高二数学月考卷（天津专用，人教A版2019选必二第五章 选必三全部）-2024-2025学年高中下学期第三次月考

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一、单项选择题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．满足不等式 的 的值为（ ）
A．9 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【解析】由已知得： ，
又因为 ，且 ,所以 ，
故选 A
2．已知变量 与 的取值如下表：
1 2 3 4 5
5 8 11
且 对 呈现线性相关关系，则 与 的经验回归方程 必经过的定点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于 ，
则线性回归方程必过定点 .
故选 C.
3．设离散型随机变量 X 的分布列如下表所示.若随机变量 ，则 （ ）
X 0 1 2
P 0.1 0.4 0.2 0.3
A．0．7 B．0.4 C．0.3 D．0.6
【答案】B
【解析】依题意， .
故选 B
4．函数 的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
1 / 12
【答案】B
【解析】函数的定义域为 ，
因为 ，所以 ，
令 ，即 ，所以 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 .
故选 B.
5．若 的展开式中二项式系数之和为 32，各项系数之和为 243，则展开式中 的系数是（ ）
A．32 B．64 C．80 D．16
【答案】C
【解析】因为 的二项式系数之和为 32，则 ，解得 ，
即二项式为 ，
因为 展开式各项系数和为 243，令 ，代入可得 ，解得 ，
即二项式为 ，则该二项式展开式的通项为
，
令 ，解得 ，则展开式中 的系数为 .
故选 C
6．某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额 x（单位：百万元）
与其年销售量 y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合 y 与
x 关系的决定系数分别为 和 ，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述 y 与 x
之间关系的函数为（ ）
2 / 12
参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程 的系数公式为 ．
参考数据：令
3 2.5 0.5 10 12 6
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由用线性回归和指数型回归模型拟合 y 与 x 关系的决定系数分别为 和 ，
得 ，则指数型回归模型最适宜拟合 y 与 x 关系，排除 AB；
设 y 与 x 之间关系的函数为 ，两边取对数得 ，设 ，则 ，
因此 ， ，
即 ， ，C 错误，D 正确.
故选 D
7．若随机变量 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．18 B． C．24 D．27
【答案】C
【解析】由题意可得 ，则 ，
所以 ，
易知当 时， 的最小值为 .
故选 C.
8．已知一道解答题共有两小问，小李有 0．6 的概率可以解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解
答出第二问的概率为 0．1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为 0．7，则解答出第
二问的概率为（ ）
A．0．46 B．0.22 C．0.18 D．0.04
【答案】B
【解析】令 表示第一问解答出来， 表示第二问解答出来，
则 ， ， ，故 ， ，
3 / 12
所以 .
故选 B
9．我们解不等式 时，可以采用如下方法： 等价于 ，即 . 根据以上思路
求解: 函数 的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，则 ，
两边同时取对数可得 ，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 ，即 ，可得 ，
所以函数 的最小值为 .
故选 D.
二、填空题（共 6 小题，满分 30 分，每小题 5 分）
10．如图所示，用红、黄、蓝 3 种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同
的涂色方法共有 种.
【答案】6
【解析】先给点 涂色，因为有红、黄、蓝 3 种颜色可供选择，所以点 有 3 种涂色方法；
再给点 、 涂色，若颜色相同，则需与点 不同，有 种，则点 、 只有 1 种；
若颜色不同，则点 、 无法保证同一条棱的两个顶点不同色，
则共有 种
故答案为：
11．已知具有线性相关性的变量 ，设其样本点为 ，经验回归方程为 ，
4 / 12
若 ， ，则 ．
【答案】8
【解析】由题意可得： ， ，
可知经验回归方程为 过样本中心点 ，
则 ，可得 ．
故答案为：8.
12．由样本数据 ，求得回归直线方程为 ，且 ，若去除偏离点 后，
得到新的回归直线方程为 ，则去除偏离点后，相应于样本点 的残差值为 .
【答案】
【解析】由于回归直线过样本中心点，当 时， ，
去除偏离点 后，剩余数据的中心点为 ，
则 ， ，
将点 的坐标代入回归直线方程 ，可得 ，解得 ，
所以，新的回归直线方程为 ，
当 时， ，
所以，去除偏离点后，相应于样本点 的残差值为 .
故答案为： .
13．设正整数 p 大于 1，若正整数 a 与 p 互质，则 a 与 p 的最大公约数为 1，记 ．若对于正整数 a，
，存在一个整数 x，使得 为整数，则称 a 是 n 的一个二次剩余，否则为二次非剩余．现
从 4 到 19 这 16 个整数中随机抽取一个整数 a，记事件 “ ”， “a 是 10 的二次剩余”，则
， ．
【答案】 /0.375 /0.5
【解析】在 4 到 19 这 16 个整数中与 10 互质的整数有 ，共 6 个，因此 ；
5 / 12
若 为整数的 存在，则当 时， 或 满足题意；
当 时， 满足题意；当 时， 满足题意；
当 时，满足题意的 不存在，因此 ，
所以 .
故答案为： ；
14．设函数 有两个不同极值点 ， ，若 ，则 ；a 的取值范
围是 ．
【答案】
【解析】 ，
由函数 有两个不同极值点 ， ，
则 有两个不同的正根 ， ，
有 ， ，且 ，
解得 .
故答案为： ； .
15．已知变量 与 的一组样本数据 ， ，…， 满足 ，
，对各样本数据求对数，再利用线性回归分析的方法得 .若变量
，则当 的预测值最大时，变量 的取值约为 .（ ，结果保留 1 位小数）
【答案】
【解析】由已知可得 ，
所以 ，
同理 ，
代入 ，得 ，
所以 ，所以 ，则 ，
6 / 12
令 ，则 ，
当 时，z 取最大值，此时 ．
故答案为： .
