2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-圆锥曲线的方程与性质（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-圆锥曲线的方程与性质（Word版解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1.(2025·云南红河三模)已知椭圆C：x2m2＋y26＝1的右焦点为F2，0，则C的长轴长为( )
A.10B.210
C.2D.22
解析：选B.因为椭圆C的右焦点为F2，0，所以c＝2，且焦点在x轴上，所以m2－6＝4，解得m＝±10，所以椭圆C的长轴长为210.
2.(2025·陕西渭南二模)若双曲线x22m－y2m－6＝1的焦距为6，则m＝( )
A.5或－1B.3
C.5D.－1
解析：选D.若双曲线x22m－y2m－6＝1的焦点在x轴上，
依题意可得2m>0，m－6>0，2m＋m－6=9，解得m∈⌀；
若双曲线x22m－y2m－6＝1的焦点在y轴上，
依题意可得2m0的一条渐近线过点1，2，则C的离心率为( )
A.3B.5
C.6D.22
解析：选B.双曲线C：x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，依题意得ba＝2，
所以C的离心率为e＝a2＋b2a＝1+(ba)2＝5.
4.(2025·辽宁大连一模)设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点Pm，n在C上，且PF1·PF2≤0，则m的取值范围是( )
A.－72，72
B.－72，－1∪1，72
C.－2，2
D.[－2，－1]∪[1，2]
解析：选B.点Pm，n在C上，则m2－n23＝1，且m≤－1或m≥1，
因为F1－2，0，F22，0，则PF1＝(－2－m，－n)，PF2＝2－m，－n，
则PF1·PF2＝－2－m2－m＋n2＝m2＋n2－4＝4m2－7≤0，解得－72≤m≤72，
故－72≤m≤－1或1≤m≤72.
5.已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0).过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点.若△ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为( )
A.x216＋y215＝1B.x28＋y27＝1
C.x23＋y24＝1D.x24＋y23＝1
解析：选D.因为椭圆C的焦点为F1－1，0，F21，0，所以c＝1；
又过点F1的直线与C交于A，B两点，△ABF2的周长为8，
则根据椭圆定义可得，AF2＋BF2＋AB＝AF2＋BF2＋AF1＋BF1＝4a＝8，
解得a＝2，因此b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.
6.已知点M在抛物线C：y2＝4x上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，则线段MF的长为( )
A.1B.2
C.3D.4
解析：选C.如图，不妨设点M在第一象限，依题知ON是△KMF的中位线，
可知｜MF｜＝2｜ON｜，过M，N向准线做垂线，垂足分别为M1，N1，
同理NN1是△KMM1的中位线，｜MM1｜＝2｜NN1｜，
由抛物线定义知｜MM1｜＝｜MF｜，｜NN1｜＝｜NF｜，故得｜ON｜＝｜NF｜，
又F(1，0)，则N点横坐标是12，代入y2＝4x可得其纵坐标为2，
故｜ON｜＝(12)2＋(2)2＝32，｜MF｜＝3.
7.(2025·辽宁沈阳二模)已知双曲线C的离心率为2，F1，F2为C的两个焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则PF1OP＝( )
A.62B.3
C.2D.5
解析：选D.根据题意，e＝ca＝2，则c＝2a，b＝c2－a2＝a，
可知渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，且F22a，0，
则PF2＝2a2＝a，F1F2＝22a，∠POF2＝π4，
可得OP＝OF22－PF22＝a，∠PF2F1＝π4，
在△PF1F2中，由余弦定理可得PF12＝PF22＋F1F22－2PF2·F1F2·cs∠PF2F1＝a2＋8a2－2a×22a×22＝5a2，
即PF1＝5a，所以PF1OP＝5.
8.(2025·湖北武汉三模)已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝16，圆C2：(x－1)2＋y2＝r2(0＜r＜2)，动圆M与圆C1，圆C2都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为e1，e2，则1e1＋1e2的值为( )
A.2B.4
C.6D.8
解析：选B.C1－1，0，C21，0，如图1，动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，
此时MN＝MT，TC1＝4，NC2＝r，
MC1＋MC2＝MC1＋MN＋NC2＝MC1＋MT＋NC2＝TC1＋NC2＝4＋r＞C1C2，
故圆心M的轨迹为以C1－1，0，C21，0为焦点的椭圆方程，此时2a1＝4＋r，
故a2＝2＋12r，故离心率为e1＝ca1＝12+12r，
如图2，当动圆M与圆C1，C2均内切，
C1W＝4，C1W＝C1M＋MW，MW＝MQ，MQ＝MC2＋QC2＝MC2＋r，
则MC1＋MC2＝C1W－MW＋MC2＝C1W－MQ＋MC2＝4－(MQ－MC2)＝4－QC2＝4－r＞C1C2，
故圆心M的轨迹为以C1－1，0，C21，0为焦点的椭圆方程，此时2a2＝4－r，
故a2＝2－12r，故离心率为e2＝ca2＝12－12r，
1e1＋1e2＝2＋12r＋2－12r＝4.
二、多选题
9.椭圆C：x2m2+1＋y2m2＝1m>0的焦点为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与椭圆C的另一个交点为B，若∠F1AF2＝π3，则( )
A.椭圆C的焦距为2
B.△ABF2的周长为8
C.椭圆C的离心率为32
D.△BF1F2的面积为335
解析：选ABD.由题意可知，∠F1AF2＝π3，｜AF1｜＝｜AF2｜＝a，故△AF1F2为等边三角形，则a＝2c，b＝3c，
又a2－b2＝m2＋1－m2＝1，所以c＝1，b＝3，a＝2，所以焦距2c＝2，A正确；
离心率e＝ca＝12，C错误；
由椭圆定义可知，△ABF2的周长为4a＝8，B正确；
设BF1＝x，则BF2＝4－x，又∠BF1F2＝2π3，
由余弦定理可得4－x2＝4＋x2－4xcs∠BF1F2，解得x＝65，
所以S△BF1F2＝12BF1F2F1sin2π3＝12×65×2×32＝335，D正确.
