2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-圆锥曲线中的二级结论（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-圆锥曲线中的二级结论（Word版解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1.(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：x25＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2＝0，则PF1·PF2＝( )
A.1B.2
C.4D.5
解析：选B.方法一：因为PF1·PF2＝0，所以∠F1PF2＝90°，
从而S△F1PF2＝b2tan 45°＝1＝12×PF1·PF2，所以PF1·PF2＝2.
方法二：因为PF1·PF2＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2，
所以PF12＋PF22＝F1F22＝42＝16，
又PF1＋PF2＝2a＝25，平方得PF12＋PF22＋2PF1PF2＝16＋2PF1PF2＝20，所以PF1·PF2＝2.
2.已知椭圆G：x24＋y23＝1，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线AP，BP的斜率之积为( )
A.34B.43
C.－34D.－43
解析：选C.根据椭圆的第三定义可知kAP·kBP＝－b2a2＝－34.
3.双曲线E：x2a2－y2b2＝1a>0，b>0被斜率为4的直线截得的弦AB的中点为M2，1，则双曲线E的离心率为( )
A.2B.3
C.2D.5
解析：选B.法一：设Ax1，y1，Bx2，y2，代入双曲线方程作差有：x1－x2x1＋x2a2＝y1－y2y1＋y2b2，
有b2a2＝(y1－y2)(y1＋y2)(x1－x2)(x1＋x2)＝2，
所以c2a2＝3，e＝3，
法二：kAB·kOM＝4×12＝b2a2，所以b2a2＝2，e＝3.
4.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，点A，B在C上，直线F1A倾斜角为π3，且F1A＝2F2B，则C的离心率为( )
A.13B.23
C.12D.23
解析：选D.根据题意，F1A∥F2B，所以直线F2B的倾斜角为π3，
由椭圆焦半径公式得F1A＝b2a－ccsπ3＝2b22a－c，F2B＝b2a＋ccsπ3＝2b22a＋c，
因为F1A＝2F2B，所以F1A＝2F2B，即2a＋c＝22a－c，化简得2a＝3c，所以e＝23.
5.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若BA＝4BF，则△AOB的面积为( )
A.833B.433
C.823D.423
解析：选B.设直线l的倾斜角为θ(0＜θ＜π)，
由题意知｜AF｜｜BF｜＝3，｜AF｜＝p1－csθ，｜BF｜＝p1+csθ，
所以1+csθ1－csθ＝3，解得cs θ＝12，则sin θ＝32，
又抛物线焦点弦弦长｜AB｜＝2psin2θ，
所以S＝12｜OF｜·｜AB｜·sin θ＝p22sinθ＝43＝433.
6.已知A1，A2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，若椭圆C上存在点M，使得∠A1MA2＝120°，则椭圆C的离心率e的取值范围为( )
A.(0，63］B.(0，32］
C.［63，1)D.［32，1)
解析：选C.当点M为椭圆的短轴的端点时，∠A1MA2最大，e≥1－ct2120°2＝63，又e∈(0，1)，所以C的离心率的取值范围为［63，1).
二、多选题
7.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1a>0，b>0的左、右焦点分别是F1，F2，其中｜F1F2｜＝2c，过右焦点F2的直线l于双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中正确的是( )
A.弦AB的最小值为2b2a
B.若｜AB｜＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k＝b2a2
D.若直线AB的斜率为3，则双曲线的离心率e∈2，＋∞
解析：选ABC.AB的最小值为通径为2b2a，故A正确；
由双曲线的定义得AF1＋BF1－AB＝4a，得AF1＋BF1＝4a＋m，所以△F1AB的周长AF1＋BF1＋AB＝2m＋4a，故B正确；
设Ax1，y1，Bx2，y2，则x12a2－y12b2=1，x22a2－y22b2=1，两式相减得x1＋x2x1－x2a2－y1＋y2y1－y2b2＝0，则1a2－y1＋y2b2x1＋x2·y1－y2x1－x2＝0，则1a2－1b2·kOM·k＝0，则kOM·k＝b2a2，故C正确；
若直线AB的斜率为3，所以ba＜3，所以b2＜3a2，所以c2＜4a2，所以1＜e＜2，故D不正确.
8.已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，则下列结论正确的是( )
A.若直线AB的倾斜角为45°，则｜AB｜＝8
B.若AF＝2FB，则直线AB的斜率为±23
C.若O为坐标原点，则B，O，C三点共线
D.CF⊥DF
解析：选ACD.若直线AB的倾斜角为45°，
则｜AB｜＝2psin245°＝8，故A正确；
设直线AB的倾斜角为θ，
若AF＝2FB，则｜cs θ｜＝2－12+1＝13，
故k＝tan θ＝±22，故B错误；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－1，y1)，
所以kOB－kOC＝y2y224＋y1＝4+y1y2y2＝4－p2y2＝0，
故B，O，C三点共线，故C正确；
设C(－1，y1)，D(－1，y2)，F(1，0)，
则CF·DF＝(2，－y1)·(2，－y2)＝4＋y1y2＝4－p2＝0，
故CF⊥DF，故D正确.
三、填空题
9.已知椭圆C：x24＋y2b2＝1(0＜b＜2)的右焦点为F，C外的一点A满足FA＝2OF(O为坐标原点)，过点A的直线与C交于P，Q两点，且AP＝PQ.若直线PQ，PF的斜率之积为－34，则b＝ .
解析：如图，取线段PQ的中点为M，连接OM，PF，
则由题意可得，PA＝2MP，
又FA＝2OF，所以PF∥MO.
因为直线PQ，PF的斜率之积为－34，
所以kPQ·kOM＝－34，即kPQ·kOM＝－b24＝－34，
所以b2＝3，所以b＝3.
答案：3
10.(2025·广东湛江一模)已知椭圆A：x2a12＋y2b12＝1a1＞b1>0与双曲线B：x2a22－y2b22＝1a2>0，b2>0具有相同的焦点F1，F2，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且OP＝12F1F2(O为坐标原点).设椭圆A与双曲线B的离心率分别为e1，e2，则2e12＋e22的最小值为 .
解析：因为OP＝12F1F2，
所以∠F1PF2＝π2.
设PF1＝m，PF2＝n(不妨设m＞n)，F1F2＝2c，
依题意有m＋n=2a1，m－n=2a2，m2＋n2=4c2，a12＋a22＝2c2，1e12＋1e22＝2，
所以22e12＋e22＝2e12＋e22·1e12＋1e22＝3＋e22e12＋2e12e22≥3＋22，
当且仅当e22＝2e12时等号成立，所以2e12＋e22≥32＋2，
所以2e12＋e22的最小值为32＋2.
答案：32＋2