2026届高考数学二轮复习解答题题型之一：三角函数与解三角形讲义及解析（6大题型）（word版）

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目录
第一部分
题型01 求三角函数解析式、求值、化简
题型02 解三角形（边长、角度、面积、周长）
题型03 三角形中的范围与最值问题
题型04 与平面向量、不等式结合的综合题
题型05 解三角形结合三角函数
题型06 几何图形中解三角形
第二部分 课后练习

题型01 求三角函数解析式、求值、化简
【例1-1】（2025·上海虹口·一模）已知，，设.
(1)当，时，试判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)当且函数的最小正周期为时，若在中，，求的取值范围.
【例1-2】（2025·四川成都·模拟预测）已知函数的最小正周期为.
(1)若，，求的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域.
一.函数图象的平移变换解题策略：
（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acs(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
二.由三角函数图像求解析式
结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法
（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.
（2）求ω，已知函数的周期T，则.
（3）求φ，常用方法有：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；
“第五点”为ωx＋φ=2π.
【变式1-1】（2025·广西柳州·一模）已知函数，设锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，，求b，c的值；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求的取值范围．
【变式1-2】（2025·广东佛山·一模）已知函数的最小正周期为，且
(1)求的解析式；
(2)设函数，求的值域和单调区间.
【变式1-3】（2025·浙江台州·一模）已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)若函数为偶函数，其中，求的最小值.
题型02 解三角形（边长、角度、面积、周长）
【例2-1】（2025·陕西西安·二模）在中，内角的对边分别为，且满足.
(1)求角的大小：
(2)若的周长为，求的边上的高.
【例2-2】（2025·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)若，，求的面积.
一、正、余弦定理和面积公式
1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2、面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
二、公式的相关应用
（1）正弦定理的应用
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①边化角，角化边
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②大边对大角 大角对大边
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③合分比：
（2）内角和定理：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③在中，内角成等差数列.
【变式2-1】（2025·云南楚雄·模拟预测）在中，已知内角所对的边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)若的面积为，求的周长.
【变式2-2】（2025·陕西西安·三模）如图，在平面四边形中，.

(1)若，求；
(2)求.
【变式2-3】（2025·广东·模拟预测）在中，设内角的对边分别为，满足的面积为.
(1)求；
(2)若，求的外接圆的面积.
题型03 三角形中的范围与最值问题
【例3-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积；
(3)求周长的取值范围．
【例3-2】（2025·河南·模拟预测）在中，内角的对边分别是，且.
(1)若，求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
一、三角形面积和周长的最值、范围问题
（1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化
周长
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
（3）求周长的模型：
（4）基本不等式
① ②(当且仅当时取“=”号)
（5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。
①和差角公式：，
②辅助角公式：
（其中）．
二、解题思路步骤
①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用
②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值
【变式3-1】（2025·内蒙古赤峰·一模）设的内角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
【变式3-2】（2025·江西景德镇·模拟预测）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的外接圆半径为1，设面积为，且
(1)求角；
(2)求的最大值.
【变式3-3】（2025·云南昆明·模拟预测）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)已知点在线段上，且，若，求面积的取值范围.
题型04 与平面向量、不等式结合的综合题
【例4-1】（2025·广东深圳·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)D为BC上一点，．
（i）若，求的值；
（ii）若，求面积的最大值．
【例4-2】（2025·吉林松原·模拟预测）已知向量，其中．
(1)若，求图象的对称轴；
(2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围；
(3)已知为锐角三角形，内角的对边分别为，若，求的取值范围．
一、中线问题
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长.
② 向量法：,平方即可；
③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③.
二、角平分线问题
△ABC中，AD平分∠BAC.
①角平分线定理：
证法1（等面积法），得
注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离.
证法2（正弦定理）
如图，，,而，整理得
②等面积法:
三、垂线问题
①等面积法：
②
③
【变式4-1】（2025·湖北孝感·模拟预测）在中，角所对的边分别是.已知，的面积为.
(1)求的最小值；
(2)若，为线段上一点当时，求的值；
【变式4-2】（2025·四川达州·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)设A与B存在函数关系，并记，求函数；
(2)求的取值范围.
【变式4-3】（25-26高二上·山东日照·开学考试）在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求证：；
(2)若，求；
(3)求的最小值．
题型05 解三角形结合三角函数
【例5-1】（2025·宁夏中卫·三模）已知，，.
(1)求函数单调递增区间；
(2)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且.求面积的最大值.
【例5-2】（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数的最大值为1．
(1)求使成立的的集合；
(2)记的内角的对边分别为，已知，的面积为，求的周长．
一、两角和与差的正余弦与正切
①； ②；
③；
二、二倍角公式
①； ②；
③；
三、降幂公式
四、辅助角公式
（其中）．
五、三角形角的关系
（1）中，, =
（2），
（3），
【变式5-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数（其中），相邻的极小值点和极大值点分别为和.
(1)求的解析式；
(2)在中，记角所对的边分别为.已知，且，求的面积.
【变式5-2】（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中.
(1)若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围；
(2)当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围.
【变式5-3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)在锐角中，设角所对的边分别是，若且，求周长的取值范围．
题型06 几何图形中解三角形
【例6-2】（2025·浙江温州·一模）△ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，且，，，记，△ABC的面积为.
(1)写出的解析式；
(2)求的最小值.
【例6-2】（25-26高三上·江西·期中）如图，四边形的对角线相交于点.

(1)求证：；
(2)已知.
①求四边形的面积；
②若与面积相等，求证：.
【变式6-1】（2025·江苏常州·模拟预测）在中，分别为角的对边，且满足．
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，设为的中点，若，且，求的面积．
【变式6-2】（25-26高三上·河北·月考）已知在中，，，所对的边分别为a，b，c，的平分线交于K.
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积.
【变式6-3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在平面四边形中，，，，.

(1)求的长.
(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.
课后练习
1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知函数，.
(1)求；
(2)求的最小值和单调区间.
2．（2025·安徽·一模）在中，角的对边分别为，满足，点是上的一动点，且.
(1)求角的大小；
(2)若为边上的高，且，求的面积；
(3)若为的角平分线，求的最小值.
3．（2024·广东深圳·模拟预测）在中，已知．
(1)求；
(2)若边上的高等于，求．
4．（2025·湖南湘潭·一模）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 向量，,点 M 在边BC上，AM 是角A 的平分线．
(1)求角A；
(2)求 AM 的长．
5．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）记斜的内角的对边分别为，已知，且．
(1)求角；
(2)为边的中点，若，求的面积；
(3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围．
6．（2025·全国·二模）记的内角的对边分别为，.
(1)求A；
(2)延长至，使，求的值.
定理
正弦定理
余弦定理
公式
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常见变形
(1)，，；
(2)，，；
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