二次函数——初中数学中考一轮分层训练(教师版)练习含答案

这是一份二次函数——初中数学中考一轮分层训练(教师版)练习含答案试卷主要包含了基础题，能力题，拓展题等内容，欢迎下载使用。
一、基础题
1．（2025·滨州）当自变量x>1时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ）
A．y=-3xB．y=3x
C．y=3x+1D．y=−x−12−3
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；正比例函数的性质
【解析】【解答】
解：
A、 当x>1时， y随x的增大而减小，故A不符合题意；
B、当x>1时， y随x的增大而减小，故B不符合题意；
C、当x>1时， y随x的增大而增大 ，故C不符合题意；
D、当x>1时， y随x的增大而减小，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据各个函数的性质，在自变量x>1时，逐一判断其增减性，解答即可.
2．（2025·威海）已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y2＞y1
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线 y=−x−22+c,
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 x=2,
∵三点为( −2y1,3y2,7y3,
∴与对称轴的距离分别为| ∣−2−2∣=4, ∣3−2∣=1,
∴1y3.
故答案为：C.
【分析】先根据抛物线解析式确定二次函数的抛物线的开口方向和对称轴，然后再根据点与对称轴越近、对应的函数值越小解答即可.
3．（2025·攀枝花） 关于抛物线y＝-x2+6x-7，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线x＝-3
C．与y轴的交点坐标是（0，7）D．顶点坐标是（3，2）
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵抛物线y= -x2+6x-7=-(x -3)2+2，
∴该函数图象开口向下，故A错误，
∴对称轴为直线x=3，故B错误，
与y轴的交点坐标为(0，-7)，故C错误，
顶点坐标为(3，2)，故D正确，
故答案为： D.
【分析】先将抛物线的一般式化为顶点式，再根据顶点式以及二次函数的性质，依次判断各选项的正误即可.
4．（2025·甘孜）对于抛物线y＝2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．抛物线的顶点坐标为（1，3）
C．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】∵y=2x−12+3
∴顶点坐标为（1,3）.
故正确答案为：B.
【分析】对于抛物线y=ax−ℎ2+ka≠0，其顶点坐标为（ℎ,k），对称轴为直线x=ℎ，当a>0进抛物线开口向上，且在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a0)图象上，
∴-am2+2am+3=3，
∴-am（m-2）=0，
∵a＞0，m≠0，
∴m-2=0，
∴m=2.
故答案为：2.
【分析】由点P在二次函数图象上，将点P的坐标代入函数关系式计算即可。
8．（2023·哈尔滨）抛物线y=−(x+2)2+6与y轴的交点坐标 ．
【答案】(0，2)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令抛物线y=-(x+2)2+6中的x=0得y=-（0+2）2+6=2，
∴抛物线y=-(x+2)2+6与y轴交点的坐标为（0，2）.
故答案为：(0，2).
【分析】令抛物线y=-(x+2)2+6中的x=0算出对应的函数值，可得该抛物线与y轴交点的坐标.
9．（2025·连云港）已知二次函数y=x2+2（a+1）x+3a2-2a+3，a为常数.
（1）若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，求a的取值范围；
（2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值；
（3）求证：该二次函数的图象不经过原点.
【答案】（1）解：由二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，
∴ x2+2（a+1）x+3a2-2a+3=2a2
∴x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0
∴b2-4ac＞0即4（a+1）2-4（a2-2a+3）＞0
解之：a>12
（2）解：因为二次函数的图象与x轴有交点，
所以Δ=4(a+1)2−4×1×(3a2−2a+3)=−8a2+16a−8=−8(a−1)2≥0，
又因为8(a−1)2≤0，所以8(a-1)2=0，解得a=1
（3）证明：当x=0时，y=3a2−2a+3=3(a−13)2+83>0，所以二次函数的图象不经过原点
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，将y=2a2代入二次函数解析式，可得到x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0，根据b2-4ac＞0，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用二次函数的图象与x轴有交点，可知b2-4ac≥0，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）根据题意求出当x=0时y的值，可证得结论.
10．（2025·淮安）已知二次函数y=12x2−mx+m−1（m为常数）．
（1）若点(2,−1)在该函数图象上，则m= ；
（2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）若该函数图象上有两个点A(m+1,y1)、B(m+p,y2)，当y10。
因此， △>0,说明二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）p>1或p0，故D选项中原结论正确，符合题意；
当x=-1时，y=a-b+c＞0，将b=-2a代入得3a+c＞0，将b=-2a代入a-2b+4c得5a+4c，由于a＞0，当c接近-3a时，5a+4c可能为负数，但不能保证一定是负数，故C选项中原结论不正确，不符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据对称轴计算公式可得−b2a=1，即b=−2a，据此可判断A选项；根据题意可得当x=0时，y0，可得抛物线与x轴的一个交点一定在直线x=−1和y轴之间，根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x=2和直线x=3之间，即抛物线一定与x轴有两个不同的交点，据此可判断B；当x=-2时，y=4a+2b+c＞0，再将b=−2a代入，即可判断D；当x=-1时，y=a-b+c＞0，将b=-2a代入得3a+c＞0，将b=-2a代入a-2b+4c得5a+4c，由于a＞0，当c接近-3a时，5a+4c可能为负数，但不能保证所有情况下一定是负数，据此可判断C选项.
