2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-数列求和与综合问题（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-数列求和与综合问题（Word版解析版），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1.数列2n+2n－1的前100项和S100＝( )
A.2100＋9 998B.2101＋9 998
C.2100＋10 002D.2101＋10 002
解析：选B.2n+2n－1的前100项和为S100＝2+22＋…＋2100＋(1＋3＋5＋…＋199)＝21−21001−2＋1+199×1002＝2101＋9 998.
2.已知数列an的前n项和为Sn＝n2＋kn，且a3＝6，则数列1Sn的前10项和为( )
A.910B.109
C.1011D.1110
解析：选C.由已知有6＝a3＝S3－S2＝32+3k－22+2k＝k＋5，故k＝1.
所以1Sn＝1n2＋n＝(n+1)−nn(n+1)＝1n－1n+1，从而1S1＋1S2＋…＋1S10＝1－12＋12－13＋…＋110－111＝1－111＝1011.
3.已知数列an中，an＝2n−982n−99，则S＝a1＋a2＋…＋a97＋a98＝( )
A.96B.97
C.98D.99
解析：选C.S＝a1＋a2＋…＋a97＋a98＝9697＋9495＋…＋9695＋9897 ①，
S＝a98＋a97＋…＋a2＋a1＝9897＋9695＋…＋9495＋9697 ②，
①＋②得2S＝(9697＋9495＋…＋9695＋9897)＋(9897＋9695＋…＋9495＋9697)＝(9697＋9897)＋(9495＋9695)＋…＋(9695＋9495)＋(9897＋9697)＝2＋2＋…＋2＋2＝98×2，所以S＝98.
4.数列an中，an＝12n+1＋2n－1，Sn＝4，则n＝( )
A.51B.40
C.41D.50
解析：选B.an＝12n+1+2n－1＝12(2n+1－2n－1)，
故Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝12(3－1＋5－3＋…＋2n+1－2n－1)＝122n+1－1，故12(2n+1－1)＝4，解得n＝40.
5.定义：在数列an中，an+2an+1－an+1an＝d(n∈N*)，其中d为常数，则称数列an为“等比差”数列.已知“等比差”数列an中，a1＝a2＝1，a3＝3，则a24a22＝( )
A.1 763B.1 935
C.2 125D.2 303
解析：选B.因为数列an是“等比差”数列，所以an+2an+1－an+1an＝dn∈N*，
因为a1＝a2＝1，a3＝3，所以d＝a3a2－a2a1＝2，
所以有an+2an+1－an+1an＝2，an+1an－anan−1＝2，…，a3a2－a2a1＝2，
累加得an+2an+1－a2a1＝2n⇒an+2an+1＝2n＋1⇒anan−1＝2n－3n≥2，n∈N*，
因此有anan−1＝2n－3，an−1an−2＝2n－5，…，a2a1＝1，
累乘得ana1＝2n－32n－5…1⇒an＝1×3×5×…×2n－3，
所以a24a22＝1×3×5×…×41×43×451×3×5×…×41＝1 935.
二、多选题
6.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，设图②中第n行白心圈的个数为an，黑心圈的个数为bn，则下列说法正确的是( )
A.a3＝5
B.b3＝2
C.数列an－bn为等比数列
D.图②中第2 023行的黑心圈的个数是32 022−12
解析：选ACD.由题可得a3＝5，b3＝4，故A正确，B错误；
an＋bn＝3n－1，an+1＝2an＋bn，bn+1＝2bn＋an，且有a1＝1，b1＝0，
故有an+1＋bn+1=3an＋bn，an+1－bn+1＝an－bn，
所以an＋bn是以a1＋b1＝1为首项，3为公比的等比数列，
an－bn为常数列，且a1－b1＝1，
所以an－bn是以a1－b1＝1为首项，1为公比的等比数列，故C正确；
由上可得an＋bn＝3n－1，an－bn=1，故an＝3n−1+12，bn＝3n−1−12，所以b2 023＝32 022−12，故D正确.
7.对于给定数列cn，如果存在常数p，q使得cn+1＝pcn＋q对于任意n∈N*都成立，我们称数列cn是“H数列”.下列说法正确的有( )
A.若an＝2n＋1，n∈N*，则数列an是“H数列”
B.共bn＝3·2n－1，n∈N*，则数列bn是“H数列”
C.若数列an是“H数列”，则数列an＋an+1不是“H数列”
D.若数列an满足a1＝2，an＋an+1＝3t·2nn∈N*，t为常数，则数列an前2 024项的和为2t41 011－1
解析：选AB.对于A，因为an＝2n＋1，有an＋1＝2(n＋1)＋1，则an＋1＝an＋2，n∈N*，故数列an是“H数列”，故A正确；
对于B，因为bn＝3·2n－1，有bn＋1＝3·2n，则bn＋1＝2bn，n∈N*，故数列bn是“H数列”，故B正确；
对于C，若数列an是“H数列”，则存在实常数p，q使得an＋1＝pan＋q对于任意n∈N*都成立，显然an+2＝pan+1＋q对于任意n∈N*都成立，
因此an+2＋an+1＝pan+1＋an＋2q对于任意n∈N*都成立，
故数列an＋an+1也是“H数列”，对应的实常数分别为p，2q，故C不正确；
对于D，因为an＋an+1＝3t·2nn∈N*，
则a1＋a2＝3t·21，a3＋a4＝3t·23，…，a2 023＋a2 024＝3t·22 023，
所以数列an前2 024项的和为S2 024＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2 023＋a2 024，
S2 024＝3t·21＋3t·23＋…＋3t·22 023＝3t·2(1−41 012)1−4＝2t(41 012－1)，故D错误.
