2026届高考数学二轮复习训练 重难点突破 解三角形图形类问题（2份，原卷版+教师版）

这是一份2026届高考数学二轮复习训练 重难点突破 解三角形图形类问题（2份，原卷版+教师版），文件包含2026届高考数学二轮复习训练重难点突破解三角形图形类问题原卷版docx、2026届高考数学二轮复习训练重难点突破解三角形图形类问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
解决三角形图形类问题的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
题型一：妙用两次正弦定理
【例题1-1】如图，四边形中，，，设.
（1）若面积是面积的4倍，求；
（2）若，求.
【解析】（1）设，则，，，由题意，
则，所以.
（2）由正弦定理，中，，即①
中，，即②
①÷②得：，化简得，所以.
【例题1-2】如图，四边形中，，，设．
（1）若面积是面积的倍，求;
（2）若，求.
【解析】（1）设，则，，，
由题意，则，所以.
（2）由正弦定理，在中，，即①
在中，，即②
②÷①得：，，化简得，
所以.
【变式1-1】如图，在平面四边形ABCD中，.
(1)当时，求的面积.
(2)当时，求.
【解析】（1）当时，在中，，
由余弦定理得，即，解得，
所以，因为，则，
又，所以的面积是.
（2）在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
则，整理得，因为，所以，
因为，所以.
【变式1-2】在平面四边形中，，.
（1）若，，求的长；
（2）若，求的值.
【解析】（1）在中，因为，所以，在中，，
在中，由余弦定理得，
所以.
（2）设，在中，，
因为，所以，
于是，
因为，所以，，
在中，由正弦定理得，所以，
于是，即，
所以，因为，所以.
【变式1-3】记的内角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求；
(2)若点在边上，且，，求.
【解析】（1）因为，
由余弦定理可得，
化简可得，由余弦定理可得，
因为，所以，.
（2）因为，则为锐角，所以，，
因为，所以，，
所以，，
设，则，
在和中，由正弦定理得，，
因为，上面两个等式相除可得，
得，即，
所以，.
题型二：两角使用余弦定理
【例题2-1】如图，在梯形ABCD中，，．
(1)求证：；
(2)若，，求梯形ABCD的面积．
【解析】（1）连接BD．
因为，所以．
在中，由正弦定理得，①
在中，由正弦定理得，②
由，，结合①②可得．
（2）由（1）知，，
，又，所以，则．
连接BD，
在中，由余弦定理得
；
在中，由余弦定理得，
所以，解得或．
当时，连接AC，在中，由余弦定理，得
，所以，而此时，故不满足题意，经检验满足题意，此时梯形ABCD的高，
当时，梯形ABCD的面积；所以梯形ABCD的面积为．
【变式2-1】在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角；
(2)若点在上，，，求的值.
【解析】（1）因为，
所以，解得或（舍去），
所以，即，
因为，所以.
（2）如图，因为，，设，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，
即，所以，
所以，因为，所以，所以.
题型三：张角定理与等面积法
【例题31】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且，，求△ABC的面积．
【解析】（1）因为
所以根据正弦定理得：即
由余弦定理得：故
又所以．
（2）因为AD是△ABC的角平分线，由，
得：，所以
故．
【例题3-2】在中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若D为上点，平分角A，且，，求．
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理，可得，又因为，可得．
（2）因为D为上点，平分角，则，
又由，可得，
又因为，可得，解得，因为，所以．
【变式3-1】如图，在中，，，且点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若，，求的面积．
【解析】（1）由，可得，
所以或（舍去），所以，
因为，所以，由正弦定理可得：，所以．
（2）由，得，所以，
因为，，所以，由余弦定理得，
即，，可得或（舍去），所以，
所以．
【变式3-2】如图，在中，，，点在线段上.
（1）若，求的长；
（2）若，的面积为，求的值.
【解析】（1）∵，∴，又∵，∴.
在中，，∴.