14．（2025·乐山）已知二次函数y＝x2+4x+m的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，有下列结论：
①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣2；
②当m＜4时，二次函数的图象与x轴有两个交点；
③若y1＜y2，则|x1+2|＞|x2+2|；
④当x≥﹣2时，二次函数的图象与y＝2x﹣1的图象有两个交点，则﹣1≤m＜0．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解： 二次函数为 y = x2 + 4 x + m ，其二次项系数为1（正数），故开口向上。对称轴为 x =−b2a=−42×1= − 2，结论①正确；
二次函数与x轴的交点个数由判别式 Δ = b 2 − 4 a c 决定。代入得：
Δ = 42 − 4 × 1 × m = 16 − 4 m ，当 Δ > 0 时，方程有两个实根，即 16 − 4 m > 0 ⇒ m < 4，结论②正确；
函数开口向上，对称轴为 x = − 2 。若 y1 < y2 ，则点 A 离对称轴的距离比点 B 近。距离为 | x 1 + 2 | 和 | x2 + 2 | ，故 | x1 + 2 | < | x2 + 2 | 。但结论③中为 | x1 + 2 | > | x2 + 2 | ，与推导矛盾，因此结论③错误；
当 x ≥ − 2 时，联立方程 x2 + 4 x + m = 2 x − 1 ，化简为：
x2 + 2 x + ( m + 1 ) = 0 ， 方程有两个不相同的根，则 判别式 Δ = 22 − 4 × 1 × ( m + 1 ) = 4 − 4 ( m + 1 ) = − 4 m > 0 ⇒ m < 0，二次函数y=x2+2x+(m+1)的对称轴为x=-1，且开口向上，故最小值在x=-1处取得，为m，而两根都大于或等于-2，则当x=-2时，对应的函数值m+1≥0，综上可知−1≤my1
故答案为：D.
【分析】由抛物线的开口向下知二次项系数a为负，由抛物线交y轴于正半轴得一次项系数c为正，由对称轴为x=2得a和b异号，即b为正，则bc为正，故A选项正确；由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=−b2a=2得b=−4a，即4a+b=0，故意B选项正确；若抛物线上两点关于对称轴对称则函数值相等，且横坐标和的一半等于对称轴对应的横坐标值，故C选项正确；由于抛物线开口向下，则抛物线上的点距离对称轴的距离越大函数值越小.
17．（2025·徐州）如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列代数式的值为负数的是 （写出所有正确结果的序号）．
①a；
②2a+b；
③c；
④b2﹣4ac；
⑤a﹣b+c．
【答案】①②⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解： ①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0；
②∵0＜−b2a＜1
∴-b≯2a
∴2a+b＞0；
③∵抛物线与y轴交点在x轴的上方，
∴c＞0；
④∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0；
⑤∵当x=-1时y＜0，
∴a-b+c＜0，
∴是负数的序号有①②⑤.
故答案为： ①②⑤.
【分析】利用抛物线的开口方向可对①作出判断；利用抛物线的对称轴，可对②作出判断；再利用抛物线与y轴的交点的位置，可对③作出判断；再利用抛物线与x轴的交点个数，可对④作出判断；观察可知当x=-1时y＜0，可对⑤作出判断；综上所述可得到代数式的值为负数的序号.
18．（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 ．
【答案】4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：把点B(3,0)，点C(2,3)代入抛物线y=ax2+bx+3得，
0=9a+3b+33=4a+2b+3，
解得a=−1b=2，
∴y=−x2+2x+3，
令y=0，得0=−x2+2x+3，
解得x=−1或x=3，
∴A(−1,0)，
∴AB=3−(−1)=4；
故答案为：4．
【分析】先根据题意将点B和点C代入二次函数解析式，进而即可得到a和b，再令y=0求出x，从而得到点A和点B的横坐标，再相减取绝对值即可求解。
19．（2025·无锡）已知二次函数y＝﹣12x2+mx+33m（m≠0）图象的顶点为A，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C．
（1）若该函数图象经过点(0,3)，求点A的横坐标；
（2）若m＜3，点P（2，y1）和Q（4，y2）在该函数图象上，证明：y1＞y2；
（3）若△ABC是等腰三角形，求m的值．
【答案】（1）解：∵二次函数y=−12x2+mx+33m(m≠0)图象过点(0,3)，
∴33m=3，
解得：m=3，
∴二次函数为y=−12x2+3x+3，
∴xA=−32×(−12)=3，
∴点A的横坐标为3.
（2）解：∵点P(2,y1)和Q(4,y2)在函数y=−12x2+mx+33m(m≠0)图象上，
∴y1=−2+2m+33m，y2=−8+4m+33m，
∵m0，
∴y1>y2.
（3）解：在函数y=−12x2+mx+33m(m≠0)中，
当x=0时，y=33m，
∴B(0,33m)，
∵y=−12x2+mx+33m=−12(x−m)2+m22+33m，二次函数图象的顶点为A，对称轴与x轴交于点C
∴A(m,m22+33m)，C(m,0)，
∴AB2=m2+(m22)2，BC2=m2+(33m)2，AC2=(m22+33m)2，
当AB=AC时，则m2+(m22)2=(m22+33m)2，
解得：m=0（舍去），m=233，
当AB=BC时，则m2+(m22)2=m2+(33m)2，
解得：m=0（舍去），m=±233，
当AC=BC时，则m2+(33m)2=(m22+33m)2，
解得：m=0（舍去），m=233，m=−23，
综上：m=233或m=−233或m=−23.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）把(0,3)代入解析式求出m的值，再进一步求解即可.
（2）先得到y1，y2的值，根据m