（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末考点训练 第六章 平面向量及其应用（2份，原卷版+解析版）

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【题型1 向量的概念与向量的模】
【方法点拨】
根据向量的概念与向量的模的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例1】下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）温度､速度､位移､功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【解答过程】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；
（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；
（4）错误，直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量.
故选：A.
【变式1-1】下列说法错误的是（ ）
A．向量CD与向量DC长度相等B．任一非零向量都可以平行移动
C．单位向量都相等D．向量的模可以比较大小
【解题思路】利用向量的模的定义判断选项AD；利用向量的性质判断选项B；利用向量相等的定义判断选项C.
【解答过程】选项A：向量CD与向量DC长度均为线段CD的长度，故相等.判断正确；
选项B：因为同方向且模长相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动.判断正确；
选项C：虽然单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等.判断错误；
选项D：向量的模是实数，因而可以比较大小.判断正确.故选：C.
【变式1-2】下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量只有大小，没有方向B．若AB//CD，AB//EF，则CD//EF
C．对任一向量a，a>0总是成立的D．AB=BA
【解题思路】对于A，根据零向量的定义可判断；对于B，根据向量平行的传递性可判断；对于C，举反例0=0，即可判断；D，根据AB=−BA即可判断.
【解答过程】对于A，零向量的方向是任意方向的，A错误；对于B，当AB=0时，CD与EF可以不平行，B错误；对于C，0=0，C错误；对于D，AB=−BA=BA，D正确.故选：D.
【变式1-3】下列说法中正确的是（ ）
A．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
B．零向量是最小的向量
C．若向量a与向量b平行，向量b与向量c平行，则向量a与向量c一定平行
D．单位向量的长度为1
【解题思路】利用向量的定义与性质即可判断AB，利用零向量的特殊性即可判断C，根据单位向量的定义即可判断D.
【解答过程】对A，若向量方向不同，则终点不同，故A错误；对B，向量无大小之分，故B错误；
对C，若b=0，根据零向量与任何向量共线，则a与c可能不平行，故C错误；
对D，根据单位向量的定义知，单位向量的长度为1，故D正确.故选：D.
【题型2 向量相等或共线】
【方法点拨】
判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向量是否相等不仅要看两向量
所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相等、方向是否相同.
【例2】如图，四边形ABCD中，AB=DC，则相等的向量是（ ）
A．AD与CBB．OB与ODC．AC与BDD．AO与OC
【解题思路】判断出四边形ABCD为平行四边形，结合平行四边形的性质以及相等向量的定义可得出合适的选项．
【解答过程】因为在四边形ABCD中，AB=DC，则四边形ABCD为平行四边形，故AD=BC，OB=DO ， AC≠BD，AO=OC，故选：D．
【变式2-1】以下结论中错误的是（ ）
A．若a+b=0，则a//b
B．若向量AB≠AC，则点B与点C不重合
C．方向为东偏南70°的向量与北偏西20°的向量是共线向量
D．若a与b是平行向量，则|a|=|b|
【解题思路】利用向量共线的基本定理可判定A、C、D选项，利用向量相等的性质可以判断B选项.
【解答过程】对于A选项，若a+b=0，则a=−b，则a//b，故A说法正确；
对于B选项，若向量AB≠AC，则两向量的起点都是A，点B与点C不重合，故B说法正确；
对于C选项，方向为东偏南70°的向量与北偏西20°的向量可知，两个向量方向相反，是共线向量，故C说法正确；对于D选项，若a与b是平行向量，则a=λb，两向量的模长不一定相等，故D说法错误；
故选：D.
【变式2-2】对于向量a、b，“a∥b”是“a=b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用向量平行和相等可以进行判断.
【解答过程】因为a=b时一定有a∥b，所以“a∥b”是“a=b”的必要条件，但a∥b时，两个向量a,b不一定相等，如零向量与任意非零向量都平行，但不相等，所以“a∥b”是“a=b”的不充分条件.
