2026届高考数学二轮复习解答题题型之七：函数与导数讲义及解析（word版）

这是一份2026届高考数学二轮复习解答题题型之七：函数与导数讲义及解析（word版），共46页。学案主要包含了例1-1，例1-3，变式1-1，变式1-2，变式1-3，例2-1，例2-2，变式2-1等内容，欢迎下载使用。
题型01 导数与切线问题
【例1-1】(2025·贵州·模拟)已知函数的图象在点处的切线斜率为．
(1)求的值；
(2)求曲线过原点的切线方程．
【例1-3】(2023·江苏·模拟)已知函数
(1)若，证明：曲线与曲线有且仅有一条公切线；
(2)当时，，求a的取值范围．
1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
①求出函数在处的导数，即曲线在点处切线的斜率；
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为.
2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
①设出切点坐标 (不出现)；
②利用切点坐标写出切线方程：；
③将已知条件代入②中的切线方程求解.
【变式1-1】已知.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设P为曲线上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角的取值范围.
【变式1-2】 (2025·湖南·模拟) 已知函数．
(1)若直线与曲线相切，求的值；
(2)讨论的零点个数；
(3)若方程有两个解 证明:使得
【变式1-3】(2025·四川·模拟)已知函数（其中）.
(1)当变化时，曲线在点处的切线是否过定点？若是，求该定点的坐标；若不是，说明理由；
(2)若在区间上单调递增，求的取值范围.
题型02 导数与含参函数的单调性讨论
【例2-1】(2025·湖北·模拟)已已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【例2-2】(2025·河北·模拟)已知函数
(1)当时，求函数的最值;
(2)讨论函数的单调性．
含参函数单调性讨论的核心在于“抓导函数符号变化”。
首先，求定义域并求导，对导函数进行通分、因式分解，提炼出决定符号的“导数主部”（去恒正）。
其次，根据“导数主部”的类型分层讨论：如果是一次型则先讨论最高次项系数是否为0（即是否为常函数），再讨论系数正负，最后看零点是否在定义域内；如果是二次型再看是否能分解因式，可因式分解则先讨论二次项系数（是否为一次函数），再求根，比较两根大小关系（若含参），最后结合开口方向，用数轴标根法判断符号。不可因式分解则讨论判别式（有无实根），若判别式大于0，再讨论根与定义域的关系。
总之，要遵循“先类型，再根的分布，后符号”的逻辑顺序，做到分类不重不漏。

【变式2-1】(2025·甘肃·模拟) 已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【变式2-2】(2025·安徽·模拟)已知函数．
(1)当时，求函数的最大值；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)若函数的图像关于点中心对称，求实数的值．
【变式2-3】(2025·广东·模拟) 已知函数.
(1)若，求的零点；
(2)若，讨论的单调性；
(3)若，为自然对数的底数，证明：.
题型03导数与函数的极值及最值问题
【例3-1】(2025·山东·模拟)已知，其中．
(1)当时，求证：是函数的极小值点；
(2)求在上的最小值.
【例3-2】(2025·江苏·模拟)已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数的最小值为0，求的值.

