2026年人教A版高中数学必修第二册第八章检测试卷及答案

这是一份2026年人教A版高中数学必修第二册第八章检测试卷及答案，共11页。
第八章过关检测(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知四边形ABCD的直观图如图所示,其中B'C'∥A'D'∥x'轴,A'B'∥y'轴,若A'B'=2,A'D'=2B'C'=4,则原四边形的面积为(　　)A.43B.83C.12D.10答案:C解析:由题意可知,在原四边形中,AD=4,AB=4,BC=2,且∠BAD=90°,BC∥AD,故原四边形的面积S=AD+BC2·AB=12.2.已知圆锥的底面半径为1,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为(　　)A.3π3B.3πC.5π3D.5π答案:A解析:设圆锥的底面半径为r,母线长为R,高为h,则2πr=πR,因为r=1,所以R=2,所以h=R2-r2=3,所以圆锥的体积V=13π×12×3=33π.3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(　　)A.122πB.12πC.82πD.10π答案:B解析:过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设圆柱的底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以2r=l=22,即r=2,所以圆柱的表面积为2πrl+2πr2=8π+4π=12π.4.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列结论正确的是(　　)A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥βB.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥βC.若m∥n,m∥α,则n∥αD.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β答案:D解析:对于A,β与γ也可能相交,故A错误;对于B,α与β也可能相交,故B错误;对于C,n也可能在α内,故C错误;对于D,∵m∥n,m⊥α,∴n⊥α,又n⊥β,∴α∥β,故D正确.5.如图,在正四面体OABC中,D是OA的中点,则BD与OC所成角的余弦值是(　　)A.12B.36C.22D.336答案:B解析:取AC的中点E,连接DE,BE,如图.∵D,E分别是OA,AC的中点,∴DE∥OC.∴∠BDE(或其补角)就是BD与OC所成的角.设正四面体的棱长为2,则BD=BE=3,DE=1,在△BDE中,cos∠BDE=BD2+DE2-BE22·BD·DE=(3)2+12-(3)22×3×1=36.故选B.6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列结论正确的是(　　)A.CC1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE与B1C1是异面直线,且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E答案:C解析:对于A,显然CC1与B1E都在平面BCC1B1内,故CC1与B1E不是异面直线,故A错误;对于B,若AC⊥平面ABB1A1,则AC⊥AB,而由题意可知△ABC是正三角形,矛盾,故AC不可能垂直于平面ABB1A1,故B错误;对于C,显然AE与B1C1不同在任一平面内,故AE与B1C1是异面直线,又易知AE⊥平面BCC1B1,故AE⊥B1C1,故C正确;对于D,延长C1A1到点D,使C1A1=A1D,连接B1D,AD(图略),易证AE∥B1D,则平面AB1E即是平面ADB1E,而C1D与平面ADB1E相交于点D,故A1C1与平面AB1E不平行,故D错误.7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1上的一点,则直线CE一定垂直于(　　)A.ACB.BDC.A1DD.A1D1答案:B解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知BD⊥AC,BD⊥AA1,且AC∩AA1=A,故BD⊥平面A1ACC1,而CE⊂平面A1ACC1,故BD⊥CE.8.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)相互啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,从外表上看,六根等长的正四棱柱分成三组,经90°旋转榫卯起来(如图).已知单个正四棱柱的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),则该球形容器的表面积的最小值为(　　)A.36πB.40πC.41πD.44π答案:C解析:由题意知,当该球为长、宽、高分别为2,1,6的长方体的外接球时,球的半径取最小值,即该球形容器的半径的最小值为124+1+36=412,故该球形容器的表面积的最小值为4π×414=41π.