天津市2025_2026学年高二数学上学期第一次月考01选择性必修第一册第一章1.1~第二章2.3含解析人教A版

这是一份天津市2025_2026学年高二数学上学期第一次月考01选择性必修第一册第一章1.1~第二章2.3含解析人教A版，共31页。试卷主要包含了测试范围，难度系数，已知 ， 两点到直线 l等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教 A 版 2019 选择性必修第一册第一章~第二章第三节。
5．难度系数：0.68。
一、单项选择题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．下列命题中，为真命题的是（ ）
①若 ， 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则 ， 共线；
②若非零向量 ， ， 不构成空间的一个基底，则 四点共面；
③若向量 ， ， 构成空间的一个基底，则空间内的任意向量 可表示为 ，
．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【详解】对①，若 ， 不共线，则存在向量 使得 不在 ， 所组成的面上，此时有 ，
， 不共面，可以构成空间的一个基底，故 ， 共线，故①正确；
对②，若非零向量 ， ， 不构成空间的一个基底，则 ， ， 共面，即 四点共面，
故②正确
对③，由空间向量的基本定理可得③正确.
综上有①②③正确.
故选：D
2．“ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）．
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
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【答案】B
【详解】当 时，两直线方程为 ， ，所以两直线平行.
当直线 与直线 平行时， ，
解得 或 ，
当 时，两直线方程为 ， ，两直线平行，
当 时，两直线方程为 ， ，两直线平行，
所以由直线 与直线 平行，得 或 .
综上，“ ”是“直线 与直线 平行”的充分不必要条件.
故选：B.
3．在长方体 中，已知 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，设点 E 为线段 的中点，连接 .
因为在长方体中， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，得 .
又 ，且 E 为线段 BC 的中点，所以 ，且 平面 ，
所以 平面 ，故 就是直线 与面 所成的角.
在直角三角形 中， ， ，
所以 .故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：D.
4．点 到直线 的最大距离是（ ）
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A． B．2 C． D．不存在
【答案】D
【详解】直线 即 ，
令 ，解得 ，
即直线 过定点 ，设为 B，
当直线 与 l 垂直时，点 到直线 的距离最大，
即为 ，
此时 的斜率为 ，则 l 的斜率为 2，故 ，方程无解，
即直线 l 和 不可能垂直，则点 到直线 l 的距离小于 ，不存在最大值，
故选：D
5．设正四面体 的棱长为 2， 是 的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】
.
故选：B
6．已知 ， 两点到直线 l： 的距离相等，则 a 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】法一：因为点 ， 到直线 l： 的距离相等，
所以 ，即 ，
化简得 ，解得 或 ；
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法二：若 ，由 ， ，得直线 AB 的斜率为 ，又直线 l 的斜率为 ，故
；
若 在 两侧，线段 AB 的中点 ，代入直线 l： ，得 ，则 ．
经检验， 或 均符合题意.
故选：C
7．已知两点 ， ，过点 的直线 l 与线段 AB（含端点）有交点，则直线 l 的斜率的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图所示：
，而 ，
故直线 的取值范围为 .
故选：A.
8．已知正三棱锥 的侧棱长为 ， 为线段 上一点， ， ．设三棱锥 外
接球为球 ，过 点作球 的截面 ，则截面 面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图在正三棱锥 中， 平面 ，且 为 的中心， 为中线，
如图以点 为原点， 的平行线为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
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设 ，则
所以 ，
由于 ，所以 ，则 ，
所以 ，
因为 ，则
解得 ，
设 ，则 ，则 ，得 ，
所以 ，
过 点作球 的截面 ，当 时，截面 面积的最小，
，所以截面圆半径为 ，
则面积为 .
故选：B
9．已知点 A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线 y＝ax+b（a＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，
则 b 的取值范围是（ ）
A．（0，1） B． C． D．
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【答案】B
【详解】由题意可得，三角形 ABC 的面积为 1，
由于直线 y＝ax+b（a＞0）与 x 轴的交点为 M（ ，0），
由直线 y＝ax+b（a＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得 b＞0，
故 0，故点 M 在射线 OA 上．
设直线 y＝ax+b 和 BC 的交点为 N，则由 可得点 N 的坐标为（ ， ）．
①若点 M 和点 A 重合，如图：
则点 N 为线段 BC 的中点，故 N（ ， ），
把 A、N 两点的坐标代入直线 y＝ax+b，求得 a＝b ．
②若点 M 在点 O 和点 A 之间，如图：
此时 b ，点 N 在点 B 和点 C 之间，
由题意可得三角形 NMB 的面积等于 ，
即 ，即 ，可得 a 0，求得 b ，
故有 b ．
③若点 M 在点 A 的左侧，
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则 b ，由点 M 的横坐标 1，求得 b＞a．
设直线 y＝ax+b 和 AC 的交点为 P，则由 求得点 P 的坐标为（ ， ），
此时，由题意可得，三角形 CPN 的面积等于 ，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP| ，
即 （1﹣b）•| | ，化简可得 2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 （1﹣b） 1，∴1﹣b ，化简可得 b＞1 ，
故有 1 b ．
综上可得 b 的取值范围应是 ，
故选 B．
二、填空题（共 6 小题，满分 30 分，每小题 5 分）
10．直线 l 经过点 ，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线 l 的方程为 ．
【答案】 或
【详解】当直线在两坐标轴上的截距均为 0 时，直线 的方程为 ，即 ；
当直线在两坐标轴上的截距均不为 0 时，设直线 的方程为 ，
则 ，解得 ，所以直线方程为 ，即 ．
所以直线 的方程为 或 ．
故答案为： 或 .
