新高考数学二轮复习创新题型专题02 函数与导数（新定义）（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 表示不超过x的最大整数，则 SKIPIF 1 < 0 称为“高斯函数”，例如： SKIPIF 1 < 0 .已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解；
方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解；
【详解】方法一：函数 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
方法二：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2．（2019秋·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）在实数集 SKIPIF 1 < 0 中定义一种运算“ SKIPIF 1 < 0 ”，具有下列性质：
①对任意a， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
②对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
③对任意a， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】注意新定义的运算方式即可.
【详解】在③中，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；在 SKIPIF 1 < 0 时取最大值，最大值为5，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
3．（2023·上海·统考模拟预测）设 SKIPIF 1 < 0 ，若正实数 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 则下列选项一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】对新定义进行化简，分别在条件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 下化简 SKIPIF 1 < 0 ，
结合所得结果，进一步确定满足条件的关系，由此判断各选项.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)若 SKIPIF 1 < 0 则，不等式 SKIPIF 1 < 0
可化为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾，
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾，
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾，
(2)若 SKIPIF 1 < 0 则，不等式 SKIPIF 1 < 0
可化为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾，
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，满足，
SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，满足，
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，满足，
SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，满足，
(3)若 SKIPIF 1 < 0 则，不等式 SKIPIF 1 < 0
可化为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，满足，
SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，满足，
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，满足，
SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，满足，
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，满足，
SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，满足，
(4)若 SKIPIF 1 < 0 则，不等式 SKIPIF 1 < 0
可化为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，满足，
SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾，
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾，
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾，
综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 知，A错误；
由 SKIPIF 1 < 0 知，B错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 可得，满足条件但 SKIPIF 1 < 0 ，
C错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
4．（2022秋·江苏常州·高一华罗庚中学校考阶段练习）对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则称点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一对“隐对称点”.若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象存在“隐对称点”，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由隐对称点的定义可知函数 SKIPIF 1 < 0 图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程 SKIPIF 1 < 0 的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【详解】由隐对称点的定义可知函数 SKIPIF 1 < 0 图象上存在关于原点对称的点，
设 SKIPIF 1 < 0 的图象与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于原点对称，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以原题义等价于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有交点，即方程 SKIPIF 1 < 0 有零点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有交点的问题，从而得解.
5．（2023·高二单元测试）能够把椭圆 SKIPIF 1 < 0 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数中不是椭圆的“可分函数”的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据奇偶函数的定义依次判断函数的奇偶性，得到ABC为奇函数，D为偶函数，得到答案.
【详解】对选项A： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数为奇函数，满足；
对选项B： SKIPIF 1 < 0 ，函数定义域满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，函数为奇函数，满足；
对选项C： SKIPIF 1 < 0 为奇函数，满足；
对选项D： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数为偶函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，不满足.
故选：D
6．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设 SKIPIF 1 < 0 ，计算机程序中用 SKIPIF 1 < 0 表示不超过x的最大整数，则 SKIPIF 1 < 0 称为取整函数．例如； SKIPIF 1 < 0 ．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】化简 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由二次函数的性质求出函数 SKIPIF 1 < 0 的值域，根据定义求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B .
7．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的不动点.给定函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上均存在唯一不动点，分别记为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .然后证明 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.令 SKIPIF 1 < 0 ，根据复合函数的单调性可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，即可得出 SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ，根据导函数可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，即可推得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，
根据复合函数的单调性可知，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上可得， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：证明 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.然后即可采用放缩法构造函数，进而根据函数的单调性得出大小关系.
8．（2022秋·河北邢台·高一统考期末）在定义域内存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立的幂函数称为“亲幂函数”，则下列函数是“亲幂函数”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据函数的范围即可判断A、D项；B项不是幂函数；求出 SKIPIF 1 < 0 即可判断C项.
【详解】对于A项， SKIPIF 1 < 0 恒成立，故A项错误；
对于B项， SKIPIF 1 < 0 不是幂函数，故B项错误；
对于C项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，只要 SKIPIF 1 < 0 即可，故C项正确；
对于D项， SKIPIF 1 < 0 恒成立，故D项错误.
故选：C.
