2025-2026学年高一数学下学期第一次月考（上海专用01）范围：【沪教版】必修第一册+必修第二册第1章

这是一份2025-2026学年高一数学下学期第一次月考（上海专用01）范围：【沪教版】必修第一册+必修第二册第1章，共15页。试卷主要包含了测试范围，若函数是奇函数，则实数，在中，角所对的边分别为，若，则，已知是第一象限角，且，则的值为等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版必修第一册+必修第二册第1章
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．函数的定义域是
【提示】由对数函数的定义域可知需满足，解出的范围即可；
【答案】；
【解析】要使有意义，则，
所以，，
所以，的定义域为；
【说明】本题主要考查函数定义域的定义及求法，以及对数函数的定义域；
函数定义域的三种类型及求法：（1）知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；（2）实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；（3）已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出；
2．若幂函数在上单调递增，则实数的值为
【提示】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果；
【答案】2；
【解析】因为幂函数在上是增函数，
所以，解得；
【说明】本题考查了幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数；
3．某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人.
【提示】根据容斥原理可分析出3项都参加的人数；
【答案】2；
【解析】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学，
，
则，
且，
则，
所以三项比赛都参加的有2人，
故答案为：2.
【说明】本题考查了集合的利用Venn图求集合；
4．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 .
【提示】根据充分不必要条件的定义可得集合的包含关系，根据包含关系可求得结果；
【答案】；
【解析】因为，“”是“”的充分不必要条件，所以，是的真子集，
因为，，所以，，则，，
又，所以，，则的取值范围为.
故答案为：.
【说明】本题考查了根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式；
5．已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设 .
【提示】根据反证法步骤,要证明命题结论成立，先假设结论的否定成立即可；
【答案】且
【解析】由题意，应假设且，
故答案为：且
【说明】本题考查了反证法的概念辨析；
6．“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子･天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过 天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.（参考数据：光速为米/秒，）
【提示】依题意可得尺子经过天后，剩余的长度米，结合对数运算可得结果；
【答案】31；
【解析】依题意，光在2“阿托秒”内走的距离为米，
经过天后，剩余的长度米，由，得，
两边同时取对数，得，
而，则，所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走的距离.
故答案为：31；
【说明】本题考查了对数的运算、运用换底公式化简计算、指数函数模型的应用（2）、由对数函数的单调性解不等式；
7．已知一扇形的周长为6，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角的弧度数为 ．
【提示】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式和二次函数的性质计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可求解；
【答案】2；
【解析】设扇形的半径为，则弧长为，
面积为，
所以当时S取得最大值为，
此时，圆心角为（弧度）．
故答案为：2.
【说明】本题考查了弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用；
8．若函数是奇函数，则实数
【提示】根据奇函数的性质计算可得；
【答案】1；
【解析】当时，则，
则，解得，
此时，
当时，所以，符合题意.
所以.
故选：C；
【说明】本题主要考查了由奇偶性求参数；
9．在中，角所对的边分别为，若，则
【提示】直接根据正弦定理即可求出；
【答案】；
【解析】由正弦定理可得，则；
【说明】本题考查了利用正弦定理解三角形；
10．已知是第一象限角，且，则的值为
【提示】先根据平方关系及商数关系求出，再根据利用两角差的正切公式即可得解；
【答案】；
【解析】因为是第一象限角，所以，
所以，
所以.
【说明】本题考查了给值求值型问题、用和、差角的正切公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦）；
11．函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ．
【提示】根据题意，在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解；
【答案】4（答案不唯一）；
【解析】因为且，若函数是单调函数，结合二次函数可知：在R上单调递增，
，解得.
故答案为：4（答案不唯一）；
【说明】本题考查了根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数；
12．已知函数且关于的方程有7个不同实数解，则实数的取值范围为
【提示】本题属于嵌套型函数的解的问题，画出的函数图像，设，
根据题意，等价于方程，通过求的解的个数，利用数形结合，可求得的取值范围；
【答案】
【解析】
由题意，的图像如图所示，因为有7个不同实数解，设，则方程有2个不等实根，且或，．
当，时，，满足题意；
当时，，解得．
综上，．
故答案为：
【说明】本题综合考查了根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围；
二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个
正确选项）
13. 已知，设命题，命题，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【提示】取特殊值判断充分性、必要性即可得解；
【答案】D；
【解析】取，满足，但，充分性不成立，
取，满足，但，必要性不成立；
故p是q的既不充分也不必要条件；
故选：D；
【说明】本题依据不等式性质考查了充分必要条件的判别；
14. 下列函数对于任意，都有成立的是（ ）
A． B．C．D．
【提示】把不等式等价于图象为上凸的函数，再结合函数性质判断各选项；
【答案】A；
【解析】满足，则函数为上凸函数，
对于A，的图象是上凸的，符合题意；
对于B，的图象是下凸的，不符合题意；
对于C，的图象是下凸的，不符合题意；
对于D，的图象是下凸的，不符合题意；
故选：A.