10.(2025·广西南宁二模)已知点A(1，2)在双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上，则下列结论正确的是( )
A.C的实轴长小于2
B.C的渐近线方程可能为y＝±3x
C.C的离心率大于5
D.C的焦距不可能为4
解析：选AC.将A(1，2)代入C：x2a2－y2b2＝1可得1a2－4b2＝1，
对于A：1a2＝4b2＋1＞1，故a2＜1，因此0＜a＜1，所以实轴长为2a，则2a＜2，故A正确；
对于B：渐近线方程为y＝±bax，若渐近线方程为y＝±3x，则ba＝3，结合1a2－4b2＝1可得1a2－43a2＝1，则13a2＝－1，该方程无实数根，故渐近线方程不可能为y＝±3x，故B错误；
对于C：离心率为e＝ca＝1+b2a2＝1+4b2+1b2＝5+b2＞5，故C正确；
对于D：若焦距为4，则2c＝2a2＋b2＝2b2b2+4＋b2＝4，故b2＝－1+652＜c2，故焦距可能为4，故D错误.
11.(2025·河南郑州一模)设抛物线C：x2＝2pyp>0的焦点为F0，1，过F的直线l交x轴的负半轴于点M，交抛物线C于A，B两点，AF＜BF，BF＝MF，过B作抛物线C的切线交x轴于点N，则( )
A.p＝2
B.直线l的斜率为24
C.AB＝9
D.△MBN的面积为32
解析：选ABD.因为F0，p2为0，1，所以p＝2，故A正确；
设M－m，0m>0，因此Bm，2，由m2＝4×2，从而m＝22，直线l的斜率为1m＝24，故B正确；
直线l的方程为y＝24x＋1，所以y＝24x+1，x2=4y⇒x2－2x－4＝0⇒(x－22)2＝92⇒x＝－2，y＝12或x=22，y=2，
因此可求得A－2，12，B22，2，可得AB＝－2－222＋12－22＝92，故C错误；
由y＝14x2，得y'＝12x，所以直线BN的斜率为y'x=22＝2，
方程为y＝2x－2，因此N2，0，所以△MBN的面积为12×MN×yB＝32，故D正确.
三、填空题
12.(2025·山东潍坊二模)若抛物线的准线与直线y＝1之间的距离是2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程： .
解析：依题意，抛物线的准线与直线y＝1平行，且距离为2，故抛物线的准线方程为y＝3或y＝－1，
当抛物线的准线方程为y＝3时，抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且p2＝3，p＝6，故抛物线方程为：x2＝－12y；
当抛物线的准线方程为y＝－1时，抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且p2＝1，p＝2，故抛物线方程为：x2＝4y.
综上可知，满足条件的抛物线的标准方程可以是x2＝－12y或x2＝4y.
答案：x2＝4y或x2＝－12y(填一个答案即可)
13.(2025·河北邯郸模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1a＞b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2向圆O：x2＋y2＝b2引一条切线交椭圆C于点M，连接F1M，如图，若F1M⊥MF2，则椭圆C的离心率e＝ .
解析：设直线F2M与圆O切于点N，则ON⊥MF2，
由F1M⊥MF2，则ON∥MF1，
所以ON＝b，MF1＝2b，MF2＝2a－2b，
由勾股定理得F1M2＋F2M2＝F1F22，
即4b2＋4(a－b)2＝4c2＝4a2－b2，解得b＝23a，
则c2＝a2－b2＝59a2，所以e＝ca＝53.
答案：53
14.(2024·福建厦门一模)设△ABC是面积为1的等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，点P在△ABC所在的平面内，记△PCD与△PAB的面积分别为S1，S2，且S1－S2＝1.当｜PB｜＝10，且｜PA｜＞｜PB｜时，｜PA｜＝ ；记｜｜PA｜－｜PB｜｜＝a，则实数a的取值范围为 .
解析：以D为原点，AB为x轴正方向建立直角坐标系，
设P(x0，y0)，则S1＝12｜x0｜，S2＝｜y0｜，
所以12｜x0｜－｜y0｜＝1，则｜y0｜＝12｜x0｜－1.
当｜PB｜＝10，｜PA｜＞｜PB｜时，x0＞0，即｜PB｜2＝(x0－1)2＋y02＝10，
所以(x0－1)2＋(12x0－1)2 ＝10，即5x02－12x0－32＝0，可得x0＝4(负值舍)，则｜y0｜＝1，
故｜PA｜＝(x0+1)2＋y02＝26，
若｜｜PA｜－｜PB｜｜＝a＞0，结合双曲线定义知：P在以A，B为焦点的双曲线上，但不含顶点，
该双曲线为x2(a2)2－y21－(a2)2＝1，即4x2a2－4y24－a2＝1，
双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1，则双曲线与曲线12｜x｜－｜y｜＝1有交点，
即双曲线的渐近线和曲线12｜x｜－｜y｜＝1有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12，
所以0＜4－a2a2＜12⇒14＜1a2＜516⇒165＜a2＜4，故455＜a＜2，
所以实数a的取值范围为(455，2).
答案：26 (455，2)
[创新题]
15.(多选)将椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上所有的点绕原点旋转θ0