9．（2022秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期末）对实数a与b，定义新运算 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 ，设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先化简函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，转化为直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，数形结合分析即得解.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，如图，
若 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴恰有两个公共点，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，数形结合可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
10．（2022秋·山东日照·高一统考期末）已知符号函数 SKIPIF 1 < 0 则“ SKIPIF 1 < 0 ” 是“ SKIPIF 1 < 0 ” 的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据符号函数的定义及充分条件与必要条件的定义求解即可.
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 同号，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件．
故选:C.
11．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 具有性质 SKIPIF 1 < 0 ．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 具有性质 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据函数新定义可推得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值域M，满足 SKIPIF 1 < 0 ，求出M，列出不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 具有性质 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立；
记函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值域为M， SKIPIF 1 < 0 ，
则由题意得 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,此时不满足 SKIPIF 1 < 0 ，舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取得最大值，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,
要满足 SKIPIF 1 < 0 ，需 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
【点睛】方法点睛：根据函数新定义，要能推出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，继而将问题转化为集合之间的包含问题，因此要求出函数 SKIPIF 1 < 0 的值域，根据集合的包含关系列不等式求解即可.
12．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）定义：对于 SKIPIF 1 < 0 定义域内的任意一个自变量的值 SKIPIF 1 < 0 ，都存在唯一一个 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则称函数 SKIPIF 1 < 0 为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据“正积函数”的定义一一判断即可.
【详解】对于A， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则不存在 SKIPIF 1 < 0 满足情况，故A不是正积函数；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
则任意一个自变量的值 SKIPIF 1 < 0 ，都存在唯一一个 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
故B是正积函数；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不唯一，故C不是正积函数；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则不存在 SKIPIF 1 < 0 满足情况，故D不是正积函数.
故选:B.
13．（2023·全国·高三专题练习）定义：在区间 SKIPIF 1 < 0 上，若函数 SKIPIF 1 < 0 是减函数，且 SKIPIF 1 < 0 是增函数，则称 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是“弱减函数”.若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“弱减函数”，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】依题意只需 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，利用导数说明 SKIPIF 1 < 0 的单调性，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出参数的取值范围.
【详解】解：对于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“弱减函数”，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数显然成立，
故只需 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：C
14．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）已知定义域为 SKIPIF 1 < 0 的“类康托尔函数” SKIPIF 1 < 0 满足：① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据函数的定义分别赋值得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后再利用 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，再次赋值，利用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
也即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
15．（2016·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）定义两种运算： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据已知的定义可化简得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据函数定义域的求法可求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合定义域再次化简函数解析式即可得到结果.
【详解】由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
16．（2023·全国·高三对口高考）定义 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用给定的定义求出函数 SKIPIF 1 < 0 ，再求出其单调递减区间即可求解作答.
【详解】由给定的定义知 SKIPIF 1 < 0 ，
显然函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间是 SKIPIF 1 < 0 ，而函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
17．（2022秋·广西河池·高一校联考阶段练习）定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 ，若对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 为“纯函数”，给出下列四个函数（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 ，则下列函数中纯函数个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的减函数，逐个判断即可.
【详解】由题知，
设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的减函数，
对于（1），因为函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 为纯函数；
对于（3），因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 是纯函数；
对于（2），因为函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 不是纯函数；
对于（4），因为函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 不是纯函数，
故选：C.
18．（2021秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，若集合 SKIPIF 1 < 0 中恰有 SKIPIF 1 < 0 个元素，则称函数 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 阶准奇函数”．若函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是“（ ）阶准奇函数”．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据“ SKIPIF 1 < 0 阶准奇函数”的定义，可将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象交点个数的问题，作出两个函数图象可得结果．
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
下图为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象，
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，两个函数图象有4个交点，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
19．（2022秋·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）定义 SKIPIF 1 < 0 为不小于 SKIPIF 1 < 0 的最小整数（例如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先根据已知二次不等式求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而可求x的范围
【详解】 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为不小于 SKIPIF 1 < 0 的最小整数，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
20．（2022秋·浙江杭州·高一杭州四中校考期中）设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的任意实值函数．如下定义两个函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列等式不恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据定义两个函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，然后逐个验证即可找到答案．
【详解】对于A, SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
而 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ,
对于B, SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
对于C, SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ；
对于D, SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
21．（2021秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的严格增函数， SKIPIF 1 < 0 ，若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的“追逐函数”．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列四个函数中是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的“追逐函数”的个数为（ ）个．
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据“追逐函数”的定义对 SKIPIF 1 < 0 个函数进行分析，结合差比较法确定正确答案.