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β.则下列结论正确的是(　　)A.α∥β⇒l⊥mB.α⊥β⇒l∥mC.l∥m⇒α⊥βD.l⊥m⇒α∥β答案:AC解析:A项中,∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β.又m⊂β,∴l⊥m,故A正确.B项中,由l⊥α,α⊥β可得l∥β或l⊂β,再由m⊂β得不到l∥m,故B错误.C项中,∵l⊥α,m∥l,∴m⊥α,又m⊂β,∴α⊥β,故C正确.D项中,若α∩β=m,也可满足l⊥α,l⊥m,故D错误.10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=4,BC=2,M,N分别为棱C1D1,CC1的中点,则下列说法正确的是(　　)A.A,M,N,B四点共面B.平面ADM⊥平面CDD1C1C.直线BN与B1M所成的角为60°D.BN∥平面ADM答案:BC解析:对于A,显然AM,BN是异面直线,则A,M,N,B四点不共面,故A错误;对于B,由题意知AD⊥平面CDD1C1,则平面ADM⊥平面CDD1C1,故B正确;对于C,如图,取CD的中点O,连接BO,ON,可知三角形BON为等边三角形,而B1M∥BO,则直线BN与B1M所成的角为60°,故C正确;对于D,取DD1的中点P,连接AP,则BN∥AP,而AP与平面ADM交于A点,故BN与平面ADM不平行,故D错误.11.如图①,点E为正方形ABCD边BC上异于点B,C的动点,将△ABE沿AE翻折,得到四棱锥B-AECD如图②所示,且平面BAE⊥平面AECD,点F为线段BD上异于点B,D的动点,则在四棱锥B-AECD中,下列说法正确的有(　　)图①图②A.直线BE与直线CF必不在同一平面内B.存在点E使得直线BE⊥平面DCEC.存在点F使得直线CF与平面BAE平行D.存在点E使得直线BE与直线CD垂直答案:AC解析:对于A,假设直线BE与直线CF在同一平面内,则E在平面BCF上,又在图①中E在线段BC上,所以E与C重合,与E异于C矛盾,所以直线BE与直线CF必不在同一平面内;对于B,若存在点E使得直线BE⊥平面DCE,因为AE⊂平面DCE,所以BE⊥AE,又AB⊥BE,所以△ABE中有两个直角,与三角形内角和为180°矛盾,所以不存在点E使得直线BE⊥平面DCE;对于C,取F为BD的中点,EC=12AD,再取AB的中点G(图略),则EC∥FG且EC=FG,所以四边形ECFG为平行四边形,所以FC∥EG,则直线CF与平面BAE平行;对于D,过B作BO⊥AE于O,过D作DH⊥AE于H(图略),因为平面BAE⊥平面AECD,平面BAE∩平面AECD=AE,所以BO⊥平面AECD.因为平面BAE⊥平面AECD,平面BAE∩平面AECD=AE,DH⊥AE,所以DH⊥平面BAE,所以DH⊥BE.若存在点E使得直线BE与直线CD垂直,因为DH⊂平面AECD,DC⊂平面AECD,DH∩DC=D,所以BE⊥平面AECD,所以E与O重合,与三角形ABE是以B为直角的三角形矛盾,所以不存在点E使得直线BE与直线CD垂直.故选AC.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为163,则a=　　　　　. 答案:4解析:依题意,34a2·a=163,解得a=4.13.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分别在AD和BC上,且EF∥AB,若二面角C1-EF-C等于45°,则BF=　　　　　. 答案:1解析:由题意知EF⊥BC.∵CC1⊥平面ABCD,∴CC1⊥EF,又BC∩CC1=C,∴EF⊥平面CC1F,∴EF⊥C1F.故∠C1FC为二面角C1-EF-C的平面角,即∠C1FC=45°,∵AA1=CC1=1,∴CF=1,又BC=2,∴BF=1.14.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,若PG=λGD,则λ=　　　　　. 答案:1解析:因为平面AGF∥平面PEC,平面PCD∩平面AGF=GF,平面PCD∩平面PEC=PC,所以GF∥PC.又F为DC的中点,所以G为PD的中点,即PG=GD,所以λ=1.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积(单位:cm).解:由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成:圆台下底面、侧面和一个半球面.可得S半球=8π cm2,S圆台侧=35π cm2,S圆台底=25π cm2.故所求几何体的表面积为68π cm2.由V圆台=13×(π×22+π×22×π×52+π×52)×4=52π(cm3),V半球=43π×23×12=16π3(cm3),故所求几何体的体积为V圆台-V半球=52π-16π3=140π3(cm3).16.(15分)在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过点A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别为棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.