所以“a∥b”是“a=b”的必要不充分条件，故选：B．
【变式2-3】如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线的向量共有（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
【解题思路】根据共线向量的定义与正六边形的性质直接得出.
【解答过程】图中与OA共线的向量有：AO,BC,CB,OD,DO,EF,FE,AD,DA，共9个，故选：C.
【题型3 向量的线性运算】
【方法点拨】
向量的加减法运算有如下方法：(1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；(2)运用减法公式 (正用或
逆用均可)；(3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转
化为有共同起点的向量问题.
向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.要
注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.
【例3】设P是△ABC所在平面内的一点，BC+2BA=3BP，则（ ）
A．2PA+PC=0B．PA+2PC=0C．2PA−PC=0D．PA−2PC=0
【解题思路】根据向量的减法运算求解.
【解答过程】由BC+2BA=3BP，则PC−PB+2PA−PB=−3PB，整理得2PA+PC=0．
故选：A.
【变式3-1】如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=CD=1，E为AD的中点．则下列式子不正确的是（ ）
A．AB+AE=ACB．BE=ECC．AB−CD=EDD．ED+CB=0
【解题思路】先分析清楚图像内部的几何关系，再根据向量加法规则逐项分析.
【解答过程】由题意AE=ED=BC=1,AE//BC,ED//BC,∴AE=ED=BC ，
并且四边形ABCE和四边形BCDE都是平行四边形，即BE=CD,AB=EC ，对于A，AB+AE=AC ，正确；对于B，BE=CD=1,EC=AB=1 ，正确；对于C，ED=AE=AB+BE=AB+CD≠AB−CD ，错误；对于D，ED=BC=−CB,∴ED+CB=0 ，正确；故选：C.
【变式3-2】AB−AD+CD化简后等于（ ）
A．BCB．CBC．BDD．DB
【解题思路】根据向量的加法和减法运算即可求解.
【解答过程】因为AB−AD+CD=DB+CD=CD+DB=CB，故选：B.
【变式3-3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，则下列各式一定成立的是（ ）
A．AB=CD
B．AC=BD
C．AO=12CA
D．AO=12AB+AD
【解题思路】由矩形的几何性质，结合各线段对应向量的关系判断各项的正误.
【解答过程】由图知：AB=DC=−CD，故A错误；AC,BD不相等，即AC≠BD，故B错误；
AO=12AC=−12CA，故C错误；AO=12AB+AD，故D正确.故选：D.
【题型4 向量的投影】
【方法点拨】
根据向量的投影的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例4】已知a=2b，若a与b的夹角为120°，则2b−a在a上的投影向量为（ ）
A．3−3aB．−32aC．−12aD．3a
【解题思路】根据投影向量的定义，结合向量数量积的运算律求2b−a在a上的投影向量.
【解答过程】2b−a在a上的投影向量为|2b−a|cs2b−a,a⋅a|a|，|2b−a|cs2b−a,a=(2b−a)⋅a|a|=2a⋅b−a2|a|，
所以，2b−a在a上的投影向量为2a⋅b−a2|a|2⋅a=|a|2cs120°−|a|2|a|2⋅a=−32a.故选：B.
【变式4-1】已知向量a，b满足a+b⋅b=2，且b=1，则向量a在向量b上的投影向量为（ ）
A．1B．−1C．bD．−b
【解题思路】由已知可求得a⋅b=1，然后根据投影向量的公式，即可得出答案.
【解答过程】因为b=1，a+b⋅b=a⋅b+b2=2，所以a⋅b=1，
所以，向量a在向量b上的投影向量为a⋅bb⋅bb=11⋅b1=b.故选：C．
【变式4-2】已知平面向量a，b是非零向量，a=2，a⊥a+2b，则向量b在向量a方向上的投影为（ ）
A．−1​B．1C．−2​D．2
【解题思路】首先通过条件a⊥(a+2b)求得a→·b→=−2，然后根据数量积的运算公式求出|b→|·csθ，进而求解b在a方向上投影.