【详解】由题意，需满足： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域都是 SKIPIF 1 < 0 ，
且对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象恒的 SKIPIF 1 < 0 上方，
当 SKIPIF 1 < 0 时：
① SKIPIF 1 < 0 的值域符合题意，且 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意.
② SKIPIF 1 < 0 的值域符合题意，且 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意.
③ SKIPIF 1 < 0 ，指数函数比二次函数增长快，比如：
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意.
④由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不符合题意.
综上所述，正确的有 SKIPIF 1 < 0 个.
故选：B
22．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）如果函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 函数．已知函数 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 函数，则m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可.
【详解】解：由题意可知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，单调递增，此时值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，开口向上，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时函数单调递增，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
23．（2022秋·河南周口·高一校考期中）对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为某一三角形的三边长，则称 SKIPIF 1 < 0 为“可构成三角形的函数”，已知 SKIPIF 1 < 0 是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】先判断 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性，然后对 SKIPIF 1 < 0 进行分类讨论，结合 SKIPIF 1 < 0 的单调性、最值求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，
SKIPIF 1 < 0 为偶函数， SKIPIF 1 < 0 只需考虑 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的范围，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0
对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
需 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
综上： SKIPIF 1 < 0
故选：B
24．（2021秋·浙江嘉兴·高一校联考期中）定义 SKIPIF 1 < 0 ，如 SKIPIF 1 < 0 ．则函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，数形结合可得出函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ，作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示（实线部分）：
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
25．（2023·高一课时练习）函数 SKIPIF 1 < 0 满足在定义域内存在非零实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 为“有偶函数”．若函数 SKIPIF 1 < 0 是在 SKIPIF 1 < 0 上的“有偶函数”，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据有偶函数的定义可得对应的方程有解，参变分离后可求参数的取值范围.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的“有偶函数”，故存在非零实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故方程 SKIPIF 1 < 0 有解，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，而 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故方程 SKIPIF 1 < 0 有解，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，而 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
26．（2020秋·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）存在两个常数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，设函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有界.下列函数中在其定义域上有界的个数为（ ）
① SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】分别求出各个选项的值域，结合有界函数的定义即可得出答案.
【详解】对于①， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等；
所以 SKIPIF 1 < 0 .
对于②， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
对于③，因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故在其定义域上有界的函数为①.
故选：B.
27．（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在区间 SKIPIF 1 < 0 ，同时满足下列条件：
① SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内是单调的；②当定义域是 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值域也是 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是该函数的“和谐区间” SKIPIF 1 < 0 若函数 SKIPIF 1 < 0 存在“和谐区间”，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】函数在区间 SKIPIF 1 < 0 是单调的，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个同号的不等实数根，由 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式即可.
【详解】由题意可得若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 是单调的，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个同号的不等实数根，
即方程 SKIPIF 1 < 0 有两个同号的不等实数根，注意到 SKIPIF 1 < 0 ，
故只需 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
结合 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
28．（2022秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）对于定义域为 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在非零实数 SKIPIF 1 < 0 ，使函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 上与 SKIPIF 1 < 0 轴均有交点，则称 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】理解题意，明确界点的含义，对于各个函数逐一判定．
【详解】解：根据题意，
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 有两个实根 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的一个“界点”；
对于B， SKIPIF 1 < 0 的两根分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的一个“界点”；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的一个“界点”；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故不存在“界点”．
故选：D．
29．（2022秋·江西景德镇·高一江西省乐平中学校考阶段练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据“穿透”函数的概念逐项分析即得.
【详解】对于A，因为对任意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为“穿透”函数，故A不适合题意；
对于B，因为对任意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 不是“穿透”函数，故B适合题意；
对于C，因为对任意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为“穿透”函数，故C不适合题意；
对于D，因为对任意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为“穿透”函数，故D不适合题意.
故选：B.