1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
2．利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【变式3-1】设函数，其中.
(1)当时，曲线在点处的切线斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
【变式3-2】(2025·广东·模拟)已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：若，则存在唯一的极小值，且.
【变式3-3】(2025·河南·模拟)已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若（为的导函数），求函数在区间上的最大值；
(3)若函数有两个极值点，，证明：．
题型04 导数与函数零点问题
【例4-1】(2025·安徽·模拟)已知函数，．
(1)若，求过原点且与函数图象相切的直线方程；
(2)若函数有两个零点，求a的取值范围．
【例4-2】(2025·湖南·模拟)已知函数．
(1)若直线与曲线相切，求的值；
(2)讨论的零点个数；
(3)若方程有两个解 证明:使得
处理导数与零点问题，核心在于“数形转化”与“分类讨论”。
首先，利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及端点值，结合零点存在性定理，判断函数图象与x轴的交点情况。
其次，对于含参问题，优先尝试“分离参数法”，将问题转化为求函数值域或直线与曲线交点个数；若分离困难，则需根据参数对导数符号的影响进行分类讨论，确定函数单调区间，进而分析零点个数。
此外，对于隐零点问题，可采用“设而不求”的策略，利用极值点处的导数为零进行代换，简化后续推理。
【变式4-1】 (2025·云南·模拟)已知函数．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若与的图象有公共点，求的取值范围．
【变式4-2】(2025·广东·模拟)已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有三个零点，求的取值范围.
【变式4-3】(2025·陕西·模拟)已知，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，讨论的零点个数.
题型05 导数与不等式恒（能）成立及证明问题
【例5-1】(2025·青海·模拟)已知函数，．
(1)若，证明：；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
【例5-2】 (2025·陕西·模拟)已知函数，．
(1)若，求函数的最小值；
(2)设函数，讨论函数的单调区间；
(3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围．
解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：
(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．
(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.
【变式5-1】(2025·广东·模拟)已知函数.若，若，为自然对数的底数，证明：.
【变式5-2】(2025·青海·模拟)已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若，恒成立，求的取值范围．
【变式5-3】(2025·安徽·模拟)已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围.
题型06 导数与双变量问题
【例6-1】已知函数的图象在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)求证：当时，.
【例6-2】 (2025·江西·模拟)已知函数.
(1)证明：曲线在点处的切线恒过定点，并求出该定点坐标；
(2)若存在使得，记的导函数为.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
破解双参数不等式的方法：
1.转化：由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
2.巧构函数：构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
3.双参的不等式的证明：把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
【变式6-1】(2025·甘肃·模拟)已知函数，且曲线在点处的切线方程为.
(1)求实数的值.
(2)当时，证明：当时，.
(3)当时，若存在，使得成立，证明：.
【变式6-2】(2025·海南·模拟)已知函数，当时，的切线斜率．
(1)求的单调区间；
(2)已知，若，求证：若，则．
【变式6-3】(2025·浙江·模拟)已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有三个不同的零点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）若，证明：.
题型07 极值点偏移问题与拐点偏移问题
【例7-1】(2025·云南·模拟)已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若，且，证明：．
【例7-2】(2023·黑龙江·模拟)已知函数（a为常数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：.
(3)若有两个零点，，证明：.
极值点偏移问题的常见解法
1.对称化构造法：构造辅助函数：
①对结论x1+x2>2x0型，构造函数.
②对结论型，方法一是构造函数，通过研究的单调性获得不
等式；方法二是两边取对数，转化成lnx1+lnx2>2lnx0，再把lnx1，lnx2看成两变量即可.
2.比值代换法：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.
【变式7-1】(2025·河南·模拟)知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)若存在两个不同的，满足，证明：.
【变式7-2】(2025·陕西·模拟)已知函数.
(1)若，求的单调区间.
(2)若是函数的两个零点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
【变式7-3】(2025·广东·模拟)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且存在两个极值点．
①求的取值范围；
②设的两个极值点为，证明：．
题型08 导数与三角函数、数列综合
【例8-1】(2025·云南·模拟)已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，讨论函数在上的单调性和零点个数．
【例8-2】(2025·四川·模拟)已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)讨论在区间上的单调性；
(3)设，证明：．
1. 导数与三角函数综合:
分段分析：利用三角函数的有界性与周期性，以特殊角（如）为界分段讨论单调性。
切线放缩：熟记经典不等式（如时），通过切线或二次函数放缩将超越函数转化为代数不等式证明。
同构思想：识别等复合结构的对称性或利用辅助角公式化简。
2. 导数与数列综合
函数桥梁法：将数列通项视为定义在自然数中的函数，利用导数研究其单调性、凹凸性，进而确定性质。
裂项放缩法：构造辅助函数，利用拉格朗日中值定理或切线不等式，将数列通项放缩为可裂项相消的形式，解决数列求和不等式。
不动点法：对于递推数列，通过研究函数 的不动点及单调性，分析数列的收敛性或求通项范围。

【变式9-1】(2025·辽宁·模拟)已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若时，，求的取值范围．
【变式9-2】(2025·湖北·模拟)已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)求证：.
【变式9-3】(2025·陕西·模拟)已知函数，其导函数为.
(1)若的一个极值点为1，求的值，并判断该极值点是极大值点还是极小值点；
(2)讨论的单调性；
(3)证明：当且时，.
课后练习
1．(2025·海南·模拟)已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)当，求的最值．
2．已知轴是曲线在点处的切线.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调区间和极值.
3．(2025·江苏·模拟)已知函数，．
(1)当时，判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)若过原点存在两条直线与曲线相切，求实数a的范围．
4．(2025·内蒙古·模拟)已知函数，.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)已知，若有两个极值点，求的取值范围.
5．(2025·湖南·模拟)已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)判断的单调性；
(3)若在上有两个零点，求实数的取值范围．
6．(2025·云南·模拟)已知函数.
(1)若函数在处的切线方程为，求实数；
(2)若函数存在两个极值点（）
①求的取值范围；
②证明：
7．(2025·江苏·模拟)已知函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若直线是曲线的一条切线，求的值；
(3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
8．(2025·安徽·模拟)已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个正零点且，
（i）求证：；
（ii）当时，不等式恒成立，求证：.
9．(2025·河南·模拟)已知函数．
(1)若函数单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若函数有两个零点．
①求实数a的取值范围；
②证明：．
10．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)试比较与的大小；
(3)当时，数列满足，，，证明：.