初中数学沪科版（2024）九年级上册二次函数的图象和性质图文ppt课件

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册二次函数的图象和性质图文ppt课件，共68页。PPT课件主要包含了新知探究，情景导入，学习目标，课堂小结，分层练习，错因分析，待定系数法，概念归纳，解这个方程组得，练一练等内容，欢迎下载使用。
目录/CONTENTS
1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）
1.一般式法二次函数的表达式
问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写解析式）
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
一般式法求二次函数表达式的方法
1.一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1. 又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得
∴所求的二次函数的表达式是
2.已知关于x的二次函数，当x=0时， y=－1；当x=－2时， y=0；当x= 时， y=0，求这个二次函数的解析式.
问题2 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，
解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
2.顶点法求二次函数的表达式
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.
一个二次函数的图象经点 (0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.
解： ∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)， ∴可以设函数表达式为 y＝a(x－8)2＋9. ∵它的图象经过点(0，1)，可得 0＝a(0－8)2＋9.
一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9.
解：∵(－3，0)，(－1，0)是抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点， ∴可设这个二次函数的表达式是y＝a(x－x1)(x－x2)， 其中x1、x2为交点的横坐标， ∴得 y＝a(x＋3)(x＋1). 再把点(0，－3)代入上式得 a(0＋3)(0＋1)=－3，解得a＝－1， ∴所求的二次函数的表达式是 y＝－(x＋3)(x＋1)，即y＝－x2－4x－3.
问题 3 选取(-3，0),(-1，0),(0，-3)，求出这个二次函数的表达式.
3.交点法求二次函数的表达式
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将方程的解代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.
问题 4 已知二次函数 y＝ax2＋c 的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式．
解：∵该图象经过点(2，3)和(－1，－3)，
∴所求二次函数表达式为 y＝2x2－5.
特点：二次函数关于y轴对称
4.特殊条件的二次函数的表达式
已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
特点：二次函数图象经过原点
解:∵该图象经过点(－2，8)和(－1，5)，
∴ 所求二次函数表达式为 y＝－x2－6x.
课本例 5 抛物线 与直线 交于B,C两点.（1）在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线；
5.二次函数与一次函数的综合
（2）记抛物线的顶点A，求△ABC的面积；
得点A的坐标为（4,0）
得B（2,2）,C（7,4.5）
过B,C两点作x轴垂线，垂直为B1,C2
1.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
2.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .
注意：y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.
3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
4．已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：∵点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点， ∴设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)． ∵抛物线过点M(0，1)， ∴1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1， ∴所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)， 即 y＝－x2＋1.
已知二次函数经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)，求这个二次函数解析式．
解：设所求二次函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c， ∵二次函数过点(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点．
∴所求二次函数的解析式为 y＝2x2－3x＋5.
解：设所求二次函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c，由题意得
1.已知一个二次函数的图象经过（0，0），（-1，-11），（1，9）三点，求这个二次函数的表达式.
(2) 如图，根据图象提供的信息，下列结论正确的是( )； (A) a1＞a2＞a3＞a4 (B) a1＜a2＜a3＜a4 (C) a4＞a1＞a2＞a3 (D) a2＞a3＞a1＞a4
(3) 如果点(a，b)在抛物线y=－x2上，那么下 列各点中一定在该抛物线上的是( ). (A) (－a，－b) (B) (－a，b) (C) (a，－b) (D) (b，a)
(2) 当y1=y2=2时，丨x1丨比丨x2丨大(或小)多 少？
抛物线y=2x2－3x+1的图象如图所示.
解：抛物线y=－2x2－8x+3开口向下，对称轴是直线x=－2，顶点坐标是(－2，11)，当x=－2时，二次函数取得最大值，y最大值=11.
抛物线y=－2x2－8x+3的图象如图所示.
解：由y=－x2－4x+5=－(x+2)2+9,可得该函数开口向下，且关于直线x=－2对称，易得y3＜y1＜y2.
解：设二次函数的表达式为y=a(x+1)2－3.把(1，5)代入，得a=2，所以这个二次函数的表达式是y=2(x+1)2－3，即y=2x²+4x－1.
解：设二次函数的表达式为y=a(x+1)2－2.把(1，10)代入，得a=3，所以这个二次函数的表达式是y=3(x+1)2－2，即y=3x²+6x+1.
(2)对称轴为直线x=3，最大值为－1，且经过 点C(4，－3)；
解：设二次函数的表达式为y=a(x－3)2－1.把(4，－3)代入，得a=－2，所以这个二次函数的表达式是y=－2(x－3)2－1，即y=－2x²+12x－19.
解：(1) 由题意得y=ax2－4x，把A(－4，0)代入，得0=16a－4×(－4)，解得a=－1，∴此二次函数的表达式是y=－x2－4x.
(2) 已知在抛物线上存在点P，且S△AOP=8， 请直接写出点P的坐标；
解：由题意易知平移后的抛物线先向右平移4个单位再向下平移2个单位得到原抛物线，即y=(x－4)2－2=x2+bx+c.可得b=－8，c=14.
解：y=(x+2)2－9.
(2) 求与已知抛物线关于y轴对称的图象所对 应的函数表达式.
解：y=－(x－2)2+9.
(2) 记抛物线的顶点为D，抛物线与x轴的另 一个交点为C，设P为抛物线上一动点， 求使S△PAC=3S△DAC时点P的坐标.
(2) 由(1)知抛物线的解析式为y=x2－2x－3=(x－1)2－4，则顶点D的坐标为(1，－4).设点P的坐标为(xp，yp)，
解：(1)把(－2，4)代入y=－x2－2x+c，得4=－(－2)2－2×(－2)+c，解得c=4.
(2) 将抛物线向下平移m个单位，使平移后得 到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包 括△OAB的边界)，求m的取值范围(可直 接写出答案).
(2) 在直线x=1上求点M，使△AMC的周长最 小，并求出△AMC的周长.
(2) 由题知点A(－1，0)关于x=1的对称点为B，且B(3，0)，则点M落到线段CB上时，△AMC的周长最小，此时AM+CM=CB，易求得C(0，－3)，M(1，－2)，
y＝ax2＋bx＋c
y＝a(x＋h)2＋k
y＝a(x－x1)(x－x2)
y＝－x2＋2x＋3