证明:(1)∵AS=AB,AF⊥SB,∴F为SB的中点.又点E,G分别为棱SA,SC的中点,∴EF∥AB,FG∥BC.又EF⊄平面ABC,FG⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,∴EF∥平面ABC,FG∥平面ABC,又EF∩FG=F,∴平面EFG∥平面ABC.(2)∵平面SAB⊥平面SBC,AF⊥SB,平面SAB∩平面SBC=SB,AF⊂平面SAB,∴AF⊥平面SBC,∴AF⊥BC.又BC⊥AB,AF∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.又SA⊂平面SAB,∴BC⊥SA.17.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.(1)证明由已知得AM=23AD=2.如图,取BP的中点T,连接AT,TN.∵N为PC的中点,∴TN∥BC,TN=12BC=2.又AD∥BC,∴TN AM,∴四边形AMNT为平行四边形,∴MN∥AT.又AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,∴MN∥平面PAB.(2)解∵PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,∴点N到平面ABCD的距离为12PA=2.如图,取BC的中点E,连接AE.∵AB=AC=3,∴AE⊥BC,AE=AB2-BE2=5.又AM∥BC,∴点M到BC的距离为5,∴S△BCM=12×4×5=25.∴VN-BCM=13×25×2=453.18.(17分)如图①,在直角梯形PBCD中,PB∥CD,CD⊥BC,BC=PB=2CD,A是PB的中点.现沿AD将三角形PAD折起,使得PA⊥AB,如图②所示,点E,F分别为BC,AB的中点.图①图②(1)求证:PA⊥平面ABCD;(2)求证:平面PAE⊥平面PDE;(3)试在PA上找一点G,使得FG∥平面PDE,并证明你的结论.(1)证明在直角梯形PBCD中,∵PB∥CD,CD⊥BC,PB=2CD,A是PB的中点,∴四边形ABCD是矩形,∴AD⊥PA.又在图②中,PA⊥AB,AB∩AD=A,∴PA⊥平面ABCD.(2)证明∵PA⊥平面ABCD,ED⊂平面ABCD,∴PA⊥ED.在矩形ABCD中,∵BC=2CD=2AB=2BE=2EC,∴∠BEA=45°,∠CED=45°,∴∠AED=90°,即AE⊥ED.又PA∩AE=A,∴ED⊥平面PAE.又ED⊂平面PDE,∴平面PAE⊥平面PDE.(3)解在PA上取一点G,使PG=3GA,则FG∥平面PDE.证明如下:取ED的中点M,在PD上取一点N,使PN=3ND,连接FG,FM,MN,GN(图略),则FM∥AD,GN∥AD,FM=12(BE+AD)=34AD,GN=34AD,∴FM?GN,∴四边形FMNG为平行四边形,∴FG∥MN.又MN⊂平面PDE,FG⊄平面PDE,∴FG∥平面PDE.19.(17分)(2025全国新课标Ⅱ卷,17)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB =90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.(1)证明:A'B∥平面CD'F;(2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值.(1)证明 由题意知,EB∥FC,FC⊂平面CD'F,EB⊄平面CD'F,所以EB∥平面CD'F.又A'E∥D'F,D'F⊂平面CD'F,A'E⊄平面CD'F,所以A'E∥平面CD'F.又A'E∩EB=E,A'E,EB⊂平面A'EB,所以平面A'EB∥平面CD'F.又A'B⊂平面A'EB,所以A'B∥平面CD'F.(2)解因为AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,CD=2AD,EF∥AD,所以四边形AEFD为正方形且FD'=FC,所以EF⊥FC,EF⊥FD',又平面EFD'A'∩平面EFCD=EF,FD'⊂平面EFD'A',FC⊂平面EFCD,所以∠D'FC为平面EFD'A'与平面EFCD所成的二面角的平面角,所以∠D'FC=60°,所以△D'FC为等边三角形.延长EF,BC交于点C1,连接C1D'.不妨设DF=1,则由题可得FC=1,BE=2,又BE∥FC,所以CF为△C1EB的中位线,所以C1F=1,所以VC1-D'FC=13S△D'FC·C1F=13×34×12×1=312.又D'C1=D'F2+FC12=2,D'C=1,C1C=CF2+FC12=2,设△CC1D'中CD'边上的高为h1,则h1=CC12-(12CD') 2=72,则S△CC1D'=12CD'·h1=74.设点F到平面D'C1C的距离为h2,由VF-D'C1C=VC1-D'FC,得h2=VC1-D'FC13S△CC1D'=31213×74=217.易知点F到D'C1的距离为12D'C1=22.设平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角为θ,则sin θ=21722=427.