11．若 ， ， 为空间两两夹角都是 120°的三个单位向量，则 .
【答案】3
【详解】由 .
故答案为：3
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12．已知空间向量 ， ，若 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为 ， 且 的夹角为钝角，
所以 且 与 不共线（反向），
由 ，则 ，解得 ，
当 与 共线时， ，则 ，解得 ，
综上可得实数 的取值范围为 .
故答案为：
13．已知 在直线 上，则 的最小值为 ．
【答案】3
【详解】因为 表示点 到原点 的距离，而点 在直线 上，
所以 的最小值即为原点 到直线 的距离， .
所以 的最小值为 3.
故答案为： .
14．如图，在直三棱柱 中，△ABC 是正三角形，D 为 AC 的中点，点 E 在棱 上，且
，若 ， ，则点 到平面 BDE 的距离为 .
【答案】
【详解】如图，取 的中点 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
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因为三角形 是等边三角形，点 是 中点，所以 ，
所以 两两互相垂直，以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标
系，
因为 ， ， ，D 为 AC 的中点，
所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，令 ，解得 ，
所以可取 ，
点 到平面 BDE 的距离为 .
故答案为： .
15．设 ，点 、 分别是直线 与 上的任意动点，
若 时，皆有 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /0.2
【详解】由题设 ， ，且 恒成立，
所以 在 上恒成立，
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则 ，整理得 ，故 ，
所以 ，
当 ， 时， 最小值为 .
故答案为：
三、解答题（共 5 小题，满分 75 分）
16．（14 分）已知直线 ： .
(1)若直线 垂直于直线 ： ，求 的值；
(2)求证：直线 经过定点；
(3)当 时，求点 关于直线 的对称点 的坐标.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
解得 ，
故 的值为 ；
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以直线 恒过定点 ；
（3）因为 ，
所以直线 ，
设点 关于直线 的对称点 的坐标为 ，
所以 的中点坐标为 ，
所以 ，
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解得 ，
所以点 关于直线 的对称点 的坐标为 .
17．（15 分）已知空间中三点 ， ， ．
(1)求平行四边形 的顶点 的坐标；
(2)求向量 在向量 上的投影向量 ；
(3)求以 CB，CA 为邻边的平行四边形的面积．
【详解】（1）设 ，
因为四边形 是平行四边形，所以 ，由 ， ， ，
得 ， ，
所以 ，故 ．
（2）因为 ， ， ，所以 ， ，
所以 ， ，
所以向量 在向量 上的投影向量 ，
所以 ．
（3）因为 ， ， ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 的面积 ，
所以以 为邻边的平行四边形的面积为 3．
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18．（15 分）如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
.
(1)证明： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
①求线段 的长；
②求平面 与平面 所成角的余弦值.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，则 ，即 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， 、 平面 ，
所以 平面 ；
（2）①取 中点 ，连接 、 ，则 由（1）得 ，且 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， 、 平面 ，
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所以 平面 ，所以 为直线 与平面 所成角，
所以 ，
②由题意可建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ，
显然 是平面 的一个法向量，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，所以 ，取 ，则 ，
所以 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
19．（15 分）如图，已知直线 过点 ，且与直线 垂直，与 轴、 轴的正半轴分别交于
两点，点 为线段 上一动点，且 ， 交 于点 ．
(1)求线段 的垂直平分线方程；
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(2)若 的面积 与四边形 的面积 满足 ，请你确定点 在 上的位置，
并求出线段 的长；
(3)判断在 轴上是否存在点 ，使 为等腰直角三角形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说
明理由．
【详解】（1）因为直线 与直线 垂直，
所以直线 的斜率 ，
又直线 过点 ，
所以直线 的方程为 ，
即 ．
令 ，得 ，即 ；
令 ，得 ，即 ．
则线段 的中点坐标为 ，
又直线 的斜率 ，
所以线段 的垂直平分线方程为 ，
即 ；
（2）由（1）知直线 的方程为 ， ，
因为 ，
所以 ，
又 ，
则 与 相似，
于是有 ，
即 ，得 ，
此时点 为线段 的中点，
所以 时，点 为线段 的中点，且 ；
（3）假定在 轴上存在点 ，使 为等腰直角三角形，
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由（1）知直线 的方程为 ，
如图 1，当 时，而点 在 轴上，点 在 轴的正半轴上，则点 必与原点 O 重合，
设 ，因为 ，
所以 ，
于是有 ，
解得 ，此时 满足题意；
如图 2，当 时，
由 ， ，
知四边形 为正方形，
设 ，
则 ， ，
于是有 ，
解得 ，此时 满足题意；
如图 3，当 时，
由 ， ,
得 ，即 ，
设 ，
则 ， ，
显然直线 QM 斜率为 ，则直线 PM 斜率必为 1，
即 ，
解得 ，此时 满足题意．
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综上，y 轴上存在点 或 或 ，使 为等腰直角三角形．
20．（16 分）如图，在四棱锥 中，侧面 平面 ， 是边长为 2 的等边三角形，底
面 为直角梯形，其中 ， ， ．
(1)求证： ．
(2)求线段 中点 到平面 的距离．
(3)线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由．
【详解】（1）由于平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，
平面 ，
平面 ， ．
（2）取 的中点 ，连接 ， ，由 为等边三角形，得 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，由 ， ，得四边形 是平行四边形，
于是 ，而 ，则 ，直线 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
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取 ，得 ，
所以 到平面 的距离 ．
（3）令 ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，得 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
于是， ，
化简得 ，又 ，解得 ，即 ，
所以线段 上存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ，此时 ．
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