30．（2023秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 及其导函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个“巧值点”，下列选项中没有“巧值点”的函数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用新定义：存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个“巧点”，对四个选项中的函数进行一一的判断即可．
【详解】对于A： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 有“巧值点”；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故方程有解，故 SKIPIF 1 < 0 有“巧值点”；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
∴方程 SKIPIF 1 < 0 有解，故函数 SKIPIF 1 < 0 有“巧值点”．
对于D： SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 无根，故 SKIPIF 1 < 0 没有“巧值点”.
故选：D．
31．（2023·全国·高三专题练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“ SKIPIF 1 < 0 ”、“内卷”、“躺平”等．定义方程 SKIPIF 1 < 0 的实数根 SKIPIF 1 < 0 叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的“躺平点”．若函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“躺平点”分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据题意分析可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的零点，利用导数判断原函数单调性，结合零点存在性定理分析判断.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的零点，
可知 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的零点，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 内单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 内单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内无零点，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
(2)求导数，得单调区间和极值点；
(3)画出函数草图；
(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
32．（2022·高二课时练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，若在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则称函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为“凸函数”.已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为“凸函数”，则实数t的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，结合二次函数的性质求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
二次函数 SKIPIF 1 < 0 的开口向上，
依题意， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
33．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）定义方程 SKIPIF 1 < 0 的实根 SKIPIF 1 < 0 叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的“新驻点”，若函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“新驻点”分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】分别求出导函数，由导函数与原函数相等列出方程，直接解得 SKIPIF 1 < 0 ，再引入新函数，利用新函数的导数确定新函数的零点所在区间，得 SKIPIF 1 < 0 的范围从而确定它们的大小．
【详解】由题意： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的根，即为函数
SKIPIF 1 < 0 的零点，
可解得 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 为单调递增函数，
且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
34．（2022春·山东·高三山东师范大学附中校考期中）定义满足方程 SKIPIF 1 < 0 的解 SKIPIF 1 < 0 叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】求出每个选项中函数 SKIPIF 1 < 0 ，判断每个选项中方程 SKIPIF 1 < 0 是否有解，由此可得合适的选项.
【详解】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 存在“自足点”，A满足条件；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，即函数 SKIPIF 1 < 0 存在“自足点”，B选项满足条件；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 存在“自足点”，C选项满足条件；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，方程 SKIPIF 1 < 0 无实解，D选项不满足条件.
故选：D.
二、多选题
35．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）对于定义域为 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在区间 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 同时满足，① SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调函数，②当 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值域也为 SKIPIF 1 < 0 ，则称区间 SKIPIF 1 < 0 为该函数的一个“和谐区间”，则（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 有3个“和谐区间”；
B．函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 存在“和谐区间”
C．若定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 有“和谐区间”，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
D．若函数 SKIPIF 1 < 0 有“和谐区间”，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】由函数的单调增，确定 SKIPIF 1 < 0 的解可判断ABC，由函数单调减，由 SKIPIF 1 < 0 有解，求得 SKIPIF 1 < 0 的范围判断D．
【详解】对A，因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的两个实根，解得 SKIPIF 1 < 0 可能取值为 SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0
即函数 SKIPIF 1 < 0 的有3个“和谐区间” SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对B，由于当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 只有一解，故不存在“和谐区间”，故B错误
对C， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有“和谐区间”，
所以存在区间 SKIPIF 1 < 0 ，使函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的两个实根，即方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不等的实根，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不等的实根，令 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，问题转化为函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象，在 SKIPIF 1 < 0 上存在两个不同的交点，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
对D，函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值域也为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②两式相减可得，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ③，
将③代入②， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：ACD．
【点睛】思路点睛：新定义函数问题，关键是理解新定义，由新定义把问题进行转化，本题在确定单调增的基础上，确定方程 SKIPIF 1 < 0 的解，在单调减基础上由 SKIPIF 1 < 0 有解得参数范围．
36．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）已知欧拉函数 SKIPIF 1 < 0 的函数值等于所有不超过正整数 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 互素的正整数的个数，例如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是单调递增函数B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 为素数时， SKIPIF 1 < 0 D．当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【分析】写出 SKIPIF 1 < 0 的前8项，可判断ABD；当 SKIPIF 1 < 0 为素数时， SKIPIF 1 < 0 与前 SKIPIF 1 < 0 个数均互素，从而可判断C.