【解答过程】∵平面向量a、b是非零向量，|a|=2，a⊥(a+2b)，∴a→·(a→+2b→)=a→·a→+2a→·b→=|a→|2+2a→·b→=4+2a→·b→ =0，则a→·b→=−2.设a与b夹角为θ，a→·b→=|a→|·|b→|·csθ=−2，则|b→|·csθ=−2|a→|=−1，∴b在a方向上投影为−1.故选：A.
【变式4-3】已知△ABC外接圆圆心为O，半径为1，2AO=AB+AC，且3OA=AB，则向量AB在向量BC上的投影向量为( )
A．34BCB．34BCC．14BCD．−34BC
【解题思路】根据已知条件可知△ABC为直角三角形，向量AB在向量BC上的投影向量为ABcsπ−B⋅BCBC．
【解答过程】由2AO=AB+AC知O为BC中点，又O为△ABC外接圆圆心，∴OA=OB=OC=1，BC=2，
∴AB⊥AC，∵3OA=AB，∴AB=3，∴csB=32，∴AB在向量BC上的投影为：ABcsπ−B=−32，
∴向量AB在向量BC上的投影向量为：−32⋅BCBC=−34BC．故选：D．
【题型5 向量数量积的计算】
【方法点拨】
解决向量数量积的计算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要
指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.
【例5】已知向量a、b满足a=2，b=5，且a与b夹角的余弦值为15，则a+2b⋅3a−b=（ ）
A．−30B．−28C．12D．72
【解题思路】利用平面向量数量积的定义可求得a⋅b，再利用平面向量数量积的运算性质可求得a+2b⋅3a−b的值.
【解答过程】由平面向量数量积的定义可得a⋅b=a⋅bcs=2×5×15=2，
所以，a+2b⋅3a−b=3a2+5a⋅b−2b2=3×22+5×2−2×52=−28.故选：B.
【变式5-1】在正三角形△ABC中，AB=2，M，N分别为AB，AC的中点，则AM⋅BN=（ ）
A．−32B．−32C．32D．32
【解题思路】由题可知，向量AM，BN的夹角为150°，再由平面向量数量积的定义即可得出答案.
【解答过程】由题知，AM=1，BN=3，向量AM，BN的夹角为150°，
所以AM⋅BN=AMBNcs150°= 1×3×−32=−32.故选：A．
【变式5-2】圆内接四边形ABCD中AD=2，CD=4，BD是圆的直径，则AC⋅BD=（ ）
A．12B．−12C．20D．−20
【解题思路】根据圆内接四边形的性质及数量积的定义即求.
【解答过程】
由题知∠BAD=∠BCD=90∘，AD=2，CD=4∴AC⋅BD=(AD+DC)⋅BD=AD⋅BD+DC⋅BD
=|AD||BD|cs∠BDA−|DC||BD|cs∠BDC=|AD|2−|DC|2 =4−16=−12.故选：B.
【变式5-3】已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E在边BC上，BC=3BE，若G为线段DC上的动点，则AG⋅AE的最大值为（ ）
A．2B．83
C．103D．4
【解题思路】利用向量的数量积的定义及数量积的运算，结合向量的线性运算即可求解.
【解答过程】由题意可知，如图所示
因为菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，
所以AB=AD=2,AB⋅AD=ABADcs120°=2×2×−12=−2，
设DG=λDC,λ∈0,1，则AG=AD+DG=AD+λDC=AD+λAB，
因为BC=3BE，所以BE=13BC=13AD,AE=AB+BE=AB+13AD,
AG⋅AE=AD+λAB⋅AB+13AD=13AD2+λAB2+(1+λ3)AD⋅AB
=13×22+λ×22+1+λ3×−2=103λ−23,当λ=1时，AG⋅AE的最大值为83.故选：B.