（2）∵，∴，，
又，∴，∵，∴，
∵，，，∴，
在中，由余弦定理得.∴，∴.
【变式3-3】已知锐角的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，角的平分线交于点，，求的面积．
【解析】（1）因为，由正弦定理得，整理得，
又由余弦定理得．因为，所以．
（2）如图所示，因为，所以．
又因为，所以．
由余弦定理得，
联立方程组，可得，即，解得或（舍去），
所以．
题型四：角平分线问题
【例题4-1】在中，已知，的平分线与边交于点，的平分线与边交于点，.
(1)若，求的面积；
(2)若，求.
【解析】（1）因为，所以，
则，则.
设，则，在中，由余弦定理得，
即，即，又，所以，
所以的面积.
（2）因为，，所以，，因为，所以，
在中，由正弦定理得，即，所以.
【例题4-2】锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，
(1)求的值及的面积；
(2)的平分线与BC交于D，，求a的值．
【解析】（1）根据题意，结合正弦定理边角互化得，
即，因为B，，所以，，
所以，因为在锐角中， ，所以．
所以，因为，所以，解得，
所以的面积.
（2）因为的平分线与BC交于D，，所以，
即，所以，由于，
所以，所以，所以．
【变式4-1】如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，角C的平分线交AB于点D，且，.

(1)求的大小；
(2)求.
【解析】（1）由正弦定理得，
即，
因为，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，所以.
（2）已知角C的平分线交AB于点D，且，.
在中，由正弦定理得,在中，由正弦定理得,
因为，，所以，
所以.设，由余弦定理得，
即，解得，因为，
所以,解得.
题型五：中线问题
【例题5-1】已知中角 、、所对的边分别为、、，且满足，．
(1)求角A；
(2)若，边上中线，求的面积．
【解析】（1） ，
所以由正弦定理得，
，，即，
，，，；
（2）， 则， 即，
而，边上中线，故，解得，
．
【例题5-2】在△ABC中，D是边BC上的点，，，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍．
(1)求△ACD的面积；
(2)求△ABC的边BC上的中线AE的长．
【解析】（1）由已知及正弦定理可得：，
化简得：．
又因为：，所以， 所以，所以△ACD的面积为．
（2）由（1）可知，因为AE是△ABC的边BC上的中线，所以，
所以，
所以△ABC的边BC上的中线AE的长为．
【变式5-1】在中，内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.
【解析】（1）因为，所以，所以，
即，所以，由余弦定理及得：，
又，所以，即，所以，
所以.
（2）由，所以，由（1），所以，
因为为边上的中线，所以，
所以，
所以，所以边上的中线的长为：.
【变式5-2】中，已知.边上的中线为.
(1)求；
(2)从以下三个条件中选择两个，使存在且唯一确定，并求和的长度.
条件①：；条件②；条件③.
【解析】（1）因为，则，
，
又，解得：，故.
（2）由（1）得，又余弦定理得：，所以，
而条件①中，所以，显然不符合题意，即条件①错误，
由条件②，条件③，解得，
由余弦定理可得，所以.
在中，由正弦定理可得，解得，
又，所以，因为为边上的中线，所以，
在中，由余弦定理可得，解得.
故.
【变式5-3】在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
问题：已知中，分别为角所对的边，__________.
(1)求角的大小；
(2)已知，若边上的两条中线相交于点，求的余弦值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）若选①，，由正弦定理得，又，
则，又，即，又，则；
若选②，由正弦定理得，又，则，
即，则，又，则；
（2）以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，易得，由可得，则，则，
则.
题型六：高问题
【例题6-1】已知的内角A，，的对边分别为，，，，.
(1)若，证明：；
(2)若边上的高为，求的周长.
【解析】（1）由已知可得，
由正弦定理可得，，所以有.
又，所以，.
又，所以.，
，.
又，，函数在上单调递减，则.
（2）由题意得的面积.又，则.
由余弦定理，
得，所以，.
所以，的周长为.