【详解】由题意知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 不是单调递增函数，故A错误；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 为素数时， SKIPIF 1 < 0 与前 SKIPIF 1 < 0 个数均互素，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,故D错误.
故选:BC.
37．（2022秋·河北邢台·高一统考期末）对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，若在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是区间 SKIPIF 1 < 0 上的“稳定函数”.下列函数中，是区间 SKIPIF 1 < 0 上的“稳定函数”的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】求出 SKIPIF 1 < 0 以及 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的范围，即可判断A项；解 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断B、C项；可转化为 SKIPIF 1 < 0 有解，作出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象，即可判断D项.
【详解】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以，在 SKIPIF 1 < 0 上，不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，解 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
分别作出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的图象，
由图象知，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有交点，
即 SKIPIF 1 < 0 有解，故D正确.
故选：BCD.
38．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 的图象连续不断，若存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 对于任意的实数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则称 SKIPIF 1 < 0 是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 为回旋函数的充要条件是 SKIPIF 1 < 0
B．函数 SKIPIF 1 < 0 是回旋函数
C．若函数 SKIPIF 1 < 0 为回旋函数，则 SKIPIF 1 < 0
D．函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的回旋函数，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上至少有1011个零点
【答案】ACD
【分析】A选项，得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到充要条件是 SKIPIF 1 < 0 ；B选项，得到 SKIPIF 1 < 0 ，不存在 SKIPIF 1 < 0 符合题意； C选项，化简得到 SKIPIF 1 < 0 有解，则 SKIPIF 1 < 0 ；D选项，赋值法结合零点存在性定理得到 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上均至少有一个零点，得到 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上至少有1011个零点.
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 （其中a为常数， SKIPIF 1 < 0 ）是定义在R上的连续函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 对于任意的实数x恒成立，若 SKIPIF 1 < 0 对任意实数x恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 （其中a为常数， SKIPIF 1 < 0 ）为回旋函数的充要条件是 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的连续函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
SKIPIF 1 < 0 在R上为连续函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，要想函数 SKIPIF 1 < 0 为回旋函数，则 SKIPIF 1 < 0 有解，则 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 异号，或 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，由零点存在性定理得： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上至少存在一个零点，同理可得： SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上均至少有一个零点，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上至少有1011个零点，当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上至少有1011个零点，D正确.
故选：ACD
39．（2023秋·河南周口·高一统考期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有 SKIPIF 1 < 0 ；②若对于定义域上的任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】由“理想函数”的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】由题中①知， SKIPIF 1 < 0 为奇函数；由题中②知， SKIPIF 1 < 0 为减函数.
在A中，函数 SKIPIF 1 < 0 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不是“理想函数”；
在B中，函数 SKIPIF 1 < 0 为定义域上的奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”；
在C中，函数 SKIPIF 1 < 0 为定义域上的偶函数，且在定义域内不单调，所以不是“理想函数"；
在D中，函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象如图所示，
显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”.
故选：BD.
40．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中，首次定义了取整函数 SKIPIF 1 < 0 ，表示“不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数”，后来我们又把函数 SKIPIF 1 < 0 称为“高斯函数”，关于 SKIPIF 1 < 0 下列说法正确的是（ ）
A．对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0
B．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【分析】利用题中给出的新定义得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合不等式的性质即可判断选项A，利用基本不等式结合新定义即可判断选项B，通过新定义可得函数 SKIPIF 1 < 0 是周期为1的函数，然后研究函数的单调性即可判断选项C，利用对数的运算性质以及 SKIPIF 1 < 0 的范围进行分析求解，即可判断选项D．
【详解】对于选项A，因为对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确；
对于选项B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，此时函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误；
对于选项C，令 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 是周期为1的函数，
因为当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 是增函数，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故选项C正确；
对于选项D，当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，故选项D错误．
故选：AC
41．（2023·山东临沂·高一校考期末）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的函数，对于 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，若存在正整数k使得 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 值是 SKIPIF 1 < 0 的一个周期为k的周期点．若 SKIPIF 1 < 0 ，下列各值是 SKIPIF 1 < 0 周期为2的周期点的有（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】根据题意中周期点定义，分别求出当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 时的函数周期，进而得出结果.
