一元二次方程——初中数学中考一轮分层训练(教师版)练习含答案

这是一份一元二次方程——初中数学中考一轮分层训练(教师版)练习含答案试卷主要包含了基础题，能力题，拓展题等内容，欢迎下载使用。
一、基础题
1．（2025·广州）关于x的方程x2−x+k2+2=0根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
∆=b2−4ac=1−4k2−8=−4k2−70，
故一元二次方程x2+kx−2=0有两个不相等的实数根，
故选：A.
【分析】由含参数k的方程代入判别式中，利用非负性判断得出结论.
12．（2023·广州）已知关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，则(k−1)2−(2−k)2的化简结果是（ ）
A．−1B．1C．−1−2kD．2k−3
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根，
∴△=b2-4ac≥0，即（2-2k）2-4（k2-1）≥0，
解得k≤1，
∴k-1≤0，2-k≥0，
∴(k−1)2−(2−k)2=k−1−2−k=−k−1−2−k=−k+1−2+k=−1.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母k的不等式，求解得出k的取值范围，然后判断出k-1与2-k的正负，进而根据a2=a及绝对值的性质化简即可即可.
13．（2022·宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．6.2(1+x)2=8.9B．8.9(1+x)2=6.2
C．6.2(1+x2)=8.9D．6.2(1+x)+6.2(1+x)2=8.9
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意，得6.2(1+x)2=8.9．
故答案为：A．
【分析】此题的等量关系为：92号汽油价格三月底的单价×（1+增长率）2=五月底的单价，列方程即可.
14．（2021·宜宾）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则 m2+4m+n 的值是（ ）
A．4B．5C．6D．12
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，
∴m＋n＝−3，mn＝−9，
∵m是x2＋3x−9＝0的一个根，
∴m2＋3m−9＝0，
∴m2＋3m＝9，
∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6.
故答案为：C.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得m＋n＝-3，mn＝−9，根据方程根的概念可得m2＋3m−9＝0，则m2＋3m＝9，将待求式变形为m2+3m＋m＋n，据此计算.
15．（2024·广州） 定义新运算：a⊗b=a2−b(a≤0)−a+b(a>0)例如：−2⊗4=(−2)2−4=0，2⊗3=−2+3=1．若x⊗1=−34，则x的值为 ．
【答案】74或−12
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：当x≤0时，由新运算可得x2-1=−34，
∴x2=14，
解得x1=12(舍去)，x2=−12；
当x＞0时，由新运算可得-x+1=−34，
解得x=74，
综上x的值为：74或−12.
故答案为：74或−12.
【分析】根据新运算定义，分当x≤0时与当x＞0时两种情况，分别列出方程，解方程再判断出符合题意的x的值即可.
16．（2021·南通）若m，n是一元二次方程 x2+3x−1=0 的两个实数根，则 m3+m2n3m−1 的值为 .
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴m3+m2n3m−1=m2(m+n)−m2=−(m+n)=3 ，
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数关系，可得m2+3m-1=0，m+n=-3，然后整体代入计算即可.
17．（2021·北部湾模拟）解方程： x2−5x+6=0 .
【答案】解： x2−5x+6=0
(x−2)(x−3)=0
x1=2 ， x2=3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据公式“x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)”可将一元二次方程的左边分解成两个因式的积的形式，于是可得两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解.
18．（2019九上·顺德月考）解方程：x2-2x-3=0
【答案】解：x2−2x−3=0
x2−2x=3
(x−1)2=4
x−1=±2
x1=3，x2=−1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据解方程的步骤进行计算得到答案。
19．（2021·黄石）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+m2+m=0 有实数根.
（1）求 m 的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为 x1 、 x2 ，且 x12+x22=12 ，求 m 的值.
【答案】（1）解：由题意可得： Δ=(2m)2−4(m2+m)≥0
解得： m≤0
即实数m的取值范围是 m≤0
（2）解：由 x12+x22=12 可得： (x1+x2)2−2x1x2=12
∵x1+x2=−2m ； x1x2=m2+m
∴(−2m)2−2(m2+m)=12
解得： m=3 或 m=−2
∵m≤0
∴m=−2
即 m 的值为-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）若一元二次方程有两个实数根，则b2-4ac≥0；由此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1·x2的值；再将已知条件转化为（x1+x2）2-21·x2=12，再整体代入可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值.
20．（2021九上·高州期末）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0