【题型6 求向量的夹角（夹角的余弦值）】
【方法点拨】
求两非零向量的夹角或其余弦值一般利用夹角公式=求解.
【例6】平面向量|a|=2,|b|=2,(a−b)⊥a，则a与b的夹角是（ ）
A．5π12B．π3C．π4D．π6
【解题思路】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示求出a⋅b，再利用夹角公式求解作答.
【解答过程】向量|a|=2,|b|=2,(a−b)⊥a，则(a−b)⋅a=a2−a⋅b=0，即a⋅b=a2，
因此cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=a2|a||b|=(2)22×2=22，而0≤〈a,b〉≤π，则〈a,b〉=π4，所以a与b的夹角是π4.故选：C.
【变式6-1】若非零向量a,b满足2a=b=2,a−2b⊥a，则向量a与b夹角的余弦值为（ ）
A．34B．12C．13D．14
【解题思路】求出a=1,b=2，根据a−2b⊥a可得a−2b⋅a=0,代入化简求解夹角余弦值即可.
【解答过程】设a与b的夹角为θ，因为2a=b=2,a−2b⊥a，所以a=1,b=2，
∴a−2b⋅a =a2−2abcsθ=0.∴csθ=a22ab=14.故选：D.
【变式6-2】已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）⊥b，则a与b的夹角为
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【解题思路】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由(a−b)⊥b得出向量a,b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【解答过程】因为(a−b)⊥b，所以(a−b)⋅b=a⋅b−b2=0，所以a⋅b=b2，所以csθ=a⋅ba⋅b=|b|22|b|2=12，所以a与b的夹角为π3，故选B．
【变式6-3】已知向量a,b的夹角为π3，b=2a=2，向量c=xa+yb，且x,y∈[1,2]，则向量a,c夹角的余弦值的最小值为（ ）
A．217B．277C．32D．32114
【解题思路】依题意可得csa→,c→=1−3y2x2+2xy+4y2，，
令u=3y2x2+2xy+4y2，则3u=x2+2xy+4y2y2=xy2+2xy+4=xy+12+3，
通过换元可得u∈14,47，所以，当u=47时，可得csa→,c→的 最小值.
【解答过程】依题意可得a→=1，b→=1，则a→⋅b→=a→⋅b→csπ3=1×2×12=1，
a→⋅c→=a→⋅(xa→+yb→)=xa→2+ya→⋅b→=x+y，
c→2=(xa→+yb→)2=x2a→2+2xya→⋅b→+y2b→2=x2+2xy+4y2，则c→=x2+2xy+4y2，
所以，csa→,c→=a→⋅c→a→⋅c→=x+yx2+2xy+4y2=x2+2xy+y2x2+2xy+4y2=1−3y2x2+2xy+4y2，
令u=3y2x2+2xy+4y2，则3u=x2+2xy+4y2y2=xy2+2xy+4=xy+12+3，
令t=xy，由x,y∈[1,2]得t∈12,2，
则3u=t+12+3∈214,12，所以1u∈74,4，故u∈14,47
所以，当u=47时，csa→,c→有最小值1−u=1−47=37=217.故选：A.
【题型7 向量的模】
【方法点拨】
或是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数
量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，注意利用图形
的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.
【例7】若平面向量a与b的夹角为60°，a=2,0，b=1，则a+2b等于（ ）．
A．3B．23C．4D．12
【解题思路】利用a2=a2转化即可
【解答过程】解析：因为a=2,0，所以|a|=2，又因为向量a与b的夹角为60°，|b|=1，
所以a→⋅b→=|a→||b→|cs60°=2×1×12=1，所以|a→+2b→|=a→2+4a→⋅b→+4b→2=4+4+4=23．
故选：B.