三、解答题（共 5 小题，满分 75 分）
16．（14 分）
已知 ，它的二项式系数之和为 64．
(1)求 n 的值；
(2)求 的值．
【解析】（1）根据二项式系数之和的性质：可得 ，即 ，所以 ．
（2）已知 ，且 ，
则 ．
令 ，可得 ，即 ．
令 ，可得 ，即 ．
将 代入 ，可得 ，移项可得
．
17．（15 分）
2025 年春晚最火的节目无疑是机器人扭秧歌． 其中表演的机器人出自宇树科技， 宇树科技是一家专
注于高性能四足机器人研发和生产的中国科技公司． 该公司以其创新的四足机器人在全球范围内广受
关注，主要应用于教育、科研、娱乐和工业等领域，其中四大产品之一的机器人 Unitree A1 具备较强
的负载能里和环境适应性， 可用于巡检与监控、物流和运用、安防与救援． 现统计出机器人 Unitree
A1 在某地区 2024 年 2 月到 6 月的销售量如下表所示：
月份 2 3 4 5 6
销量 42 53 66 109
用最小二乘法得到 Unitree A1 的销售量 关于月份 的回归直线方程为 ，且相关系数
，销量 的方差 ．
(1)求 的值(结果精确到 0.1)；
(2)求 的值，并根据（1）的结果计算 5 月销售量的残差．
附： 回归系数 ，相关系数 ．
7 / 12
【解析】（1）由表可得： ， ，
因为 ，可得 ，
又因为 ，
可得 ，
所以 .
（2）由表可知： ，
由（1）可知回归直线方程为 ，且 ，
则 ，解得 ，
此时 ， ，可得 ，符合题意，
所以 ，
对于回归直线方程 ，令 ，可得 ，
所以 5 月销售量的残差 .
18．（15 分）
某企业在 2024 年的年终庆典中，有一个根据“歌曲旋律猜歌名”的游戏，该游戏环节的规则如下：设定
三首歌曲，按照一定的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，直到猜不对或猜完
为止．员工甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对歌曲 歌名的概率分别为 （其中
），猜对时获得的奖励分别为 1 千元，2 千元，3 千元．
(1)若甲按照 的顺序猜，至少猜对两首的概率为 ；按照 的顺序猜，至少猜对两首的概率为
，比较 与 的大小．
(2)已知 ．甲考虑了两种方案，方案一：按照 的顺序猜；方案二：按照
的顺序猜.请从获得奖励的数学期望的角度分析，甲应当选择哪种方案？
【解析】（1）因为 ，
8 / 12
，且 ，
所以 .
（2）方案一：设获得奖励的金额为 ，则 的值可以为：0，1000，3000，6000.
且 ， ，
， .
所以 .
方案二：设获得奖励的金额为 ，则 的值可以为：0，2000，3000，6000.
且 ， ，
， .
所以 .
所以 .所以甲应该选择方案二.
19．（15 分）
“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，
若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的 ，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司
采购了一批共计 台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为 ．
(1)若 ， ，记 为一次计算中正常运行的计算机数量，求 的分布列和数学期望；
(2)若 ， ，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？
(3)该科技公司决定再购入 台与（2）中完全相同的计算机组成新的分布式计算系统，请与（2）的分
布式计算系统比较，判断新的分布式计算系统完成一次“优质计算”的概率是否有提升？
【解析】（1）由题意可知， ，所以， ，
， ，
，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
9 / 12
所以，随机变量 的数学期望为 .
（2）设由 台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为 ，则 ．
且 ，
由 得 ，其中 ， ，
即 ，解得 ．
所以同时正常运行的计算机数最有可能是 台或 台．
（3）当分布式计算系统中计算机数量为 时，
若要完成一次“优质计算”，同时正常运行的计算机数应不小于 ，
即至少 台计算机同时正常运行．
当分布式计算系统中计算机数量为 时，
若要完成一次“优质计算”，同时正常运行的计算机数应不小于 ，
即至少 台计算机同时正常运行．
记 台计算机正常运行的个数为 ，设 ， ， ，
，且有 ．
则由 台计算机组成的分布式计算系统完成“优质计算”的概率 ，
由 台计算机组成的分布式计算系统完成“优质计算”的概率为 ，则：
，
于是 ，
而 ，
故 ，即由 台计算机组成的分布式计算系统完成一次“优质计算”的概率能得到提升．
20．（16 分）
10 / 12
若存在一个数 m，使得函数 定义域内的任意 x，都有 ，则称 有下界，m 是 的
一个下界．
(1)求函数 的下界 m 的取值范围；
(2)判断 是否是下界为 的函数，并说明理由；
(3)若函数 是 的一个整数下界，求 m 的最大值．
【解析】（1）解：由函数 的定义域为 ，且 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
对任意的 ， ，则 ，所以， ，
因此，函数 的下界 m 的取值范围为 .
（2）解：令 ，其中 ，可得 ，
因为函数 和 在 上均为增函数，
故函数 在 上为增函数，且 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递减；
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
所以， ，故 ，
所以函数 是下界为 的函数.
（3）解：由函数 ，可得 ，
设 ，则 ，故 在区间 上单调递增，
又由 ， ，
所以必然存在 ，满足 ，
当 时 ，当 时 ，
即 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
当 时， 取得最小值，则 ，
由 ，可得 ，所以 ，
11 / 12
又由对勾函数 在区间 上单调递增，
所以当 时， ，所以 ，
因此，整数 m 的最大值为
12 / 12