三、填空题
8.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列an的通项公式为an＝n2−12，n为奇数，n22，n为偶数，若bn＝－1nan，则数列bn的前30项和为 .
解析：由题意知an＝n2−12，n为奇数，n22，n为偶数，bn＝－1nan，
故数列bn的前30项和为－a1＋a2－a3＋a4－…－a29＋a30＝－12−12＋222－32−12＋422－…－292−12＋3022＝22−122＋42−322＋…＋302−2922＋152＝12(3＋7＋11＋…＋59)＋152＝12×15(3+59)2＋152＝240.
答案：240
9.某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20％，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了 万个充电桩；从第1年起，约 年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个(结果保留到个位).
(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
解析：由题意可知第3年新建设2×1+0.22＝2.88万个充电桩；
假设第n年后充电桩总量达到30万个，则2＋2×1+0.2＋…2×1+0.2n－1≥30，
即21−1.2n1−1.2≥30⇒1.2n≥4，取对数得n≥2lg2lg6－lg5≈0.602lg2+lg3−1−lg2≈≈7.62，
即约8年内，可达到要求.
答案：2.88 8
四、解答题
10.已知等差数列an的公差d＞0，且满足a1a5＝64，a3＝10，记Sn是数列bn的前n项和，且满足Sn＝2bn－1.
(1)求数列an的通项公式；
(2)令cn＝an＋bn，求数列cn的前n项和Tn.
解：(1)由题意得a1a1+4d=64，a1+2d=10，解得a1=4，d=3，
∴an＝4＋(n－1)×3＝3n＋1，
即数列an的通项公式是an＝3n＋1.
(2)∵Sn＝2bn－1 ①，
当n＝1时，b1＝S1＝2b1－1，得b1＝1，
当n≥2时，Sn－1＝2bn－1－1 ②，
由①－②得，bn＝Sn－Sn－1＝(2bn－1)－(2bn－1－1)，
化简得，bn＝2bn－1，即bnbn−1＝2n≥2，
∴数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴bn＝2n－1，
∴cn＝an＋bn＝3n＋1＋2n－1，
∴Tn＝n4+3n+12＋1×1−2n1−2＝3n2+5n2＋2n－1＝2n＋32n2＋52n－1.
11.(2025·广东惠州一模)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn＝n2n∈N*.数列bn是公比为3的等比数列，且b1＝a1.
(1)求数列an和数列bn的通项公式；
(2)令cn＝an·bn，求数列cn的前n项和Tn.
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝n2－n2＋2n－1＝2n－1，
当n＝1时也符合上式，所以an＝2n－1，
b1＝a1＝1，所以bn＝3n－1.
(2)cn＝an·bn＝2n－13n－1，
所以Tn＝1＋3×31＋5×32＋…＋2n－1×3n－1，
3Tn＝3＋3×32＋5×33＋…＋2n－1×3n，
两式相减得－2Tn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－2n－13n＝1＋2×31−3n−11−3－2n－13n＝－2＋2－2n3n，
所以Tn＝(n－1)3n＋1.
[创新题]
12.著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数f(x)，若数列xn满足xn＋1＝xn－f(xn)f'(xn)，则称数列xn为牛顿数列，若函数f(x)＝x2，an＝lg2xn，且a1＝1，则a8＝ .
解析：∵f(x)＝x2，∴f'(x)＝2x，
∴xn+1＝xn－f(xn)f'(xn)＝xn－xn22xn＝xn－12xn＝12xn，
∴an+1＝lg2xn+1＝lg212xn＝lg2xn＋lg212＝lg2xn－1＝an－1，
即an+1－an＝－1，又a1＝1，
∴数列an为等差数列，公差为－1，首项为1，
∴a8＝a1＋7d＝1－7＝－6.
答案：－6
13.数列Ln为：1，3，4，7，11，18，29，…，即L1＝1，L2＝3，且Ln+2＝Ln+1＋Ln.记Sn为数列Ln的前n项和，则S40－L42＝ ；记数列Ln的各项依次被4除所得余数所形成的数列为an，则数列an的前2 024项和为 .
解析：由题意可知，L42＝L41＋L40＝L40＋L39＋L38＋L39＝L40＋L39＋L38＋L37＋L38＝L40＋L39＋L38＋L37＋L38＝(L40＋L39＋L38＋L37)＋L36＋L37＝(L40＋L39＋L38＋L37＋L36)＋L37…＝(L40＋L39＋L38＋…＋L1)＋L2＝S40＋L2，
所以S40－L42＝－L2＝－3；
数列Ln的各项依次被4除所得余数为1，3，0，3，3，2，1，3，0，3，3，2，…，
发现余数的周期为6，前6项的和为1＋3＋0＋3＋3＋2＝12，
2 024＝337×6＋2，2 024项包含337个周期，余2个数，
所以数列an的前2 024项的和为337×12＋1＋3＝4 048.
答案：－3 4 048