【变式7-1】已知a，b为单位向量，向量c满足2b+c=3a.若a与b的夹角为60°，则c=（ ）
A．6B．7C．22D．3
【解题思路】由数量积运算公式及|c|2=c2代入求解即可.
【解答过程】由2b+c=3a，得c=3a−2b，所以c2=9a2−12a⋅b+4b2=9−12×1×1×12+4=7，所以c=7.故选：B.
【变式7-2】若向量a，b满足|a|=1，(a+b)⊥a，(2a+b)⊥b，则|b|=（ ）
A．2B．2C．1D．22
【解题思路】由数量积运算和运算律求解即可.
【解答过程】∵(a+b)⊥a，|a|=1，∴(a+b)⋅a=a2+a⋅b=0，∴a⋅b=−|a|2=−1，
∵(2a+b)⊥b，∴(2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=−2+b2=0，∴b2=2，∴|b|=2．故选：B．
【变式7-3】若向量a,b,c满足：a≠b,c=1，且a−c⋅b−c=0，则|a+b|+|a−b|的最小值为（ ）
A．52B．2C．1D．12
【解题思路】由平面向量数量积的运算，结合图形以及平面向量的线性运算求解即可.
【解答过程】设a=OA，b=OB，c=OC，M为A，B的中点，
则a−b=BA，a−c=CA，b−c=CB，a+b=2OM，
因为c=1，a−c⋅b−c=0，所以OC=1，CA⊥CB，则|a+b|+|a−b|=2OM+BA，
因为△ABC是直角三角形，所以BA=2CM，（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）
所以|a+b|+|a−b|=2OM+2CM=2(OM+CM)，因为OM+CM≥OC=1，当且仅当M在以C为圆心，1为半径的圆上或圆内，且M在线段CO上时取等号，如下图示，
所以|a+b|+|a−b|=2(OM+CM)≥2，所以|a+b|+|a−b|的最小值为2.故选：B.
【题型8 平面向量基本定理的应用】
【方法点拨】
结合题目条件，利用平面向量基本定理进行转化求解即可.
【例8】如图所示，F为平行四边形ABCD对角线BD上一点，BF=13FD，则AF=（ ）
A．34AB+14ADB．34AB−14ADC．14AB+34ADD．14AB−34AD
【解题思路】根据向量的线性运算，即可求得答案.
【解答过程】由题意知BF=13FD，故AF=AB+BF=AB+13FD=AB+14BD=AB+14(AD−AB)=34AB+14AD,故选：A.
【变式8-1】已知在△ABC中，点D为边BC的中点，若AD+BC=λAB+μAC，则λ+μ=（ ）
A．−1B．−2C．1D．2
【解题思路】利用平面向量基本定理求得λ,μ的值，进而求得λ+μ的值.
【解答过程】在△ABC中，BC=AC−AB，又点D为边BC的中点，则AD=12AB+12AC，
则AD+BC=12AB+12AC+AC−AB=−12AB+32AC又AD+BC=λAB+μAC，则λ=−12,μ=32，
则λ+μ=−12+32=1故选：C.
【变式8-2】如图，已知在△COB中，BA=AC，OD=2DB，DC和OA交于点E，若CE=λCD，则实数λ的值为（ ）
A．12B．25
C．35D．23
【解题思路】确定CD=23CB+13CO，则CE=43λCA+13λCO，根据共线得到43λ+13λ=1，解得答案.
【解答过程】CD=CO+OD=CO+23OB=CO+23CB−CO=23CB+13CO，
CE=λCD=23λCB+13λCO=43λCA+13λCO，A,O,E三点共线，故43λ+13λ=1，解得λ=35.故选：C.
【变式8-3】在△ABC中，AD为BC上的中线，G为AD的中点，M，N分别为线段AB，AC上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若AM=λAB，AN=μAC，则λ+4μ的最小值为（ ）
A．32B．52C．2D．94
【解题思路】利用平面向量的基本定理，用AB,AC表示AG，设MG=xMN，0