【例题6-2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．
(1)求；
(2)若，边上的高线长，求．
【解析】（1）由已知得
；
（2），，，，，，
，
，，又，
，，，
，
.
【变式6-1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，且BC边上的高为，求a．
【解析】（1）因为，所以由余弦定理得，
由正弦定理得，由于，
整理得．
又因为，所以，即，
因为，所以，所以，即．
（2）由得，又，所以，，
由余弦定理知，解得.
题型七：重心性质及其应用
【例题7-1】记的内角的对边分别为，已知为的重心．
(1)若，求的长；
(2)若，求的面积．
【解析】（1）因为，所以，，
所以，
因为，所以，因为， 所以，，
因为，整理得，解得，所以
（2）由（1）知，记边的中点为
因为为的重心，，所以，边上的中线长为，即，
因为，所以，
因为，所以，当为锐角时，，则由得，解得或，不满足题意，舍去；
当为钝角时，，则由得，解得或，
所以，当，的面积为
当，的面积为.
【例题7-2】在中，内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角的大小
(2)若，点是的重心，且，求内切圆的半径．
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
又，所以，所以，即，
又，所以，所以，解得
（2）因为点是的重心，所以，
所以，
即，解得或舍．
由余弦定理得，解得．
设内切圆的圆心，半径为，则即，
即，解得，即内切圆的半径为．
【变式7-1】设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，，．
(1)求AD的长度；
(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度．
【解析】（1）依据题意，由可得，
则，，，，
解得， ，解得AD为
（2）G为的重心，，，
，，，， ，
题型八：外心及外接圆问题
【例题8-1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为2的等差数列.
(1)若，求的面积.
(2)是否存在正整数b，使得的外心在的外部?若存在，求b的取值集合；若不存在，请说明理由.
【解析】（1），由正弦定理得，
a，b，c是公差为2的等差数列，，，
，，，，，
，且，，故的面积为.
（2）假设存在正整数b，使得的外心在的外部，则为钝角三角形，
依题意可知，则C为钝角，则，
所以，解得，，，，
存在正整数b，使得的外心在的外部，此时整数b的取值集合为.
【例题8-2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；，.
（1）求的值；
（2）若的外心在其外部，，求外接圆的面积.
【解析】（1）依题意，由余弦定理得，
，，，所以或.
当时，. 当时，.
（2）若的外心在其外部，则不符合题意.
当时，，为钝角，符合题意.
，设三角形外接圆的半径为，
由正弦定理得，所以外接圆的面积为.
【变式8-1】在中，角，，对应的三边分别为，，，，，，为的外心，连接，，．
（1）求的面积；
（2）过作边的垂线交于点，连接，试求的值．
【解析】（1）

在中，，则，，
(是到的距离）
（2）
又 ，
题型九：两边夹问题
【例题9-1】在中，角所对的边分别为，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，即，
所以，可得，
所以，由正弦函数与余弦函数的性质，可得且，
因为且，所以，解得，所以，
又由正弦定理可得.故选：C.
【例题9-2】在中，、、分别是、、所对边的边长.若，则的值是（ ）.
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，即
所以，所以，所以，故选B.
【变式9-1】在中，已知边、、所对的角分别为、、，若，，则的面积______.
【答案】
【解析】正弦定理得，由余弦定理得，
即，因为，故，
故可得，当且仅当，即时取得.也即当时取得等号，
所以，即.所以的面积为.故答案为：.
【变式9-2】在中，若，则角__．
【答案】
【解析】，，
即，，，
，等价于且，
为的内角，所以且，即．则是等腰直角三角形，．
故答案为：．
【变式9-3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设S是△ABC的面积，若﹣，则角A的值为_______．
【答案】
【解析】在中，由三角形的面积且，所以，
又由余弦定理，所以，
即，
由于，所以，则，
根据三角函数的值域，可知只有，所以，即，故答案为.