【详解】解：A： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，周期为1，周期为2也正确，故A正确；
B： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，周期为1，周期为2也正确，故B正确；
C： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 值不是 SKIPIF 1 < 0 周期为2的周期点.故C不正确；
D： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 周期为2的周期点，故D正确.
故选：ABD.
42．（2022秋·河南漯河·高一漯河四高校考期末）设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，若对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）成立，则称函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的“半差值”为 SKIPIF 1 < 0 下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为 SKIPIF 1 < 0 的函数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【分析】根据题中定义逐项判断可得出合适的选项.
【详解】解：由题可知：对任意定义域中的任意 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A选项，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，A满足条件；
对于B选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时不存在自变量 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B不满足；
对于C选项，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，C满足条件；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以，不存在自变量 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以D不满足.
故选：AC.
三、填空题
43．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为D，对于D中任意给定的实数x，都有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．则下列3个命题中是真命题的有_____________（填写所有的真命题序号）．
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
②若当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值5，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ；
③若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是严格增函数，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是严格减函数．
【答案】①②
【分析】根据给定条件，逐一验证各个命题在条件被满足时，结论是否成立作答.
【详解】对于①， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，①正确；
对于②，依题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，②正确；
对于③， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，依题意， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是严格减函数，
因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是严格增函数，即函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是严格增函数，③错误，
所以3个命题中是真命题的有①②.
故答案为：①②
44．（2022秋·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考开学考试）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，满足：① SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内是单调函数；②存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，那么就称函数 SKIPIF 1 < 0 为“优美函数”，若函数 SKIPIF 1 < 0 是“优美函数”，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】判断函数的单调性，根据“优美函数”的定义可列出方程组，结合一元二次方程的根的范围列出不等式，即可求得答案.
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 为R上增函数， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为其定义域上的增函数，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 为R上减函数， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的减函数，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为其定义域上的增函数，
综上，函数 SKIPIF 1 < 0 为其定义域上的增函数，
若函数 SKIPIF 1 < 0 是“优美函数”，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个不同的正根，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】关键点点睛：解答本题要正确理解“优美函数”的定义，由此可列出相应的方程，因此解答的关键在于判断函数的单调性，进而将问题转化为一元二次方程的根的范围问题.
45．（2023秋·山东德州·高一统考期末）在数学中连乘符号是“ SKIPIF 1 < 0 ”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“ SKIPIF 1 < 0 ”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如： SKIPIF 1 < 0 ．函数 SKIPIF 1 < 0 ，定义使 SKIPIF 1 < 0 为整数的数 SKIPIF 1 < 0 叫做企盼数，则在区间 SKIPIF 1 < 0 内，这样的企盼数共有_______个．
【答案】9
【分析】由对数换底化简 SKIPIF 1 < 0 后，根据新定义累乘后可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由企盼数定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，转化为求满足 SKIPIF 1 < 0 的n的个数.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
要使 SKIPIF 1 < 0 成为企盼数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 可取 SKIPIF 1 < 0 .
所以在区间 SKIPIF 1 < 0 内，这样的企盼数共有9个.
故答案为：9
46．（2021春·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）对于函数 SKIPIF 1 < 0 可以采用下列方法求导数：由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，两边求导可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .根据这一方法，可得函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据已知对 SKIPIF 1 < 0 求导，然后再两边求导可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得到 SKIPIF 1 < 0 的单调性及极小值.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，两边求导可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查导数的定义与导数的计算､函数极值的求解，解题的关键点是根据已知条件进行求导，考查了学生的数学运算与逻辑推理能力.
47．（2021春·重庆渝北·高二重庆市两江中学校校考阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是定义在同一区间 SKIPIF 1 < 0 上的两个函数，若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不同的零点，则称 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“关联函数”．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“关联函数”，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象有两个交点，利用导数分析函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，设函数 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象有两个交点，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，列表如下：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
由上图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象有两个交点，
因此，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查函数的新定义，本质上考查利用函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
48．（2018春·河南南阳·高二统考期中）定义：如果函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是一个双中值函数，已知函数 SKIPIF 1 < 0 是区间 SKIPIF 1 < 0 上的双中值函数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 ，即方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有两个解，利用二次函数的性质即可求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 是区间 SKIPIF 1 < 0 上的双中值函数，
所以区间 SKIPIF 1 < 0 上存在 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有两个不相等的解，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
49．（2023·全国·高三专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数 SKIPIF 1 < 0 ，存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，我们就称该函数“不动点”函数，实数 SKIPIF 1 < 0 为该函数的不动点.
