值为3，则λ的值为( )
A.12B.52
C.2D.3
解析：选C.由奔驰定理得S△OAB∶S△OBC＝1+λ∶1＝3，解得λ＝2.
5.如图，已知圆O的半径为2，弦长AB＝2，C为圆O上一动点，则AC·BC的取值范围为( )
A.0，4B.5－43，5+43
C.6－43，6+43D.7－43，7+43
解析：选C.取AB的中点D，连接CD，OD，
则AC·BC＝AD＋DC·(BD＋DC)＝AD·BD＋AD＋BD·DC＋DC2＝DC2－1，
又OD＝22－12＝3，所以CDmin＝2－3，CDmax＝2＋3，即2－3≤CD≤2＋3，
所以AC·BCmin＝6－43，(AC·BC)max＝6＋43.
故AC·BC的取值范围为[6－43，6＋43].
6.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝( )
A.1B.34
C.23D.12
解析：选B.法一 ∵E为线段AO的中点，∴BE＝12(BA＋BO)＝12BA＋12BD＝12BA＋14BD＝λBA＋μBD，∴λ＝12，μ＝14，则λ＋μ＝34.
法二(等和线法) 如图，AD为BA，BD为基底值是1的等和线，过E作AD的平行线，
设λ＋μ＝k，则k＝｜BE｜｜BF｜，由图易知｜BE｜｜BF｜＝34.
7.设点O是△ABC所在平面内一点，则下列说法错误的是( )
A.若OA＋OB＋OC＝0，则O为△ABC的重心
B.若(OA＋OB)·AB＝(OB＋OC)·BC＝0，则O为△ABC的垂心
C.若(ABAB＋ACAC)·BC＝0，BABA·BCBC＝12，则△ABC为等边三角形
D.若OA＋2OB＋3OC＝0，则△BOC与△ABC的面积之比为S△BOC∶S△ABC＝1∶6
解析：选B.对于A，如图，取AB边中点D，连接AB边上的中线CD，则OA＋OB＝2OD，
又∵OA＋OB＋OC＝0，∴2OD＋OC＝0，∴OC＝2OD，∴O为△ABC的重心，故选项A正确；
对于B，如图，取AB边中点D，BC边中点E，连接OD，OE，
则OA＋OB＝2OD，OB＋OC＝2OE，∵OA＋OB·AB＝OB＋OC·BC＝0，
∴2OD·AB＝2OE·BC＝0，∴OD·AB＝OE·BC＝0，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD，OE分别是AB，BC边上的垂直平分线，
∴OA＝OB＝OC，O为△ABC的外心，故选项B错误；
对于C，作角A的内角平分线AE与BC边交于点E，
∵ABAB为AB方向的单位向量，ACAC为AC方向的单位向量，
∴ABAB＋ACAC＝λAE(λ＞0)，
∴ABAB＋ACAC·BC＝λAE·BC＝0(λ＞0)，
∴AE⊥BC，∴AE⊥BC，∴AC＝AB，△ABC为等腰三角形，
又∵BABA·BCBC＝BA·BCBABC＝cs B＝12，且B∈0，π，∴B＝π3，
∴△ABC为等边三角形，故选项C正确；
对于D，设OB'＝2OB，OC'＝3OC，由OA＋2OB＋3OC＝0，得OA＋OB'＋OC'＝0，
则由选项A可知，O为△AB'C'的重心，设△AB'C'的面积S△AB'C'＝a，
∴S△AOC'＝S△AOB'＝S△B'OC'＝13a，
又∵OB＝12OB'，OC＝13OC'，
∴S△AOC＝13S△AOC'＝19a，S△AOB＝12S△AOB'＝16a，S△BOC＝16S△B'OC'＝118a，
∴S△ABC＝S△AOC＋S△AOB＋S△BOC＝13a，∴S△BOC∶S△ABC＝118a∶13a＝1∶6，故选项D正确.
8.如图，已知M，N是△ABC边BC上的两个三等分点，若BC＝6，AM·AN＝4，则AB·AC＝ .
解析：取MN中点E(图略)，由向量数量积的极化恒等式，
∴AM·AN＝AE2－14MN2＝AE2－14×4＝AE2－1＝4，
∴AE2＝5，∴AB·AC＝AE2－14BC2＝5－14×36＝－4.
答案：－4
9.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 .
解析：法一 由题意作图如图.
∵在△ABC中，DE＝DB＋BE＝12AB＋23BC＝12AB＋23(AC－AB)＝－16AB＋23AC＝λ1AB＋λ2AC，
∴λ1＝－16，λ2＝23.故λ1＋λ2＝12.
法二(利用等和线) 如图，过点A作AF＝DE，连接DF.
设AF与BC的延长线交于点H，如图，BH为值是1的等和线，
设λ1＋λ2＝k，则k＝｜AF｜｜AH｜，由图易知，｜AF｜｜AH｜＝12.因此λ1＋λ2＝12.
答案：12
10.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为2π3，如图所示，点C在以O为圆心的弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则x＋y的最大值是 .
解析：(等和线法)如图所示，设x＋y＝k，则直线AB为以OB，OA为基底k＝1的等和线，所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，易知OE⊥AB，
因为OA＝1，∠AOB＝2π3，所以OE＝12，则k＝｜DO｜｜OE｜＝112＝2，即x＋y的最大值为2.
答案：2