24.2直角三角形的性质（教学课件）数学华东师大版九年级上册

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级上册直角三角形的性质教学ppt课件，共21页。PPT课件主要包含了学习目标，复习回顾，直角三角形的定义，直角三角形，知识导入，新知探究，∴ADDB，∴CEAB，你还有其他证法吗，典例解析等内容，欢迎下载使用。
掌握直角三角形的性质，包括直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及含30 ∘角的直角三角形中30 ∘ 角所对的直角边等于斜边的一半；能运用这些性质解决相关的几何问题。
通过动手操作、观察推理，经历直角三角形性质的探索过程，培养学生的逻辑推理能力、动手实践能力和归纳总结能力。
激发学生对几何知识的探索兴趣，体会数学知识的严谨性与实用性，培养学生的合作交流意识。
有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形。
直角三角形的两个已知性质：
直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理），即若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2
直角三角形除了我们已经知道的两个锐角互余、勾股定理这些性质外，还有没有其他特殊的性质呢？比如斜边上的中线与斜边有什么关系？含30°角的直角三角形的边又有什么特殊关系呢？今天我们就来探索直角三角形的其他性质。
探究1 探究直角三角形斜边上的中线的性质
1.动手操作，观察猜想
问题 1：如图 24.2.1，画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系？
发现：CD的长度大约是AB长度的一半
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
2.演绎推理，证明猜想
证明：延长 CD 至点 E,使 DE = CD, 连结 AE、 BE.
∵ CD 是斜边 AB 上的中线,
又 ∵ DE = CD,
∴ 四边形 ACBE 是平行四边形.
又 ∵ ∠ACB = 90°,
∴ 四边形 ACBE 是矩形,
由此,我们得到直角三角形的又一条性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
应用格式：∵　在Rt△ABC 中，　　D为AB的中点，　　
探究2 探究含30 ∘角的直角三角形的性质
(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).
（直角三角形的两个锐角互余）
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
证明：在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°．延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形．又∵AC⊥BD,
证明：在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
由此,我们得到:在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：∵　在Rt△ABC 中，　 　∠C =90°，∠A =30°，　　
已知直角三角形两条直角边的长分别为 1 cm 和 3 cm. 求斜边上中线的长。
根据勾股定理，求出斜边的长度
由直角三角形的性质，得出斜边上的中线长
解：∵AB=1cm,AC=3cm
数学思想：本题运用了勾股定理和直角三角形斜边上中线的性质，体现了综合运用知识解决问题的思想，将求中线长的问题转化为求斜边长度的问题。
判断垂直方向AD的距离是否大于20海里
解：如图，过点A作AD⊥OB于D点
数学思想：本题运用了方向角的知识和含30°角的直角三角形的性质，体现了建模思想，将实际的航海触礁问题转化为直角三角形的边长计算问题。
想一想：　图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？
如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， AB＋BC＝12 cm，则AB等于(　　) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
2.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°， AB⊥AD，则下列关系式正确的为(　　) A．BD＝CD B．BD＝2CD C．BD＝3CD D．BD＝4CD
3.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )A．6米 B．9米 C．12米 D．15米
4.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )A．300a元 B．150a元C．450a元 D．225a元
5.已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
6.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.