题型十：内心及内切圆问题
【例题10-1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，I为△ABC的内心，延长线段AI交BC于点D，此时
(1)求；
(2)若∠ADB=，求.
【解析】(1)I为△ABC的内心，则，
根据正弦定理：，，
，故，故.
(2)设，则，，，故，
化简得到，，故，，，，
故
【例题10-2】已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，,.
(1)求；
(2)若，M为的内心，求的面积.
【解析】（1），由正弦定理得，
∴，得，∴，
∵A为三角形内角，，∴.
（2）由（1）可得，
∵，∴，，
∴，，由正弦定理，解得，，
则有.
设内切圆半径为r，则，，∴.
【例题10-3】在中，角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求的值；
(2)若的内切圆半径为，，求．
【解析】（1）因为，所以，
即，又，所以，所以，
又，即.
（2）由余弦定理得，①
设的内切圆半径为，由等面积公式得．即．
整理得，② 联立①②，解得，，所以．
【变式10-1】在中，角、、所对的边分别为、、，已知.
(1)求；
(2)若，的内切圆半径为，求的周长.
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，①
因为，所以，
代入①式整理得，
又因为、，，则，所以，
又因为，解得.
（2）由（1）知，，因为内切圆半径为，
所以，即，所以，②，
由余弦定理得，所以③，
联立②③，得，解得，所以的周长为.
【变式10-2】已知在中，其角、、所对边分别为、、，且满足．
(1)若，求的外接圆半径；
(2)若，且，求的内切圆半径
【解析】（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以，所以外接圆半径．所以.
（2）因为，由题可知，所以，
又因为，可得，
因为．由的面积，得．
解三角形图形类问题 随堂检测
1.在中，已知边所对的角分别为，若，则 _________________
【答案】
【解析】由正弦定理得 ，由余弦定理得,即 因为所以
2.在中，已知边所对的角分别为，若，则_____．
【答案】-1
【解析】由得
由正弦定理得 ，
由余弦定理得,即 因为所以
3.已知的内角，，的对边分别为，，，，，内切圆半径，则________.
【答案】
【解析】由所以 ①
，即 ②
由①②得，,.故答案为：
4.已知△ABC中，分别为内角的对边，且.
(1)求角的大小；
(2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积.
【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理及得：，..
由余弦定理得，又，所以
（2） 是的角平分线，，
由可得
因为，，即有，，故
5.如图，在平面四边形中，．
(1)若，求的面积；
(2)若，求．
【解析】（1）因为，由余弦定理得，即，由余弦定理得，
所以，所以的面积
（2）在中，由正弦定理得，即①，
在中，由正弦定理得，即②，
①②联立可得，因为，所以
6.如图，在梯形中，，.
(1)求证：；
(2)若，，求的长度.
【解析】（1）证明：在中，由正弦定理得，即，
因为，所以，所以，
在中，由正弦定理得，即，所以.
又，所以，即.
（2）由（1）知.在中，由余弦定理得
，故.所以.
在中，由余弦定理得，即，
整理可得，解得或.又因为为梯形，所以.
7.在中，角所对的边分别为，，．
(1)求的值；
(2)若，求边上中线的长．
【解析】（1）由正弦定理得：，
，
，，，又，，解得：.
（2），，
由余弦定理得：，
，，
，即边上中线的长为.
8.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若．
(1)求A；
(2)若BC上的高，求．
【解析】（1）由题意得：，
则由余弦定理得，因为,所以．
（2）由，则，所以，
则由正弦定理得，则，
又，
即，则．
9.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且.
(1)求角C的大小；
(2)若的平分线交AB于点D，且，，求的面积.
【解析】（1）由已知可得，
,整理得，，
因为，所以，所以，即，因为，所以.
（2）由题意得，,即，所以.
法一：在中，，
所以.在中，，所以，
即，将代入整理得，解得或.
若，则，，,，
所以在中，得,
同理可得,即和都为钝角，不符合题意，排除.
所以，，.
法二：因为，所以，所以. 因为，所以，所以.