【说明】本题考查了函数图像的识别、函数新定义；
15．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【提示】先判断函数的奇偶性，再结合特殊值，即可判断；
【答案】C；
【解析】由，可得，即函数的定义域为且，关于原点对称，
由，可知函数为奇函数，故排除B、D；
又因为，故排除A.
故选：C；
【说明】本题考查了函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状；
16. 已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提示】首先判断，再化简，利用基本不等式求解；
【答案】A；
【解析】解：设方程的两个异号的实根分别为，，则，．
又，，，
则（当且仅当，时取“”），
由不等式恒成立，得，解得．
实数的取值范围是．
故选：A．
【说明】本题考查了基本不等式“1”的妙用求最值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式；
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分）
17．（本题14分）
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，这二个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中；
已知集合，
（1）求集合A，B；
（2）若是成立的______条件，判断实数m是否存在？若实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【提示】（1）解一元二次不等式即可得到集合A，B.；
（2）根据充分条件和必要条件的定义转为不等式关系进行求解即可；
【答案】（1），；（2）答案见解析；
【解析】（1）由得，故集合，
由得，因为m>0，
故集合；
（2）若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，
则有，其中等号不同时取到，解得，
所以，实数m的取值范围是.
若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，
则有，其中等号不同时取到，解得，
所以实数m的取值范围是；
【说明】本题考查了解含有参数的一元二次不等式、解不含参数的一元二次不等式、根据必要不充分条件求参数、根据充分不必要条件求参数；
18．（本题14分）
已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【提示】（1）利用诱导公式化简可得到答案；
（2）利用同角的三角函数关系可得答案.
【答案】（1）；（2）；
【解析】（1），
整理得，
所以.
（2）
代入，
得：.
【说明】本题考查了正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式；
19．（本题14分）
中国航天事业在2025年迎来里程碑式发展，全年发射次数突破300次大关，共将超过300颗卫星精准送入预定轨道.1903年前苏联航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今所有火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为7900 m/s.
参考数据：，，.
（1）当该型号火箭的质量比为8时，求该型号火箭的理想速度；
（2）假设一个火箭的理想速度为v（单位：m/s），若希望火箭发射的理想速度提升1倍，则火箭的质量比变为原来的多少倍？
（3）经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来的2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，求该火箭在改进前质量比的最小值（结果保留一位小数）.
【提示】（1）直接代入，根据题目给的数据化简计算.
（2）和代入，然后计算相除.
（3）令和，两式相减，大于等于1975 m/s，最后根据题目给的数据化简计算
【答案】（1）；（2）倍；（3）5.1；
【解析】（1）.
（2）设该火箭开始时的质量比为，理想速度提升1倍后的质量比为，则：
，得 ①；
，得 ②；
由①②两式，得倍.
（3）技术改进前的理想速度，
技术改进后的理想速度，
要使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，则：，
即，即，即，
从而，
故该火箭在改进前质量比的最小值为5.1；
【说明】本题考查了对数的运算、对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题；
20．（本题18分）
已知幂函数在上单调递增．函数，．
（1）求的值；
（2）当时，记，的值域分别为集合，，若，求实数的取值范围；
（3）当时，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
【提示】（1）根据幂函数的特征以及性质可求得结果；
（2）根据（1）中得到的单调性以及包含关系可得到结果；
（3）利用换元法得到有关的一个一元二次函数，根据对称轴的位置分三种情况求最小值可求得结果.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，；
【解析】（1）因为是是幂函数，
所以，解得或，
当时，，在为减函数，
当时，，在为增函数，
所以；
（2）由（1）知，当时，，
即，，
因为，，所以，，解得，
即的取值范围为；
（3），令，因为，所以，
则令，，对称轴为，
①当，即时，函数在为增函数，
，解得；
②当，即时，，
解得，不符合题意，舍去；
③当，即时，函数在为减函数，
，解得，不符合题意，舍去；
综上所述：存在使得的最小值为0．
【说明】本题综合考查了根据集合的包含关系求参数、求二次函数的值域或最值、求幂函数的解析式；
21．（本题18分）
已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”.
（1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由；
（2）若，函数是函数在上的“L函数”，求实数的取值范围；
（3）试比较和的大小， 并证明：若，函数是函数在上的“L函数”，且，则对任意的都有.
【提示】（1）根据“L函数”的定义进行判断即可；
（2）根据“L函数”的定义把问题转化成关于恒成立的问题，求的取值范围；
（3）先用作差法证明，再分情况讨论，根据“L函数”的定义证明；
【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3），证明见解析；
【解析（1）对任意的，且，
，.
显然有，
所以函数是函数在上的“L函数”.
（2）因为函数是函数在上的“L函数”，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
化简得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即，解得.
（3）因为，，所以.
所以当时，.
当 时，.
综上：.
对于，不妨设，
（i）当时，
因为函数是函数在上的“L函数”，
所以. 此时成立；
（ii）当时，由得，
因为，函数是函数在上的“函数，
所以
，
此时也成立，
综上，恒成立.
【说明】本题主要考查了函数的新定义；本题的关键是弄清楚“L函数”的定义，注意不能转化成两个函数的值域的包含关系分析问题；