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的不动点；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不动点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)根据不动点定义求解即可;
(2)根据不动点的范围,分类讨论列式求解可得范围.
【详解】（1）设不动点 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 又因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,即得 SKIPIF 1 < 0
（2）因为函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不动点 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0
②当 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综合①②,可知 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
50．（2023秋·北京·高一校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 图像上运动时，对应的点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 图像上运动，则称函数 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的相关函数.
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)对任意的 SKIPIF 1 < 0 的图像总在其相关函数图像的上方，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）将点 SKIPIF 1 < 0 代入函数 SKIPIF 1 < 0 中化简即可；
（2）由（1）求得函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式，然后由 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立可得参数范围．
【详解】（1）因为函数 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 图像上运动，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图像总在其相关函数图像的上方，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在此条件下，
即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
51．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R，且对 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为“J形函数”
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，判断 SKIPIF 1 < 0 是否为“J形函数”，并说明理由；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 是“J形函数”；
(3)如果函数 SKIPIF 1 < 0 为“J形函数”，求实数a的取值范围.
【答案】(1)否，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）作差可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 的任意性，无法判断该式符号，即可说明；
（2）作差可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明得出结论；
（3）代入化简可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .由“J形函数”的概念整理化简可得， SKIPIF 1 < 0 ，进而即可得出实数a的取值范围.
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 不是“J形函数”，理由如下：
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与0的关系不确定，
不能得出 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不是“J形函数”.
（2）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
显然有 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以有 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 是“J形函数”.
（3）解：由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
因为函数 SKIPIF 1 < 0 为“J形函数”，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，该式恒成立，满足；
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上可得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“J形函数”的本质是函数值的大小关系的比较问题，从而利用作差法，整理化简 SKIPIF 1 < 0 .只要得出 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即可说明 SKIPIF 1 < 0 是“J形函数”.
52．（2022秋·陕西安康·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内是增函数，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)定义：若 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内也单调递增，则称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的“协同增函数”.
已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“协同增函数”，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）分析可知， SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，利用导数求出函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值，可得出关于实数 SKIPIF 1 < 0 的不等式，由此可解得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）由（1）可得出 SKIPIF 1 < 0 ，分析可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，利用导数求出函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值，可得出关于实数 SKIPIF 1 < 0 的不等式，由此可解得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
(1)
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
解：由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
53．（2022·高二课时练习）记 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为函数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的导函数．若存在 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的一个“ SKIPIF 1 < 0 点”．
（1）证明：函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不存在“ SKIPIF 1 < 0 点”；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 存在“ SKIPIF 1 < 0 点”，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根据已知条件可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的方程组，判断方程组无公共解，即可证得结论成立；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 点”，根据题中定义可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的方程组，即可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，此方程组无解，
因此，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不存在“ SKIPIF 1 < 0 点”；
（2）函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 点”，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题的关键在于根据题中“ SKIPIF 1 < 0 点”的定义得出方程进行求解.对于新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证.
54．（2023秋·广东江门·高一统考期末）对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，若其定义域内存在实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为“伪奇函数”.
(1)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，试问 SKIPIF 1 < 0 是否为“伪奇函数”？请说明理由；
(2)是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 满足函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的“伪奇函数”？若存在，请求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)函数 SKIPIF 1 < 0 不是“伪奇函数”，理由见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据所给定义令 SKIPIF 1 < 0 得到方程，判断方程无解，即可得解；
（2）依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，问题转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，令 SKIPIF 1 < 0 ，结合二次函数的性质分 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.
【详解】（1）解：函数 SKIPIF 1 < 0 不是“伪奇函数”，
对于 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，显然方程无解，
所以不存在实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 不是“伪奇函数”.
（2）解：假设函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的“伪奇函数”，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，
②当 SKIPIF 1 < 0 时，要满足题意只需 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
极大值 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0